2027届高考数学一轮总复习7.6空间中的角和距离（课件）

这是一份2027届高考数学一轮总复习7.6空间中的角和距离（课件），共75页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识回顾，课时作业，关键能力提升，课时作业53等内容，欢迎下载使用。
用空间向量研究夹角、距离问题
利用法向量的方向判断二面角二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得,它等于两法向量的夹角或其补角.法向量的方向指向内部的称为“进”入半平面;法向量的方向指向外部的称为穿“出”半平面;当法向量m,n“一进一出”时,m,n 的夹角就是二面角的大小;当法向量m,n“同进同出”时,m,n的夹角就是二面角的补角.
用向量法求异面直线所成角的步骤
考点2 直线与平面所成的角【例2】　如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,侧面PAD是等边三角形,且二面角P-AD-B为120°.
用向量法求线面角的步骤
注意:线面角的正弦值对应直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值.
【对点训练2】　如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=1,∠ABC=120°,PA=AC,D为PC的中点.
(1)求证:BD⊥AC;解:证明:如图1,取AC的中点E,连接BE,DE.因为D为PC的中点,所以DE∥PA.因为PA⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC,所以DE⊥AC.因为AB=BC=1,所以BE⊥AC.因为DE∩BE=E,DE,BE⊂平面BDE,所以AC⊥平面BDE.又BD⊂平面BDE,所以BD⊥AC.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBD;【解】证明:如图1,记AC∩BD=O,因为AB=BC,AD=CD,所以BD是线段AC的垂直平分线,则AC⊥BD(题眼).因为PA⊥底面ABCD,BD⊂底面ABCD,所以PA⊥BD.又AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.又BD⊂平面PBD,所以平面PAC⊥平面PBD.
方法三(几何法)　如图4,过点A作AM⊥PD,垂足为M,过点A作AN⊥平面PBD,垂足为N,连接MN.因为PD⊂平面PBD,所以AN⊥PD.又AM∩AN=A,AM,AN⊂平面AMN,所以PD⊥平面AMN.又MN⊂平面AMN,所以PD⊥MN,
利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法(1)找法向量:分别求出两个平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小.(2)找与棱垂直的向量:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小.
【对点训练3】　(2025·山东临沂二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,AD=1,AB=2,△PAD为等边三角形,PA⊥CD.(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;解:证明:因为底面ABCD为矩形,所以AB∥CD,AB⊥AD.又因为PA⊥CD,所以AB⊥PA.又因为PA,AD⊂平面PAD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.又因为AB⊂平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.
(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.解:取AD的中点E,连接PE.因为△PAD为等边三角形,所以PE⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PE⊂平面PAD,所以PE⊥平面ABCD,以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.
解:取AM的中点O,连接BO,FO.因为M为AD的中点,BC∥AD,且AD=4,BC=2,所以BC∥MD,且BC=MD,所以四边形 BCDM 为平行四边形,
3. (15分)(2026·T8联考)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC,∠A1AB=∠A1AC,O是BC的中点.
(1)求证:平面BCC1B1⊥平面A1AO;解:证明:如图1,连接A1B,A1C.∵AB=AC,∠A1AB=∠A1AC,A1A=A1A,∴△A1AB≌△A1AC,∴A1B=A1C.∵O为BC中点,∴BC⊥A1O.又AC=AB,∴BC⊥AO.又AO∩A1O=O,AO⊂平面A1AO,A1O⊂平面A1AO,∴BC⊥平面A1AO.∵BC⊂平面BCC1B1,∴平面BCC1B1⊥平面A1AO.