2022高考数学一轮复习课时规范练30等比数列及其前n项和（含解析）

课时规范练30　等比数列及其前n项和

基础巩固组

1.(2020安徽安庆二模,理5)等比数列{an}的前n项和为Sn.若a3a6=2,S4=,则a2+a4=(　　)

A. B. C.32 D.40

2.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=4(a1+a3+…+a2n-1)(n∈N*),a1a2a3=-27,则a5=(　　)

A.81 B.24 C.-81 D.-24

3.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且7S2=4S4,则公比q的值为(　　)

A.1 B.1或 C. D.±

4.(2020湖南郴州一模)在数列{an}中,a1=2,=an-1·an+1(n≥2,n∈N*),Sn为{an}的前n项和,若a6=64,则S7的值为(　　)

A.126 B.256 C.255 D.254

5.(2020广东惠州联考)已知数列{an}为等差数列,且,2,成等比数列,则{an}前6项的和为(　　)

A.15 B. C.6 D.3

6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6=(　　)

A.63 B.62 C.61 D.60

7.(2020辽宁大连24中一模,4)在公差不为零的等差数列{an}中,a1+a2+a5=13,且a1,a2,a5成等比数列,则数列{an}的公差等于(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

8.(2019全国1,理14)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1==a6,则S5=　　　　　. 

9.等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=　　　　　. 

10.(2020四川绵阳三模,理17)若数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn.

(1)求Sn;

(2)设bn=,求证:b1+b2+b3+…+bn<.

综合提升组

11.(2020全国2,理6)数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

12.(2020湖南常德一模,文7)等比数列{an}的各项均为正数,已知向量n=(a5,a4),m=(a7,a8),且m·n=4,则log2a1+log2a2+…+log2a11=(　　)

A.5 B. C. D.2+log25

13.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题(意为):“有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,那么,此人第4天和第5天共走路程是              (　　)

A.24里 B.36里 C.48里 D.60里

14.(2020湖南常德一模,文17)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).

(1)证明:数列{an+1}为等比数列;

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

创新应用组

15.(2020河南驻马店二模,文16)在数列{an}中,a1=1,an≠0,曲线y=x3在点(an,)处的切线经过点(,0),下列四个结论:①a2=;②a3=;③ai=;④数列{an}是等比数列,其中所有正确结论的编号是　　　　　. 

16.(2020广东广州一模,理17)记Sn为数列{an}的前n项和,2Sn-an=(n∈N*).

(1)求an+an+1;

(2)令bn=an+2-an,证明数列{bn}是等比数列,并求其前n项和Tn.

参考答案

课时规范练30　等比数列

及其前n项和

1.B　设等比数列{an}的公比为q,因为a3a6=2,所以a4a5=2,所以q=.因为S4=,所以,解得a1=4,所以a2=2,a4=,a2+a4=.故选B.

2.C　设等比数列{an}的公比为q,已知S2n=4(a1+a3+…+a2n-1)(n∈N*),令n=1,则S2=4a1,可得a2=3a1,q=3.

∵a1a2a3=-27,∴=-27,解得a2=-3,∴a1=-1,则a5=-34=-81.

3.C　因为7S2=4S4,

所以3(a1+a2)=4(S4-S2)=4(a3+a4),故q2=,因为数列{an}为正项的等比数列,故q>0,所以q=,故选C.

4.D　在数列{an}中,满足=an-1an+1(n≥2),则数列{an}为等比数列.设其公比为q,由a1=2,a6=64,得q5==32,则q=2,则S7==28-2=254.

5.C　由,2,成等比数列,可得4=,即a1+a6=2,又数列{an}为等差数列,所以{an}前6项的和为×6(a1+a6)=6.

6.A　由于a1,a2,a3成等差数列,则2a2=a1+a3,则a1=2a2-a3=2m-n,由于b1,b2,b3成等比数列,则=b1b3,则b1=,所以a1-b1=2m-n-=-,

因为m,n为正数,且m≠n,所以a1-b1=-<0,即a1<b1.故选A.

7.A　由等比数列的性质可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即3,12,S6-15成等比数列,所以S6-15=12×4,解得S6=63.

8.B　设数列{an}的公差为d,且d≠0.

∵a1+a2+a5=13,∴3a1+5d=13. ①

∵a1,a2,a5成等比数列,

∴=a1(a1+4d),②解①②组成的方程组,可得d=2.故选B.

9.　设等比数列{an}的公比为q,

则a4=a1q3=q3,a6=a1q5=q5.

∵=a6,∴q6=q5.

∵q≠0,∴q=3.

∴S5=.

10.32　设该等比数列的公比为q,则S6-S3==14,即a4+a5+a6=14. ①

∵S3=,∴a1+a2+a3=.

由①得(a1+a2+a3)q3=14,∴q3==8,即q=2.

∴a1+2a1+4a1=,a1=,

∴a8=a1·q7=×27=32.

11.(1)解由Sn,可得-Sn=Sn,即Sn,由a1=1,可得S1=1,所以数列{Sn}是首项为1,公比为的等比数列,则Sn=n-1;

(2)证明因为bn==n-1,所以b1+b2+b3+…+bn=×n<.

12.C　∵am+n=am·an,令m=1,又a1=2,

∴an+1=a1·an=2an,

∴=2,∴{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an=2n.

∴ak+1+ak+2+…+ak+10=2k+1+2k+2+…+2k+10=2k+1·=2k+11-2k+1=215-25.

∴解得k=4.

13.B　因为向量n=(a5,a4),m=(a7,a8),m·n=4,所以m·n=a5a7+a4a8=4,

因为{an}是等比数列,所以a5·a7=a4·a8=2,所以a1·a11=2,

所以log2a1+log2a2+…+log2a11=log2=log2.故选B.

14.B　记每天走的路程里数为{an},可知{an}是公比q=的等比数列,

由S6=378,得S6==378,解得a1=192,

∴a4+a5=192×+192×=24+12=36.所以此人第4天和第5天共走了36里,故选B.

15.(1)证明∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),

又a1+1=2,∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列.

(2)解由(1)得an+1=2n,∴an=2n-1,

∴Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=-n

=2n+1-n-2.故Sn=2n+1-n-2.

16.①③④　∵y'=3x2,∴曲线y=x3在点(an,)处的切线方程为y-=3(x-an),∵该切线经过点(an+1,0),

∴-=3(an+1-an).∵an≠0,

∴an+1=an,又a1=1,

∴{an}是首项为1,公比为的等比数列.∴a2=,a3=ai=.

故所有正确结论的编号是①③④.

17.解(1)由2Sn-an=,①则2Sn+1-an+1=, ②

②-①,可得2an+1-an+1+an==-,所以an+an+1=-.

(2)由(1)可知an+an+1=-, ③

则an+1+an+2=-, ④

④-③,可得an+2-an=---=,

则bn=,且bn+1=.令n=1,则b1=.又因为,

所以数列{bn}是首项为,公比为的等比数列.所以Tn=1-=.