2023年高考数学一轮复习课时规范练25平面向量基本定理及向量坐标运算含解析北师大版文

课时规范练25　平面向量基本定理及向量坐标运算

基础巩固组

1.已知向量a=(3,4),b=(1,2),则2b-a=(　　)

A.(-1,0) B.(1,0) C.(2,2) D.(5,6)

答案:A

解析:由题得2b=(2,4),∴2b-a=(-1,0),故选A.

2.(2021四川内江诊断测试)已知向量a=(m2,-9),b=(1,-1),则“m=-3”是“a∥b”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分又不必要条件

答案:A

解析:若m=-3,则a=(9,-9)=9b,故a∥b;

若a∥b,则-m2-(-9)×1=0,解得m=3或m=-3.

所以“m=-3”是“a∥b”的充分不必要条件.

3.(2021广西崇左模拟)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为(　　)

A.(2,0) B.(-3,6) C.(6,2) D.(-2,0)

答案:A

解析:设N(x,y),由=-3a,可得(x-5,y+6)=(-3,6),

∴x=2,y=0.

4.(2021江苏南通质检)若e1,e2是平面α内的一组基底,则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是(　　)

A.e1-e2,e2-e1 B.e1+e2,e1-e2

C.2e2-3e1,-6e1+4e2 D.2e1+e2,e1+e2

答案:B

解析:由e1,e2是平面α内的一组基底,则e1,e2不共线,

能作为平面α的一组基底必不共线,

对于A,e1-e2=-(e2-e1),故e1-e2,e2-e1共线,不满足题意;

对于B,e1+e2,e1-e2不能互相线性表示,故不共线,满足题意;

对于C,2e2-3e1=(-6e1+4e2),故2e2-3e1,-6e1+4e2共线,不满足题意;

对于D,2e1+e2=2e1+e2,故2e1+e2,e1+e2共线,不满足题意.

5.已知点P是△ABC所在平面内一点,且=0,则(　　)

A=- B

C=- D

答案:D

解析:由题意得,=0,所以+()+()=0,

+()+()=0,∴3=0,

∴3=2,

6.(2021贵州花溪模拟)已知向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ等于(　　)

A.2 B.-2

C.3 D.-3

答案:A

解析:如图所示,建立平面直角坐标系,

则=(1,0),=(2,-2),=(1,2).

因为=+,所以(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0)=(λ+μ,2λ),

所以所以λ+μ=2.

7.(2021安徽淮南二模)△ABC中,D是BC的中点,点E在边AC上,且满足3,BE交AD于点F,则=(　　)

A.- B

C.- D.-

答案:A

解析:由题设可得如下几何示意图,

设=λ(λ∈R),=μ(μ∈R),

∵,

∴=λ-λ,∵,∴=μ,

由,知(1-λ),

∴.

8.(2021四川乐山十校联考)已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(6,7),则顶点D的坐标为　　　　. 

答案:(2,6)

解析:∵四边形ABCD为平行四边形,,

设D(x,y),∵A(-1,-2),B(3,-1),C(6,7),

=(4,1),=(6-x,7-y),

解得故答案为(2,6).

9.(2021湖南永州押题卷)已知向量a=(x-2,3),b=(4,x-3),若a∥b且方向相反,则x=　　　　　. 

答案:-1

解析:∵a∥b,∴(x-2)(x-3)-3×4=0,解得x=6或-1,

当x=6时,a=(4,3),b=(4,3),则a=b,方向相同,不符合题意;

当x=-1时,a=(-3,3),b=(4,-4),则a=-b,方向相反,符合题意,

∴x=-1.

10.(2021安徽滁州模拟)设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,则a+b=　　　　　　. 

答案:-,3

解析:a+2b=(2m-1,4),2a-b=(-2-m,3),

由向量a+2b与2a-b平行,

∴4(-2-m)-3(2m-1)=0,

解得m=-,则a+b=-,3.

11.(2021湖南师大附中模拟)已知向量与向量a=(-3,4)方向相反,若||=10,点A的坐标是(1,2),则点B的坐标为　　　　　. 

答案:(7,-6)

解析:与a=(-3,4)方向相反,

∴设=k(-3,4),k<0,且||=10,∴-5k=10,解得k=-2,

=(6,-8),设B(x,y),且A(1,2),∴(x-1,y-2)=(6,-8),

解得

∴B(7,-6).

综合提升组

12.(2021湖北襄阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为(　　)

A.30° B.60° C.90° D.120°

答案:B

解析:因为p∥q,所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,即a2+b2-c2=ab,

所以cosC=又因为0°<C<180°,所以C=60°.

13.(2021江苏南通模拟)如图,点C在半径为2的上运动,∠AOB=,若=m+n(m,n∈R),则m+n的最大值为(　　)

A.1 B

C D

答案:C

解析:以O为原点、的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,

则有=(2,0),=(1,).

设∠AOC=α,则=(2cosα,2sinα).由题意可知

所以m+n=cosα+sinα=sinα+.

因为α∈0,,所以α+,故m+n的最大值为

14.(2021山东枣庄模拟)如图两块斜边相等的直角三角板拼在一起,若=x+y(x,y∈R),则(　　)

A.x=1+,y= B.x=,y=1+

C.x=2+,y= D.x=1+,y=

答案:D

解析:如图,以AB,AC为x,y轴建立平面直角坐标系,

设B(1,0),则C(0,1),=x+y=(x,y),即D(x,y),

BC=DE=,DB=DEsin60°=,又∠ABD=135°,

在△ABD中,设∠BAD=θ,则,

所以ADsinθ=BDsin135°=,所以y=,x=AB+BDcos45°=1+=1+

15.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则向量a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为　　　　　. 

答案:(0,2)

解析:∵向量a在基底p,q下的坐标为(-2,2),

∴a=-2p+2q=(2,4).令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),解得故向量a在基底m,n下的坐标为(0,2).

创新应用组

16.(2021浙江绍兴模拟)地砖是一种地面装饰材料,也叫地板砖,用黏土烧制而成,质坚、耐压、耐磨、防潮.地板砖品种非常多,图案也多种多样.如图是某公司大厅的地板砖铺设方式,地板砖有正方形与正三角形两种形状,且它们的边长都相同,若=a,=b,则=(　　)

A.-a-b B.-2+a-b

C.-2-a+b D.-2+a-b

答案:D

解析:如图,以AB的中点M为坐标原点建立平面直角坐标系,

设|AB|=2,则O(0,),A(-1,0),B(1,0),F(1,2+2),

所以=(-1,-),=(1,-),=(2,2+2).

设=+,则

解得

所以=-2+,即=-2+a-b.