2027届高三数学一轮复习试题规范练33平面向量基本定理及向量坐标运算（Word版附解析）

这是一份2027届高三数学一轮复习试题规范练33平面向量基本定理及向量坐标运算（Word版附解析），共5页。
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.(2025·吉林长春期中)已知向量a=(-1,2),b=(1,0),则3a+b=( )
A.(-2,6)B.(-2,-6)
C.(2,6)D.(2,-6)
2.(2026·天津和平期末)已知向量a=(1,2),b=(4,3),c=(k,2),若3a-b与c共线,则实数k的值为( )
A.23B.-32C.-23D.32
3.(2025·河南周口模拟)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段AB上靠近点A的三等分点,F为线段OE的中点,设AB=a,AD=b,则AF=( )
A.512a+12bB.14a+512b
C.56a+14bD.512a+14b
4.(2026·安徽蚌埠期中)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,则向量c用基底{a,b}表示为( )
A.3a+32bB.32a+3b
C.3a+52bD.52a+3b
5.(2026·福建宁德期中)已知{e1,e2}是平面内的一个基底,OA=4e1+3e2,OB=2e1+ke2,OC=5e1-3e2.若A,B,C三点共线,则实数k的值为( )
A.9B.13C.15D.18
6.(2026·河南郑州期中)已知△ABC的边BC的中点为D,点E在△ABC所在平面内,且CD=3CE-2CA.若AC=xAB+yBE,则x+y=( )
A.7B.9C.11D.13
7.(2026·湖南长沙期末)如图,扇形的半径为1,圆心角∠BAC=150°,点P在BC上运动,AP=λAB+μAC,则3λ-μ的最小值是( )
A.2B.3
C.-3D.-1
8.已知M(-2,5),N(10,-1),P是线段MN的一个三等分点且靠近点M,则点P的坐标为 .
9.(2026·北京顺义期末)在△ABC中,点P,Q满足AP=3PB,CQ=4QB.若PQ=λAB+μAC,则λμ= .
10.(2025·福建厦门期中)在平面直角坐标系中,A(1,m),B(-2,2m+1),AC=(-1,m-1),若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的取值范围为 .
综合提升练
11.(2025·湖北仙桃模拟)已知向量m=(cs θ,sin θ),n=(1,2),若m∥n,则sin 2θ+cs2θ=( )
A.2B.85C.1D.0
12.(2026·湖南衡阳期中)如图,在△ABC中,PC=2BP,过点P的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.设AB=mAM,AC=nAN,则1m+2n的最小值为( )
A.73B.83C.3D.4
13.(多选题)(2025·山东泰安模拟)已知在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=4,AD=BC=2,点P,Q分别是AB,BC所在直线上的动点,且BP=λBA(λ∈R),BQ=μBC(μ∈R),连接PQ并延长与DC的延长线交于点M,则下列说法正确的有( )
A.若AC=BP+BQ,则λ+μ=-1
B.若BD=BP+BQ,则λ+μ=32
C.若四边形ADMP为平行四边形,则μ=2λ
D.若2DC=DM,则2μ−1λ=1
14.(2026·广东广州期末)如图,在四边形ABCD中,AD=3AE,BC=3BF.若CD=2AB+mEF,则实数m= .
15.在△ABC中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),OC=14OA,OD=12OB,AD与BC交于点M,则点M的坐标为 .
参考答案
课时规范练33 平面向量基本定理及向量坐标运算
1.A 解析 因为a=(-1,2),b=(1,0),所以3a+b=(-2,6).故选A.
2.C 解析 因为a=(1,2),b=(4,3),所以3a-b=(-1,3).又c=(k,2),3a-b与c共线,所以(-1)×2=3×k,所以k=-23.故选C.
3.D 解析 由题意,AF=12AO+12AE=14AC+16AB=14(AB+AD)+16AB=512AB+14AD=512a+14b.故选D.
4.D 解析 由题图可设a=(2,0),b=(-1,1),c=(2,3),设c=xa+yb=(2x-y,y)=(2,3),则2x-y=2,y=3,故c=52a+3b.故选D.
5.C 解析 因为OA=4e1+3e2,OB=2e1+ke2,OC=5e1-3e2,所以AB=OB−OA=(2e1+ke2)-(4e1+3e2)=-2e1+(k-3)e2,AC=OC−OA=(5e1-3e2)-(4e1+3e2)=e1-6e2.又因为A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使得AB=λAC,即-2e1+(k-3)e2=λ(e1-6e2).因为{e1,e2}是平面内的一个基底,所以由平面向量基本定理可得λ=-2,-6λ=k-3,解得λ=-2,k=15.故选C.
6.C 解析 由CD=3CE-2CA,得CE=13CD+23CA=-16BC−23AC.又AC=xAB+yBE,则BE=1yAC−xyAB,则BC=BE−CE=(1y+23)AC−xyAB+16BC,则56BC=(1y+23)AC−xyAB,56AC−56AB=(1y+23)AC−xyAB,故56=1y+23,-56=-xy,解得x=5,y=6,则x+y=11.故选C.
7.D 解析 以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(-32,12).设点P(cs θ,sin θ),其中0≤θ≤5π6,由AP=λAB+μAC可得(cs θ,sin θ)=λ(1,0)+μ(-32,12),即λ-32μ=csθ,12μ=sinθ,故3λ-μ=3(λ-32μ)+12μ=3cs θ+sin θ=2sin(θ+π3).因为0≤θ≤5π6,所以π3≤θ+π3≤7π6,故当θ+π3=7π6时,3λ-μ取最小值2sin7π6=-1.故选D.
8.(2,3) 解析 由题可知MN=3MP,MN=(12,-6),设P(x,y),则MP=(x+2,y-5),3MP=(3x+6,3y-15),
∴3x+6=12,3y-15=-6⇒x=2,y=3⇒P(2,3).
9.14 解析 由CQ=4QB,得CQ=45CB,由AP=3PB,得AP=34AB,则PQ=AQ−AP=AC+CQ−AP=AC+45CB−34AB=AC+45(AB−AC)-34AB=120AB+15AC,得λ=120,μ=15,则λμ=12015=14.
10.(-∞,2)∪(2,+∞) 解析 因为A,B,C三点能构成三角形,所以AB与AC不共线.而AB=(-3,m+1),若AB与AC共线,则有-3(m-1)=-(m+1),解得m=2,所以若A,B,C三点能构成三角形,则m≠2,即实数m的取值范围为(-∞,2)∪(2,+∞).
11.C 解析 因为m∥n⇒sin θ=2cs θ⇒tan θ=2,所以sin 2θ+cs2θ=2sin θcs θ+cs2θ=2sinθcsθ+cs2θsin2θ+cs2θ=2tanθ+1tan2θ+1=1.故选C.
12.B 解析 AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC.因为AB=mAM,AC=nAN,所以AP=2m3AM+n3AN.又M,P,N三点共线,所以2m3+n3=1.所以1m+2n=(1m+2n)(2m3+n3)=43+n3m+4m3n≥43+2n3m·4m3n=83,当且仅当n3m=4m3n且m>0,n>0,2m3+n3=1,即m=34,n=32时,等号成立.故1m+2n的最小值为83.故选B.
13.BC 解析 AC=AB+BC=-BA+BC=-1λBP+1μBQ,若AC=BP+BQ,则-1λ=-1,1μ=1,则λ=-1,μ=1,λ+μ=0,故A错误;BD=BC+CD=BC+12BA=1μBQ+12λBP,若BD=BP+BQ,则λ=12,μ=1,λ+μ=32,故B正确;过点D作DE⊥AB,在等腰梯形ABCD中,AD=2,AE=1,所以∠DAB=∠CBA=45°,当四边形ADMP为平行四边形时,∠QPB=∠DAB=∠CBA=45°,即∠BQP=90°,所以BP=2BQ,即λ|BA|=2μ|BC|,又|BA|=22|BC|,所以μ=2λ,故C正确;当2DC=DM时,C是DM的中点,则BM=BC+CM=BC−12BA=1μBQ−12λBP,因为点P,Q,M共线,所以1μ−12λ=1,故2μ−1λ=2,故D错误.故选BC.
14.-3 解析 因为EF=ED+DC+CF,由AD=3AE,BC=3BF,可得ED=-2EA,CF=-2BF,所以EF=-2EA+DC-2BF=-2(EA+BF)+DC.又因为EF=EA+AB+BF,即EA+BF=EF−AB,所以EF=-2(EF−AB)+DC⇒CD=-3EF+2AB.又因为CD=2AB+mEF,所以m=-3.
15.(127,2) 解析 因为点O(0,0),A(0,5),B(4,3),OC=14OA,OD=12OB,
所以C(0,54),D(2,32).
设M(x,y),则AM=(x,y-5).
而AD=(2,-72),因为A,M,D三点共线,所以AM与AD共线,所以-72x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.
而CM=(x,y-54),CB=(4,74),
因为C,M,B三点共线,
所以CM与CB共线,
所以74x-4(y-54)=0,
即7x-16y=-20.
由7x+4y=20,7x-16y=-20,得x=127,y=2,
所以点M的坐标为(127,2).