2022高考数学一轮复习课时规范练25平面向量基本定理及向量的坐标表示（含解析）

课时规范练25　平面向量基本定理及向量的坐标表示

基础巩固组

1.已知向量a=(3,4),b=(1,2),则2b-a=(　　)

A.(-1,0) B.(1,0) 

C.(2,2) D.(5,6)

2.(2020山东济南长清高三段考模拟)已知{e1,e2}是平面向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一组基底的是(　　)

A.{e1,e1+e2} B.{e1-2e2,e2-2e1}

C.{e1+e2,e1-e2} D.{e1-2e2,4e2-2e1}

3.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是(　　)

A.(-∞,2) B.(2,+∞)

C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)

4.(2020山东菏泽一模,4)已知向量a,b满足a=(1,2),a+b=(1+m,1),若a∥b,则m=(　　)

A.2 B.-2 

C. D.-

5.已知向量在正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ,则λμ=(　　)

A.-3 B.3 

C.-4 D.4

6.(2020湖北襄阳五中高三模拟)已知向量a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的(　　)

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

7.已知平面向量a=(1,-3),b=(-2,0),则|a+2b|= (　　)

A.3 B.3 

C.2 D.5

8.(2020河北石家庄二中开学预考)已知非零不共线向量,若2=x+y,且=λ(λ∈R),则点Q(x,y)的轨迹方程是(　　)

A.x+y-2=0 

B.2x+y-1=0

C.x+2y-2=0 

D.2x+y-2=0

9.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC=,且|OC|=2,若=λ+μ,则λ+μ=(　　)

A.2 B.

C.2 D.4

10.(2020安徽马鞍山二模,13)已知向量a=(2,-1),b=(1,t),且|a+b|=|a-b|,则t=　　　　. 

11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若=2,则|QF|=　　　　　. 

综合提升组

12.(2020山东青岛5月模拟,3)已知向量a=(1+cos x,2),b=(sin x,1),x∈0,,若a∥b,则sin x=(　　)

A. B. C. D.

13.(2020山东潍坊临朐模拟二,5)已知向量m=(a,-1),n=(2b-1,3)(a>0,b>0),若m∥n,则的最小值为(　　)

A.12 B.8+4

C.15 D.10+2

14.(2020安徽六安一中期中)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a+b,b+c),n=(c-b,a),若m∥n,则C=(　　)

A. B. C. D.

15.已知△OAB是边长为1的正三角形,若点P满足=(2-t)+t(t∈R),则||的最小值为(　　)

A. B.1 C. D.

16.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则向量a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为　　　　　. 

创新应用组

17.在矩形ABCD中,AB=1,AD=,P为矩形内一点,且AP=.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为(　　)

A. B.

C. D.

参考答案

课时规范练25　平面向量

基本定理及向量的坐标表示

1.A　由题得2b=(2,4),∴2b-a=(-1,0),故选A.

2.D　因为{e1,e2}是平面向量的一组基底,故e1和e2不共线,所以e1和e1+e2不共线,e1-2e2和e2-2e1不共线,e1+e2和e1-e2不共线.因为4e2-2e1=-2(e1-2e2),所以e1-2e2和4e2-2e1共线.故选D.

3.D　由题意,得向量a,b不共线,则2m≠3m-2,解得m≠2.故选D.

4.D　由已知,得b=(a+b)-a=(1+m,1)-(1,2)=(m,-1).因为a∥b,所以2m+1=0,解得m=-.故选D.

5.A　设小正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,则=(2,-2),=(1,2),=(1,0).由题意,得(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0),即解得所以λμ=-3.

故选A.

6.A　由题意得a+b=(2,2+m),由a∥(a+b),得-1×(2+m)=2×2,所以m=-6,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件.

7.A　因为a=(1,-3),b=(-2,0),

所以a+2b=(-3,-3),

因此|a+2b|==3.故选A.

8.A　由=λ,得=λ(),即=(1+λ)-λ.

又2=x+y,所以消去λ得x+y-2=0,故选A.

9.A　因为|OC|=2,∠AOC=,所以C(),又=λ+μ,

所以()=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=,λ+μ=2.

10.2　由|a+b|=|a-b|,得32+(t-1)2=1+(-1-t)2,解得t=2.

11.3　设点P(-1,t),Q(x,y),易知点F(1,0),=(-2,t),=(1-x,-y),

∴2(1-x)=-2,解得x=2,

因此|QF|=x+1=3,故选D.

12.A　因为a∥b,所以1+cosx-2sinx=0,所以cosx=2sinx-1.

又sin2x+cos2x=1,所以sin2x+(2sinx-1)2=1,

即5sin2x-4sinx=0,解得sinx=或sinx=0,又因为x∈0,,

所以sinx=.故选A.

13.B　∵m=(a,-1),n=(2b-1,3)(a>0,b>0),m∥n,∴3a+2b-1=0,即3a+2b=1,

∴=(3a+2b)=8+≥8+2=8+4,当且仅当,即a=,b=时取等号,∴的最小值为8+4.故选B.

14.B　∵m=(a+b,b+c),n=(c-b,a),且m∥n,∴(a+b)×a-(c-b)×(b+c)=0,整理得c2=a2+b2+ab.又c2=a2+b2-2abcosC,∴cosC=-.∵C∈(0,π),∴C=.故选B.

15.C　以O为原点,以OB为x轴,建立坐标系,

∵△OAB是边长为1的正三角形,

∴A,B(1,0),=(2-t)+t=1+t,t,=t+t.

∴||=,故选C.

16.(0,2)　∵向量a在基底p,q下的坐标为(-2,2),∴a=-2p+2q=(2,4).令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以解得故向量a在基底m,n下的坐标为(0,2).

17.B　以点A为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.

设∠PAB=θ,θ∈0,,

则B(1,0),D(0,),Pcosθ,sinθ,由=λ+μ得

∴λ+μ=(sinθ+cosθ)

=sinθ+≤,

当且仅当θ+,即θ=时取等号.故选B.