2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练65 二项式定理（含解析）

这是一份2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练65 二项式定理（含解析），共12页。试卷主要包含了7的展开式的第4项系数是等内容，欢迎下载使用。
考点一 二项展开式的通项及其应用
1.(2025·湖南永州模拟)(1-2x)7的展开式的第4项系数是( )
A.-280B.280C.-560D.560
2.(2025·江苏南通模拟)若(x+1x2)n(n∈N*)的展开式中存在常数项,则n的最小值为( )
A.1B.3C.5D.6
3.(2025·湖南岳阳模拟)(1+x2)(2x-1x)6的展开式中x2的系数为 .
4.(2a-b)2(a+b)8的展开式中,a3b7的系数是 .
考点二 二项式系数与各项的系数和问题
5.在(x−2x)n的展开式中,第三项为常数项,展开式中二项式系数和为a,所有项的系数和为b,则a-b= .
6.(2025·北京,12)已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4,则a0= ;a1+a2+a3+a4= .
考点三 二项式系数与项的系数的最值问题
7.(2025·甘肃白银模拟)已知(x-2)m展开式的所有二项式系数之和为32,则(x-1x)2m展开式的各项中系数的最大值为( )
A.252B.210C.120D.10
8.(x+2)8的二项展开式中系数最大的项为 .
考点四 二项式定理的应用
9.今天是星期三,再过22 025天是星期( )
A.一B.二C.四D.五
10.(2025·江西吉安模拟)1.0110的小数点后第二位的数字是( )
A.0B.1C.2D.5
素能综合练
11.在(x2-1x)8的二项展开式中,第4项的二项式系数是( )
A.56B.-56C.70D.-70
12.(2023·北京,5)在(2x-1x)5的展开式中,x的系数为( )
A.-40B.40
C.-80D.80
13.(2025·江苏泰州模拟)(x-1x)n(n∈N*)的展开式中二项式系数的和为64,则展开式中的常数项为( )
A.8B.12
C.15D.-20
14.(2025·浙江衢州模拟)若(1-x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a2+a4+a6=( )
A.31B.32
C.63D.64
15.已知(2x+1x)n的二项展开式中,第3项与第9项的二项式系数相等,则所有项的系数之和为( )
A.212B.312
C.310D.210
16.已知多项式(x-2)5+(x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6,则a1=( )
A.11B.74
C.86D.-1
17.(2025·山东省实验中学模拟)已知(1+2x)n(n∈N*)的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列,则n=( )
A.5B.6
C.7D.8
18.(2025·江苏南通模拟)已知(2x-1)6+a(x+1)3的展开式中x3的系数为0,则a的值为( )
A.-160B.160
C.-960D.960
19.(多选题)(2025·河北衡水高三一模)关于(1x-2x)6的展开式,下列说法中正确的是( )
A.各项系数之和为1
B.展开式中第二项与第四项的二项式系数相等
C.常数项为60
D.有理项共有4项
20.在(x+1)4(y+z)6的展开式中,系数最大的项为 .
21.(2025·安徽合肥模拟)(a+xy)(x+y)7的展开式中x2y5的系数为49,则a的值为 .
参考答案
课时规范练65 二项式定理
1.A 解析 由题得,(1-2x)7的展开式的第4项系数是C73(-2)3=35×(-8)=-280.故选A.
2.B 解析 (x+1x2)n展开式的通项为Tk+1=Cnkxn-k(1x2)k=Cnkxn-3k,k∈N,k≤n.
依题意知,n-3k=0有正整数解,则n是3的正整数倍,所以n的最小值为3.故选B.
3.80 解析 由题知(2x-1x)6展开式的通项为Tk+1=C6k(2x)6-k(-1x)k=(-1)k26-kC6kx6-2k.
若第一个因式取1,则(2x-1x)6的展开式应取x2,则对应项的系数为C62×24×(-1)2=240;若第一个因式取x2,则(2x-1x)6的展开式应取常数项,则对应项的系数为C63×23×(-1)3=-160.
所以(1+x2)(2x-1x)6的展开式中x2的系数为240-160=80.
4.-24 解析 因为(2a-b)2(a+b)8=4a2(a+b)8-4ab(a+b)8+b2(a+b)8,其中(a+b)8展开式的通项为Tk+1=C8ka8-kbk(0≤k≤8且k∈N),所以(2a-b)2(a+b)8的展开式中含a3b7的项为4a2C81ab7-4abC82a2b6+b2C83a3b5=-24a3b7,所以a3b7的系数为-24.
5.63 解析 (x−2x)n展开式的通项为Tk+1=Cnk(x)n-k(-2)k(1x)k=(-2)kCnkxn-3k2,k=0,1,2…,n.
令k=2,则n-3×2=0,
所以n=6,即(x−2x)6展开式中二项式系数和为a=26=64.
令x=1,可得所有项的系数和b=(-1)6=1,则a-b=64-1=63.
6.1 15 解析 令x=0,得a0=1.令x=-12,得16=a0+a1+a2+a3+a4,把a0=1代入上式,得a1+a2+a3+a4=15.
7.B 解析 因为(x-2)m展开式的所有二项式系数之和为32,所以2m=32,得m=5,所以(x-1x)10展开式的通项为Tk+1=C10k·x10-k·(-1x)k=(-1)kC10kx10-32k,当k=4或6时,(x-1x)2m展开式的系数最大,其系数最大值为C104=C106=210.故选B.
8.1 792x2,1 792x3 解析 由题知,(x+2)8展开式通项为Tk+1=2kC8kx8-k.
设(x+2)8展开式的第k+1项的系数最大,1≤k≤7,
则C8k·2k≥C8k+1·2k+1,C8k·2k≥C8k-1·2k-1,解得5≤k≤6.
当k=0时,T1=x8;当k=8时,T9=256.
所以系数最大的项为第6或第7项,
所以系数最大的项为T6=C85·25·x3=1 792x3,T7=C86·26·x2=1 792x2.
9.C 解析 因为22 025=8675=(7+1)675=C67507675+C67517674+…+C6756747+1=7(C67507674+C67517673+…+C675674)+1,所以22 025除以7的余数为1,故今天是星期三,再过22 025天是星期四.故选C.
10.A 解析 1.0110=(1+0.01)10=C1000.010+C1010.011+C1020.012+…+C10100.0110=1+0.1+0.004 5+…≈1.105,故小数点后第二位的数字是0.故选A.
11.A 解析 展开式中第4项的二项式系数为C83=8×7×63×2=56.故选A.
12.D 解析 (2x-1x)5的展开式的通项为Tk+1=C5k(2x)5-k(-1x)k=(-1)k25-kC5kx5-2k,令5-2k=1,得k=2,所以(2x-1x)5的展开式中x的系数为(-1)2×25-2×C52=80.故选D.
13.C 解析 由题可知,2n=64,得n=6,则展开式的通项为Tk+1=C6kx6-k·(-1x)k=(-1)kC6kx6-32k.
令6-32k=0,得k=4,所以常数项为(-1)4C64=15.故选C.
14.C 解析 当x=0时,(1-0)7=a0=1;
当x=1时,0=a0+a1+a2+…+a7;①
当x=-1时,27=a0-a1+a2-a3+…+a6-a7;②
则①+②=2(a0+a2+a4+a6)=27,所以a0+a2+a4+a6=26=64.
又a0=1,所以a2+a4+a6=64-1=63.故选C.
15.C 解析 由题意得,Cn2=Cn8,解得n=10.令x=1,得展开式中所有项的系数的和为310.故选C.
16.B 解析 对于(x-2)5,其展开式通项为Tr+1=C5rx5-r(-2)r,令5-r=1,得r=4,故T5=C54x(-2)4=80x;对于(x-1)6,其展开式通项为Tk+1=C6kx6-k·(-1)k,令6-k=1,得k=5,故T6=C65x(-1)5=-6x,所以a1=80-6=74.故选B.
17.C 解析 已知(1+2x)n(n∈N*)的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为Cn1,Cn2,Cn3.因为Cn1,Cn2,Cn3成等差数列,故2Cn2=Cn1+Cn3,即2×n(n-1)2×1=n+n(n-1)(n-2)3×2×1,化简得6(n-1)=6+(n-1)(n-2),即n2-9n+14=0,解得n=7或n=2(舍去).故选C.
18.B 解析 由题得,(2x-1)6的展开式中含x3的项为C63(-1)3(2x)3=23C63(-1)3x3,a(x+1)3的展开式中含x3的项为aC30x3,故23C63(-1)3+aC30=0,故a=160.
故选B.
19.ACD 解析 对于A,令x=1,则(1x-2x)6展开式中各项系数之和为1,故A正确;
对于B,展开式中第二项的二项式系数C61=6,第四项的二项式系数C63=6×5×43×2×1=20,第二项与第四项的二项式系数不相等,故B错误;
对于C,(1x-2x)6展开式的通项为C6k(1x)6-k(-2x)k=(-2)kC6kx3k-62,k=0,1,2,3,4,5,6,令3k-62=0,解得k=2,展开式中的常数项为(-2)2C62=4×15=60,故C正确;
对于D,当k=0,2,4,6时,3k-62∈Z,所以展开式的有理项共有4项,故D正确.故选ACD.
20.120x2y3z3 解析 由题可得,(x+1)4展开式的通项为Tr+1=C4rx4-r,(y+z)6展开式的通项为Tk+1=C6ky6-kzk.
∵(x+1)4展开式系数最大的项为C42x2=6x2,(y+z)6展开式系数最大的项为C63y3z3=20y3z3,
∴在(x+1)4(y+z)6的展开式中,系数最大的项为120x2y3z3.
21.2 解析 因为(x+y)7展开式的通项为Tk+1=C7kx7-kyk,k=0,1,2,…,7.
令k=5,可得T6=C75x2y5=21x2y5;
令k=6,可得T7=C76xy6=7xy6;
可得a·T6+xy·T7=a·21x2y5+xy·7xy6=(21a+7)x2y5,
所以21a+7=49,解得a=2.