2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练64 计数原理、排列与组合（含解析）

这是一份2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练64 计数原理、排列与组合（含解析），文件包含2026年高考物理一轮复习通用版第59讲光的折射和全反射专项训练教师版docx、2026年高考物理一轮复习通用版第59讲光的折射和全反射专项训练学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共72页， 欢迎下载使用。
考点一 两个计数原理
1.(2025·湖北十堰模拟)从1,2,3,4,5中任取三个不同的数组成一个三位数,则在所有组成的数中,能被3整除的数有( )
A.24个B.30个C.32个D.48个
2.(2025·江苏南京模拟)如图,一个地区分为6个区域,现给6个区域涂色(注:人工湖不需要涂色),每个区域涂1种颜色,相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择,则不同的涂色方法有 种.(用数字作答)
3.一个圆的圆周上均匀分布6个点,在这些点与圆心共7个点中,任取3个点,这3个点能构成不同的等边三角形的个数为 .
考点二 排列问题
4.(多选题)把5件不同产品A,B,C,D,E摆成一排,则下列说法正确的是( )
A.A与B相邻有48种摆法
B.A在C的左边有30种摆法
C.A,B相邻又A,C相邻,有12种摆法
D.A与B相邻,且A与C不相邻有36种摆法
5.形如45132的数称为“波浪数”,即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大,由1,2,3,4,5构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为( )
A.13B.16C.20D.25
考点三 组合问题
6.男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛,在下列情形中,各有多少种选派方法?
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;
(3)队长中至少有1人参加.
考点四 分组、分配问题
7.现需要抽派7支抢险工作队前往5个县救援,要求每个县至少有一个工作队的安排方法种数为( )
A.1 800B.16 800
C.14 280D.25 200
8.现将12个相同的小球全部放入4个不同的盒子里,每个盒子至少放2个小球,则不同的放法共有( )
A.24种B.35种C.56种D.70种
素能综合练
9.某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目,如果将这2个新节目插入原节目单中,那么不同的插法种数为( )
A.42B.48C.96D.124
10.为了丰富学生的课余生活,某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程,甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加,则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有( )
A.120种B.150种C.210种D.216种
11.(2025·贵州贵阳模拟)学校要求学生从物理、化学、生物、历史、地理、政治这6科中选3科组合学习,若要求物理、历史两科中必须选且只能选择其中一科,则选科方式共有( )
A.24种B.20种C.12种D.6种
12.(2025·江苏泰州高三模拟)如图,某社区为墙面A,B,C,D四个区域进行涂色装饰,每个区域涂一种颜色,相邻区域(有公共边)不能用同一种颜色,若只有四种颜色可供使用,则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有( )
A.12种B.24种C.48种D.84种
13.(2025·河北邯郸模拟)设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为a,b,c,若b>a,b>c,则称这个三位数为“峰型三位数”,例如251和121都是“峰型三位数”,在由0,1,2,3,4,5中的部分数字组成的三位数中,“峰型三位数”的个数为 .
14.如图,在十等分圆周中(10个点依次为A1,A2,…,A10),取四点构成凸四边形且为梯形的情况有 种.
参考答案
课时规范练64 计数原理、排列与组合
1.A 解析 能被3整除,则这三个数字之和为3的倍数,则取出的这三个数可能的情况为(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5),则在所有组成的数中能被3整除的数有4×3×2×1=24个.故选A.
2.216
解析 (方法1)如图,将6个区域标上序号,区域1有4种颜色可选,共4种涂色方法;区域2与区域1相邻,不能与区域1同色,有3种颜色可选,共3种涂色方法;区域3与区域1,2相邻,不能与区域1,2同色,有2种颜色可选,共2种涂色方法;①若区域4与区域2同色,有1种颜色可选,此时区域5与区域2不同色且有2种涂色方法,此时区域6有2种涂色方法;②若区域4与区域2不同色,有1种颜色可选,此时若区域5与区域2同色,有1种涂色方法,区域6有3种涂色方法,若区域5与区域2不同色,有1种涂色方法,区域6有2种涂色方法.
所以一共有4×3×2×[1×2×2+1×(1×3+1×2)]=216种涂色方法.
(方法2)可以同色的区域为1,5、1,6、2,4、2,5、3,6.①若用4种颜色,有(C21C21+C41C11)A44=192种涂法;②若用3种颜色,有(C21C21C11)A33=24种涂法.故共有192+24=216种涂色方法.
3.8 解析 如图1,由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形,共有6个;如图2,由圆上相间隔的三点可构成等边三角形,共有2个;所以,7个点中,任取3个点,这3个点能构成不同的等边三角形个数为6+2=8.
图1
图2
4.ACD 解析 对于A,产品A与B相邻,把A,B作为一个元素与C,D,E排列,有A44种摆法.又A,B有2种摆法,所以有2A44=48种摆法,故A正确;对于B,A在C的左边,有A55A22=A53=60种摆法,故B错误;对于C,当A,B相邻又满足A,C相邻,有2A33=12种摆法,故C正确;对于D,A与B相邻,且A与C不相邻,有48-12=36种摆法,故D正确.故选ACD.
5.B 解析 依题意,由1,2,3,4,5构成的无重复数字的五位“波浪数”的十位、千位数字分别为5与4或5与3.当十位、千位数字为5与4时,排十位、千位数字有A22种,排另三个数位有A33种,共可构成A22A33个五位数;当十位、千位数字为5与3时,则4与5必相邻,且4只能为最高位或个位,即4与5可视为一个整体,1,2,3视为一个整体,且3在1与2的中间,因此可构成A22A22个五位数.综上,构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为A22A33+A22A22=2×6+2×2=16.故选B.
6.解 (1)分两步完成:第1步,选3名男运动员,有C63种选派方法;第2步,选2名女运动员,有C42种选派方法.
由分步乘法计数原理可得,共有C63C42=120种选派方法.
(2)(方法1 直接法)“至少有1名女运动员”包括以下四种情况:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.由分类加法计数原理可得选派方法共有C41C64+C42C63+C43C62+C44C61=246种.
(方法2 间接法)从10人中任选5人有C105种选派方法,其中全是男运动员的选派方法有C65种.所以“至少有1名女运动员”的选派方法有C105−C65=246种.
(3)(方法1 直接法)可分类求解:“只有男队长”的选派方法种数为C84;“只有女队长”的选派方法种数为C84;“男、女队长都入选”的选派方法种数为C83.所以共有2C84+C83=196种选派方法.
(方法2 间接法)从10人中任选5人有C105种选派方法,其中不选队长的选派方法有C85种.所以“至少有1名队长”的选派方法有C105−C85=196种.
7.B 解析 各县救援队的分配有3,1,1,1,1与2,2,1,1,1两种方式.若分配方式是3,1,1,1,1,则有C73C41C31C21C11A44·A55=4 200种;若分配方式是2,2,1,1,1,则有C72C52C31C21C11A22A33·A55=12 600种.
所以共有4 200+12 600=16 800种安排方法.故选B.
8.B 解析 先在每个盒子中分别放入一个小球,则剩余8个小球,只需保证4个盒子中分别再放入至少1个小球,则采用隔板法,可得有C73=35种放法.故选B.
9.A 解析 因为原定节目顺序已确定,有6个空,插入第一个新节目有6种插法,这时6个节目产生7个空,插入第二个节目有7种插法,所以共有6×7=42种插法.故选A.
10.C 解析 依题意,每名同学都有6种选择方法,
所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有63-6=210种.故选C.
11.C 解析 从物理、历史中选1科,有C21种选法;从剩余4科中选2科,有C42种选法.故选科方式共有C21C42=12种.
故选C.
12.C 解析 由条件可知,可以分成A和D颜色相同,或B和C颜色相同.若A和D颜色相同,则有C41C31C21=24种涂色方法;若B和C颜色相同,也有24种涂色方法,所以一共有24×2=48种涂色方法.故选C.
13.40 解析 ①若“峰型三位数”由三个不同的数字组成.当“峰型三位数”含有数字0时,0必为个位数,再从余下5个数字中任取2个,大的数字为十位数,有C52个符合条件的三位数;当“峰型三位数”没有数字0时,从除0外的5个数字中任取3个,最大数字作十位,有A22C53个符合条件的三位数.此时,“峰型三位数”的个数为C52+A22C53=30;
②若“峰型三位数”由两个不同的数字组成,则一定不包含0,此时共有C52=10个符合条件的三位数.
综上,“峰型三位数”的个数为30+10=40.
14.60 解析 分三种:①以十边形的一条边为底(如A1A2),则构成梯形的个数为3×10=30;②类似如A1A3为底,则构成梯形的个数为2×10=20;③类似如A1A4为底,则构成梯形的个数为1×10=10.故取四点构成凸四边形且为梯形的情况共有30+20+10=60种.