2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练67 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（含解析）

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考点一 事件的相互独立性
1.(2025·上海青浦模拟)一个质地均匀的正四面体,四个面上分别标有数字1,2,3,4.任意掷一次该四面体,观察它与地面接触面上的数字,得到样本空间Ω={1,2,3,4},记事件A={1,2},事件B={1,3},事件C={1,4},则( )
A.事件A,B,C两两独立,事件A,B,C相互独立
B.事件A,B,C两两独立,事件A,B,C不相互独立
C.事件A,B,C不两两独立,事件A,B,C相互独立
D.事件A,B,C不两两独立,事件A,B,C不相互独立
2.某校举行了诗词知识竞赛,在必答题环节,甲、乙两位选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答,若甲每道题答对的概率为23,乙每道题答对的概率为34,且甲、乙答对与否互不影响,各题的结果也互不影响.求:
(1)甲至少抽到1道填空题的概率;
(2)甲答对的题数比乙多的概率.
考点二 条件概率
3.(2025·甘肃平凉模拟)已知M,N是一个随机试验中的两个事件,且P(M)=13,P(N)=12,P(M|N)=14,则P(N|M)=( )
A.13B.16C.34D.38
4.(2024·天津,13)有A,B,C,D,E五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加,则甲选到A活动的概率为 ;已知乙选了A活动,那么他再选择B活动的概率为 .
考点三 全概率公式
5.(2025·海南中学模拟)某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查,参加活动的甲、乙两班的人数之比为2∶3,其中甲班的女生占35,乙班的女生占25,则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为( )
A.38B.625C.712D.1225
素能综合练
6.(2025·福建泉州模拟)某系统通过摄像头识别手势,准确率为90%.若连续识别3次手势,则至少有一次识别错误的概率是( )
A.1-0.93
C.3×0.1×0.92
7.已知事件A与事件B相互独立,且P(A)=0.3,P(B)=0.4,则P(A∪B)=( )
A.0.1D.0.7
8.(2023·全国甲,理6)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4
9.(2026·江苏南京七校联合体高三调研)从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张,记事件A:第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数,事件B:第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字,则P(B|A)=( )
A.512B.514C.521D.542
10.(2025·山东齐鲁名校模拟)现有5种颜色的筷子各一双,从中任取两根筷子,若已知取到的筷子中有红色的,则两根筷子都是红色的概率为( )
A.15B.19C.113D.117
11.(多选题)(2025·江西新余模拟)有6个相同的球,分别编号1,2,3,4,5,6,从中先不放回地随机取两次,再将球全部放回随机取一次,记事件甲:第一次取球编号数字小于3;事件乙:第二次取球编号数字为偶数;事件丙:第三次取球编号为6;事件丁:前两次取球编号数字和为7;事件戊:第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列事件与事件甲独立的是( )
A.乙B.丙C.丁D.戊
12.如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K,A1,A2正常工作的概率依次为34,23,23,则系统正常工作的概率为 ,在系统能够正常工作的前提下,只有K和A1正常工作的概率为 .
参考答案
课时规范练67 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
1.B 解析 由题知,P(A)=24=12,P(B)=24=12,P(C)=24=12,P(AB)=14,P(AC)=14,P(BC)=14,P(ABC)=14.
因为P(AB)=14=P(A)P(B),P(AC)=14=P(A)P(C),P(BC)=14=P(B)P(C),所以事件A,B,C两两独立.又P(ABC)=14≠P(A)P(B)P(C)=18,所以事件A,B,C不相互独立.故选B.
2.解 (1)由题可知,甲至少抽到1道填空题的概率为1-C32C52=1-310=710.
(2)设事件A1,A2分别表示甲答对1道题,2道题,事件B0,B1分别表示乙答对0道题,1道题,则P(A1)=23×13+13×23=49,P(A2)=23×23=49,P(B0)=14×14=116,
P(B1)=34×14+14×34=38.
记事件B=“甲答对的题数比乙多”,则B=A1B0∪A2B0∪A2B1,且事件A1B0,A2B0,A2B1两两互斥,事件A1与事件B0,事件A2与事件B0,事件A2与事件B1分别相互独立,所以P(B)=P(A1B0)+P(A2B0)+P(A2B1)=P(A1)P(B0)+P(A2)P(B0)+P(A2)P(B1)=49×116+49×116+49×38=29,
故甲答对的题数比乙多的概率为29.
3.D 解析 因为P(M|N)=P(MN)P(N)=14,P(N)=12,所以P(MN)=18.
则P(N|M)=P(MN)P(M)=38.故选D.
4.35 12 解析 (方法1 列举法)从五个活动中选三个有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种情况,其中甲选到A活动有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,共6种情况,则甲选到A活动的概率为610=35;乙选了A活动有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,共6种情况,其中他再选择B活动有ABC,ABD,ABE,共3种情况,则乙选了A活动,再选择B活动的概率为36=12.
(方法2)甲选到A活动的概率P=C42C53=35;
设乙选了A活动为事件M,乙选了B活动为事件N,则P(M)=C42C53=35,P(MN)=C31C53=310,所以乙选了A活动,再选择B活动的概率P(N|M)=P(MN)P(M)=12.
5.D 解析 记事件A1=“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是甲班的”,事件A2=“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是乙班的”,事件B=“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是女生”,则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥.
由题意可知,P(A1)=25,P(A2)=35,且P(B|A1)=35,P(B|A2)=25,由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=25×35+35×25=1225,即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为1225.故选D.
6.A 解析 由题可知,3次都识别正确的概率为0.93,则至少有一次识别错误的概率为1-0.93.故选A.
7.C 解析 由事件A与事件B相互独立,P(A)=0.3,P(B)=0.4,得P(AB)=P(A)P(B)=0.12,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.58.故选C.
8.A 解析 由题意可知,既爱好滑冰又爱好滑雪的同学占60%+50%-70%=40%.设事件A为“该同学爱好滑雪”,事件B为“该同学爱好滑冰”,则所求概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=40%50%=0.8.故选A.
9.A 解析 第一次抽到3或6的概率为27,所以P(A)=27.当第一次抽到3时,第二次可能抽到1,2,4,5,6,7,其中4,5,6,7大于3,共4种情况;当第一次抽到6时,第二次可能抽到1,2,3,4,5,7,其中7大于6,共1种情况.所以P(AB)=4+17×6=542,P(B|A)=P(AB)P(A)=512.故选A.
10.D 解析 设事件M为“两根筷子都是红色的”,则P(M)=1C102=145.设事件N为“取到的筷子中有红色的”,则P(N)=1-C82C102=1745.所求即为P(M|N)=P(MN)P(N)=P(M)P(N)=117.故选D.
11.ABC 解析 根据题意,P(甲)=26=13,P(乙)=36×35+36×25=12,P(丙)=16,P(丁)=3C62=15,P(戊)=1-56×56=1136.对于A,P(甲乙)=530=16=P(甲)P(乙),故A正确;对于B,P(甲丙)=236=118=P(甲)P(丙),故B正确;对于C,P(甲丁)=230=115=P(甲)P(丁),故C正确;对于D,P(甲戊)=730≠P(甲)P(戊),故D错误.故选ABC.
12.23 14 解析 记“系统正常工作”为事件A,“只有K和A1正常工作”为事件B,则P(A)=34×C21×23×13+34×23×23=23,P(AB)=34×23×13=16,故在系统能够正常工作的前提下,只有K和A1正常工作的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=1623=14.