2027届高三数学一轮复习试题规范练65二项式定理（Word版附解析）

这是一份2027届高三数学一轮复习试题规范练65二项式定理（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了在5的展开式中,x的系数为等内容，欢迎下载使用。
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.在(x2-1x)8的二项展开式中,第4项的二项式系数是( )
A.56B.-56
C.70D.-70
2.(2023·北京,5)在(2x-1x)5的展开式中,x的系数为( )
A.-40B.40
C.-80D.80
3.(2025·江苏泰州模拟)(x-1x)n(n∈N*)的展开式中二项式系数的和为64,则展开式中的常数项为( )
A.8B.12
C.15D.-20
4.(2025·浙江衢州模拟)若(1-x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a2+a4+a6=( )
A.31B.32
C.63D.64
5.已知(2x+1x)n的二项展开式中,第3项与第9项的二项式系数相等,则所有项的系数之和为( )
A.212B.312
C.310D.210
6.已知多项式(x-2)5+(x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6,则a1=( )
A.11B.74
C.86D.-1
7.(2025·山东省实验中学模拟)已知(1+2x)n(n∈N*)的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列,则n=( )
A.5B.6
C.7D.8
8.(2025·江苏南通模拟)已知(2x-1)6+a(x+1)3的展开式中x3的系数为0,则a的值为( )
A.-160B.160
C.-960D.960
9.(多选题)(2025·河北衡水高三一模)关于(1x-2x)6的展开式,下列说法中正确的是( )
A.各项系数之和为1
B.展开式中第二项与第四项的二项式系数相等
C.常数项为60
D.有理项共有4项
10.在(x+1)4(y+z)6的展开式中,系数最大的项为 .
11.(2025·安徽合肥模拟)(a+xy)(x+y)7的展开式中x2y5的系数为49,则a的值为 .
综合提升练
12.(2025·浙江天域协作体模拟)(x2+2x+y)6的展开式中,x5y2的系数为( )
A.60B.120C.240D.360
13.(1-x)10的展开式中,系数最小的项是( )
A.第4项B.第5项
C.第6项D.第7项
14.(2025·重庆模拟)若162 026+m能被7整除,则m的最小正整数取值为( )
A.3B.4
C.5D.6
15.(多选题)(2025·广东广州模拟)在(1-2x)2n(n∈N*)的展开式中,下列说法正确的是( )
A.展开式共2n+2项B.各项系数的和为1
C.x2n-2项的系数为(2n2-2)4n-1D.二项式系数最大的项为第n+1项
16.(多选题)如图所示,在“杨辉三角”中,除每行两边的数都是1外,其余每个数都是其“肩上”的两个数之和,例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列说法中正确的是( )
A.在第10行中第5个数最大
B.C22+C32+C42+…+C82=84
C.第8行中第4个数与第5个数之比为4∶5
D.在杨辉三角中,第n行的所有数字之和为2n-1
17.(2025·湖南邵阳模拟)已知(1+x)m+(1+x)m+1+…+(1+x)2m(m∈N*)的展开式中xm的系数为126,则m=( )
A.3B.4
C.5D.6
18.(2025·山东泰安模拟)x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5,则a2= .
参考答案
课时规范练65 二项式定理
1.A 解析 展开式中第4项的二项式系数为C83=8×7×63×2=56.故选A.
2.D 解析 (2x-1x)5的展开式的通项为Tk+1=C5k(2x)5-k(-1x)k=(-1)k25-kC5kx5-2k,令5-2k=1,得k=2,所以(2x-1x)5的展开式中x的系数为(-1)2×25-2×C52=80.故选D.
3.C 解析 由题可知,2n=64,得n=6,则展开式的通项为Tk+1=C6kx6-k(-1x)k=(-1)kC6kx6-32k.令6-32k=0,得k=4,所以常数项为(-1)4C64=15.故选C.
4.C 解析 当x=0时,(1-0)7=a0=1;
当x=1时,0=a0+a1+a2+…+a7;①
当x=-1时,27=a0-a1+a2-a3+…+a6-a7;②
则①+②=2(a0+a2+a4+a6)=27,所以a0+a2+a4+a6=26=64.
又a0=1,所以a2+a4+a6=64-1=63.故选C.
5.C 解析 由题意得,Cn2=Cn8,解得n=10.令x=1,得展开式中所有项的系数的和为310.故选C.
6.B 解析 对于(x-2)5,其展开式通项为Tr+1=C5rx5-r(-2)r,令5-r=1,得r=4,故T5=C54x(-2)4=80x;对于(x-1)6,其展开式通项为Tk+1=C6kx6-k(-1)k,令6-k=1,得k=5,故T6=C65x(-1)5=-6x,所以a1=80-6=74.故选B.
7.C 解析 已知(1+2x)n(n∈N*)的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为Cn1,Cn2,Cn3.因为Cn1,Cn2,Cn3成等差数列,故2Cn2=Cn1+Cn3,即2×n(n-1)2×1=n+n(n-1)(n-2)3×2×1,化简得6(n-1)=6+(n-1)(n-2),即n2-9n+14=0,解得n=7或n=2(舍去).故选C.
8.B 解析 由题得,(2x-1)6的展开式中含x3的项为C63(-1)3(2x)3=23C63(-1)3x3,a(x+1)3的展开式中含x3的项为aC30x3,故23C63(-1)3+aC30=0,故a=160.故选B.
9.ACD 解析 对于A,令x=1,则(1x-2x)6展开式中各项系数之和为1,故A正确;
对于B,展开式中第二项的二项式系数C61=6,第四项的二项式系数C63=6×5×43×2×1=20,第二项与第四项的二项式系数不相等,故B错误;
对于C,(1x-2x)6展开式的通项为C6k(1x)6-k(-2x)k=(-2)kC6kx3k-62,k=0,1,2,3,4,5,6,令3k-62=0,解得k=2,展开式中的常数项为(-2)2C62=4×15=60,故C正确;
对于D,当k=0,2,4,6时,3k-62∈Z,所以展开式的有理项共有4项,故D正确.故选ACD.
10.120x2y3z3 解析 由题可得,(x+1)4展开式的通项为Tr+1=C4rx4-r,(y+z)6展开式的通项为Tk+1=C6ky6-kzk.
∵(x+1)4展开式系数最大的项为C42x2=6x2,(y+z)6展开式系数最大的项为C63y3z3=20y3z3,
∴在(x+1)4(y+z)6的展开式中,系数最大的项为120x2y3z3.
11.2 解析 因为(x+y)7展开式的通项为Tk+1=C7kx7-kyk,k=0,1,2,…,7.
令k=5,可得T6=C75x2y5=21x2y5;
令k=6,可得T7=C76xy6=7xy6;
可得a·T6+xy·T7=a·21x2y5+xy·7xy6=(21a+7)x2y5,
所以21a+7=49,解得a=2.
12.B 解析 要得到x5y2这一项,相当于从6个因式x2+2x+y中的3个因式取x2,1个因式取2x,2个因式取y,即x5y2这一项为C63(x2)3·C31·2x·C22y2=120x5y2.故x5y2的系数为120.故选B.
13.C 解析 依题意,(1-x)10的展开式的通项为Tk+1=C10k(-x)k=(-1)kC10kxk(0≤k≤10,k∈N),其系数为(-1)kC10k.当k为奇数时,(-1)kC10k能取得最小值.由二项式系数的性质可知,当k=5时,C105取最大项,所以当k=5时,(-1)kC10k取得最小值,即第6项的系数最小.故选C.
14.C 解析 由题意得,162 026+m=(2×7+2)2 026+m,(2×7+2)2 026+m=C2 0260(2×7)2 02620+…+C2 0262 025(2×7)122 025+C2 0262 026(2×7)022 026+m.又C2 0260(2×7)2 02620+…+C2 0262 025(2×7)122 025一定能被7整除,则只需保证C2 0262 026(2×7)022 026+m能被7整除即可,而C2 0262 026(2×7)022 026+m=22 026+m,得22 026+m=2×22 025+m=2×(23)675+m=2×8675+m=2×(7+1)675+m,故2(7+1)675=2(C67507675+…+C675675×70)=2(C67507675+…+C675674×71)+2.又C67507675+…+C675674×71一定能被7整除,只需保证2+m能被7整除即可,若使m最小,则满足2+m=7,解得m=5.故选C.
15.BD 解析 对于A,(1-2x)2n的展开式中共2n+1项,故A错误;对于B,令x=1,可得(1-2)2n=1,则各项系数的和为1,故B正确;对于C,(1-2x)2n展开式的通项为Tk+1=C2nk(-2x)k=C2nk(-2)kxk,令k=2n-2,则该项系数为C2n2n-2(-2)2n-2=C2n24n-1=(2n2-n)4n-1,故C错误;对于D,因为二项式的指数2n为偶数,展开式有2n+1项,则二项式系数最大的项为中间一项,即第n+1项,故D正确.故选BD.
16.BC 解析 对于A,第10行是(a+b)10的展开式的系数,所以第10行中第6个数最大,故A错误;对于B,C22+C32+C42+…+C82=C33+C32+C42+…+C82=C43+C42+…+C82=…=C83+C82=C93=84,故B正确;对于C,第8行是(a+b)8的展开式的系数,且(a+b)8展开式的通项为Tk+1=C8ka8-kbk,所以第4个数为C83=56,第5个数为C84=70,所以第4个数与第5个数之比为4∶5,故C正确;对于D,第n行是(a+b)n的展开式的二项式系数,故第n行的所有数字之和为2n,故D错误.故选BC.
17.B 解析 由题意有xm的系数为Cmm+Cm+1m+Cm+2m+…+C2mm=Cm+1m+1+Cm+1m+Cm+2m+…+C2mm=Cm+2m+1+Cm+2m+…+C2mm=C2m+1m+1=126,解得m=4.故选B.
18.10 解析 x5=[1+(x-1)]5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5,[1+(x-1)]5展开式的通项为Tk+1=C5k15-k(x-1)k,k=0,1,2,…,5,所以a2=C52=10.