2027年高考数学一轮专题复习考点通关：课时规范练69 二项分布、超几何分布（含解析）

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考点一 二项分布及其应用
1.(2025·浙江台州模拟)某市为了推广垃圾分类,在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果,市环保部门随机抽取了1 000名成年市民进行调查.假设该市成年人口为100万,且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如表:
(1)从该市成年人口中随机抽取1人,求其对垃圾分类知识“不了解”的概率;
(2)该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后,“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”,有20%转变为“非常了解”,其余保持不变.经过重点宣传后,从该市成年人口中随机抽取3人,记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数,求X的分布列及数学期望.
考点二 超几何分布及其应用
2.(2025·河北张家口模拟)某医院从A,B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动,已知A,B两个科室中的志愿者分布如下:
(1)求抽到的4人中,恰好有2名医生,且这2名医生恰好来自同一科室的概率;
(2)设X为选出的4人中医生的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
素能综合练
3.某班级准备进行抽奖活动,福袋中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个相同小球,从袋中一次性摸出三个小球,若号码之和是3的倍数,则获奖,其余情况不获奖.若有5名同学参与此次活动,则恰好3人获奖的概率是( )
A.72625B.108625C.144625D.216625
4.已知随机变量X~B(n,12),若D(X)=2,则E(X)=( )
A.12B.1C.2D.4
5.一包装箱内有12件产品,其中有10件合格品.现从中随机取出4件,设取出的4件产品中有X件合格品,则E(X)=( )
A.13B.23C.43D.103
6.(多选题)袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则( )
A.X~B(4,23)B.P(X=2)=881
C.E(X)=83D.D(X)=89
7.(多选题)某人参加一次测试,在备选的10道题中,他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是( )
A.答对0题和答对3题的概率相同,都为18
B.答对1题的概率为38
C.答对2题的概率为512
D.合格的概率为12
8.(2025·陕西西安模拟)排球比赛实行“五局三胜制”(当一队赢得三场胜利时,该队获胜,比赛结束),根据此前的若干次比赛数据统计可知,在甲、乙两队的比赛中,每场比赛甲队获胜的概率为23,乙队获胜的概率为13,则在这场“五局三胜制”的排球比赛中,甲队获胜的概率为 .
参考答案
课时规范练69 二项分布、超几何分布
1.解 (1)已知随机抽取了1 000名成年市民进行调查,其中“不了解”的人数为100,可得P=1001 000=0.1,所以从该市成年人口中随机抽取1人,对垃圾分类知识“不了解”的概率为0.1.
(2)原来“不了解”的市民占比为0.1,“非常了解”的市民占比为5801 000=0.58,“一般了解”的市民占比为3201 000=0.32.
经过重点宣传后,“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”,有20%转变为“非常了解”,其余保持不变,所以重点宣传后“非常了解”的概率为0.58+0.1×20%=0.58+0.02=0.6.
从该市成年人口中随机抽取3人,记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数,因为每次抽取是相互独立的,且抽取到“非常了解”的概率都为0.6,所以X的所有可能取值为0,1,2,3,X~B(3,0.6),P(X=0)=C30×0.60×(1-0.6)3=1×1×0.43=0.064,P(X=1)=C31×0.61×(1-0.6)2=3×0.6×0.42=0.288,P(X=2)=C32×0.62×(1-0.6)=3×0.36×0.4=0.432,P(X=3)=C33×0.63=0.63=0.216.
所以X的分布列为
因为X~B(3,0.6),则E(X)=3×0.6=1.8.
2.解 (1)由已知,恰好有2名医生,且这2名医生恰好来自同一科室的情况包含这2名医生都来自A科室或都来自B科室,有C22C62+C32C62种情况.
从11人中抽调4人,有C114种情况,所以所求的概率为C22C62+C32C62C114=60330=211.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=C50C64C114=122,P(X=1)=C51C63C114=1033,P(X=2)=C52C62C114=511,P(X=3)=C53C61C114=211,P(X=4)=C54C60C114=166,所以随机变量X的分布列为
所以E(X)=0×122+1×1033+2×511+3×211+4×166=2011.
3.C 解析 每次抽奖中,共有C53=10种情况,获奖的情况有(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5) 4种,所以获奖的概率P=25.设5人中获奖人数为X,则X~B(5,25),所以P(X=3)=C53×(25)3×(35)2=144625.
4.D 解析 由题意可得,D(X)=12n×(1-12)=2,解得n=8,所以E(X)=8×12=4.故选D.
5.D 解析 由题可得X服从超几何分布,且n=4,N=12,M=10,所以E(X)=nMN=4×1012=103.故选D.
6.ACD 解析 从袋子中有放回地随机取球4次,则每次取球互不影响,并且每次取到的黑球概率相等,又取到黑球记1分,取4次球的总分数,即为取到黑球的个数,所以随机变量X服从二项分布,即X~B(4,23),故A正确;P(X=2)=C42×(23)2×(13)2=827,故B错误;因为X~B(4,23),所以E(X)=4×23=83,故C正确;D(X)=4×23×13=89,故D正确.
7.CD 解析 设此人答对题目的个数为ξ,则ξ=0,1,2,3,P(ξ=0)=C50C53C103=112,P(ξ=1)=C51C52C103=512,P(ξ=2)=C52C51C103=512,P(ξ=3)=C53C50C103=112,则答对0题和答对3题的概率相同,都为112,故A错误;答对1题的概率为512,故B错误;答对2题的概率为512,故C正确;合格的概率P=P(ξ=2)+P(ξ=3)=512+112=12,故D正确.
8.6481 解析 若甲队3局内获胜,则P1=(23)3=827;若甲队4局内获胜,则P2=C31×13×(23)3=827;若甲队5局内获胜,则P3=C42×(13)2×(23)3=1681.
故甲获胜的概率为P=P1+P2+P3=827+827+1681=6481.了解情况
非常了解
一般了解
不了解
人数/名
580
320
100
类别科室
志愿者
医生
护士
A科室
2
3
B科室
3
3
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
X
0
1
2
3
4
P
122
1033
511
211
166