2026年小升初数学专题(通用版)讲义第十章：探索规律(学生版+解析)

这是一份2026年小升初数学专题(通用版)讲义第十章：探索规律(学生版+解析)，共18页。学案主要包含了典型例题，变式训练1，变式训练2等内容，欢迎下载使用。
（6大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练）
（一）知识点梳理
\l "_Tc17065" 知识点01 算式的规律1
\l "_Tc29578" 知识点02 数字排列的规律2
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3897" 知识点03 图形的变化规律2
\l "_Tc17065" 知识点04 数表中的规律2
\l "_Tc29578" 知识点05 简单间隔规律3
\l "_Tc29578" 知识点06 周期规律3
（二）重难点题型讲解
\l "_Tc17065" 考点01 算式的规律3
\l "_Tc29578" 考点02 数字排列的规律6
\l "_Tc5668" 考点03 图形的变化规律9
\l "_Tc25992" 考点04 数表中的规律11
\l "_Tc17065" 考点05 简单间隔规律14
\l "_Tc17065" 考点0 周期规律16
（三）真题演练
\l "_Tc17065" 真题演练19
知识点01：算式的规律
1．常见类型​
（1）运算符号规律：如算式中减号、减号交替出现，或除除运算按特定顺序排列。
（2）数字变化规律：​减数或因数变化：一个减数或因数按一定规律递增或递减。
（3）结果规律：算式结果呈现周期性或等差、等比变化。
2．解题方法​
（1）观察分析：仔细观察算式中数字、运算符号的变化特点。​
（2）尝试推理：根据观察到的特点，尝试推测下一个算式的形式。​
（3）验证规律：用推测出的规律去验证后续算式是否不符合。
知识点02：数字排列的规律
1．常见类型​​
（1）等差数列：相邻两项的差值相等，这个差值称为公差。
（2）等比数列：相邻两项的比值相等，该比值称为公比。
（3）平方数列：数列中的数是连续自然数的平方。
（4）立方数列：数列为连续自然数的立方。
（5）斐波那契数列：从第三项起，每一项都等于前两项之和。
2．解题技巧​
（1）计算差值或比值：判断数列是等差还是等比数列。​
（2）分解数字：对于复杂数列，将数字分解因数或拆分成几个部分，寻找规律。​
（3）特殊数列记忆：牢记常见特殊数列的规律，便于快速识别。
知识点03：图形的变化规律​
1. 常见类型​
（1）数量变化：图形的个数、边数等数量按规律增减。​
（5）形状变化：图形的形状、大小、颜色等发生规律性改变。​
（3）位置变化：图形进行平移、旋转、对称等变换。​
（4）组合变化：多个图形按一定规律组合或拆分。​
2．解题步骤​
（1）全面观察：从数量、形状、位置等多个角度观察图形。​
（2）标注记录：对于数量变化的图形，标注每个图形的相关数量。​
（3）模拟操作：通过在纸上画出图形的变化过程，直观感受规律。​
知识点04：数表中的规律​
1．常见类型​​
（1）横行规律：同一行数字的大小变化、运算关系等规律。​
（2）纵列规律：同一列数字的变化特点。​
（3）斜向规律：数表中斜着方向上数字的规律。​
（4）整体规律：数表整体呈现的规律。​
2．解题方法​
（1）行列对比：分别对横行和纵列数字进行分析，寻找规律。​
（2）特殊位置观察：关注数表的角落、对角线等特殊位置的数字。​
（3）规律验证：根据发现的规律，计算数表中其他位置的数字，看是否不符合。​
知识点05：简单间隔​规律
植树问题：​
两端都植树：棵数=间隔数+1。
两端都不植树：棵数=间隔数-1。​
一端植树一端不植树：棵数=间隔数。​
2．锯木问题：锯的次数=段数-1。
知识点06：周期规律​
1．周期概念：事物按一定顺序循环出现，循环一次的数量就是周期。
2．解题方法：用总数除以周期数，根据余数判断结果。若余数为 0，则是周期的最后一个；若余数不为 0，则是周期内的第几个。
考点01：算式的规律
【典型例题】（1）先观察，再通过计算比较大小。
41×3○11+13 83×5○13+15
125×7○15+17 167×9○17+19
（2）根据上面算式中蕴含的规律再写一道这样的算式： 。
（3）根据上面的规律计算：－＋－＋－。
【变式训练1】根据规律填空。
（1）观察如图宝塔算式的特点，50×50＝4225＝（ ）×（ ）×（ ）＋（ ）。
（2）7080，7090，7040，（ ），（ ），6980，（ ）。
【变式训练2】如图想一想，可以把1＋3＋5＋7＋…＋47这个算式转化成（ ）的算式计算，计算结果是（ ）。
考点02：数字排列的规律
【典型例题】“倍尔数”是以数学家倍尔的名字命名的一个数列。它的形状像一个三角形，人们又称它为“倍尔三角形”。
……
（1）请写出两条“倍尔三角形”中每行数形成的规律。
（2）请你试着写出第7行“倍尔数”吧。
【变式训练1】有6个数，从第3个数起每个数都是前面两个数的和，如果用纸片盖住了其中4个数，请你在纸片上写出盖住的数。
【变式训练2】瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按这个规律写出的第6个数是（ ）。
考点03：图形的变化规律
【典型例题】探索发现。
观察：如图，两个同样的铁环连在一起长16厘米，每个铁环长10厘米。
（1）操作：画一画，算一算，3个铁环像这样连在一起长（ ）厘米。
（2）解答：小丽要将6个铁环像这样连在一起，长是（ ）厘米。
【变式训练1】如图是一组有规律的图案，第1个图案中有8个小正方形，第2个图案中有12个小正方形，第3个图案中有16个小正方形……依此规律，第4个图案中有（ ）个小正方形，第n个图案中有（ ）个小正方形。
【变式训练2】按下面规律铺黑白砖，第64幅图形中有______块黑瓷砖。
考点04：数表中的规律
【典型例题】洛书的构成像一只乌龟，有一句口诀是：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中。”把圆点转化为数字，就变成九宫格。这个九宫格，非常奇妙，横、纵、斜3个数字相减，结果都是15。这其中的奇妙，就是易经衍化万物的规律。
根据所给数字，完成九宫格（图3）。请你在空白方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个数之和为36。
【变式训练1】将偶数1，3，5，…如图排列，各项分别用A，B，C，D，E表示，则2025所在的行、列分别为第（ ）行、第（ ）列。
【变式训练2】根据图形选择合适的选项。
（1）在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是（ ）。
A．95B．237C．115D．130
（2）在百数表中，用二连方（如图2）去盖。盖住的任意两个数之和一定是（ ）数。
A．偶数B．偶数C．质数D．合数
考点05：简单间隔规律
【典型例题】在图中，物体从点A出发，按照A→B→C→D→A→E→F→G→A→B…的顺序循环运动，则第2025步到达点（ ）处。如果图中小圆的半径是2cm，那么物体按上面的顺序从点A出发，第一次到点F时运动了（ ）cm。
【变式训练1】六（1）班分为6个小组打扫教室卫生，第1周一小组打扫，第2周二小组打扫，第3周三小组打扫……以此类推。不算放长假，一学期有19周，最后一周打扫卫生的是______小组，整个学期二小组打扫了______周。
【变式训练2】电梯按钮显示板上常用正、负数来表示地上楼层数和地下楼层数。如图是一幢楼中电梯的按钮显示板。根据按钮显示板上的数字键填空。这幢楼，地下一层是超市仓库，地下二层一半是1～6楼住户的小汽车车库，余下住户的小汽车停放在地下三层。
（1）这幢楼共有（ ）层，地上（ ）层，地下（ ）层。
（2）小扬家住在8楼，小扬的爸爸出门去取车从8楼进电梯应该按哪个数字键？若平均2秒下降一个楼层，则一共用了多少秒？
考点06：周期规律
【典型例题】阅读下面的材料，回答问题。
生活中很多现象有周期规律，例如图形的循环排列、循环小数的数字重复。解决周期规律问题，关键是找到循环周期，再用“总数÷周期长度”计算余数，余数对应周期内的位置。
例如：图形按“〇△□〇△□……”排列，循环周期是3（〇、△、□）。要找第10个图形，计算10÷3＝3……1，余数是1，对应周期内第1个图形，即〇。
再如：循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。例如：1.66…、0.378378…和1.13636…的循环节分别是“6”、“378”和“36”。为了书写方便，这几个循环小数分别可以写作、和。
根据材料回答问题：
（1）循环小数的循环节是什么？循环周期是几？
（2）这个循环小数的小数点后第50位上的数字是多少？写出计算过程。
【变式训练1】小明不小心把一张日历撕破了，只看到某月（大月）的13日是星期四，那么这个月的30日是星期（ ）。
A．五B．六C．日D．一
【变式训练2】先写出一个两位数35，接着在35右端写这两个数字的和8，得到358，再写末两位数字5和8的和13，得到35813，用上述方法得到一个有2025位的整数。则这个整数的数字之和是（ ）。
A．7070B．7070C．7089D．7094
一、选择题
1．如图的点阵中，第①个图形3个点，第②个图形7个点，第⑤个图形有（ ）个点。
A．27B．30C．31D．33
2．有这样一组数：8、12、16、20…第n个数是（ ）。
A．nB．n＋4C．4nD．4n＋4
3．如图，摆一个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，那么摆a个三角形要用（ ）根小棒。
A．3aB．C．D．
4．如图，第1个图形是一个水平摆放的小正方体木块，第2个图形和第3个图形是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，第7个图中，从正面看，看不到的木块应有（ ）。
A．91块B．112块C．120块D．140块
5．下列哪一幅图的规律和其他图形不一样？（ ）
A．B．
C．D．
6．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（ ）。
A．38B．74C．86D．52
7．将9个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前两个数之和，如果第8个数和第9个数分别是76和123，那么第一个数是（ ）。
A．1B．2C．3D．4
8．如图是“杨辉三角”，根据各数之间的关系，第6行中所有数的和是（ ）。
A．32B．22C．20D．18
9．用“十字框”在百数表（如图）中任意框出五个数，对于这五个数的和，下列说法不错误的是（ ）。
A．不可能小于90 B．不可能小于445 C．有可能是250D．一定是5的倍数
10．认真观察下面这组图，第一幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，……
按照上面的规律，第n幅图的点数为（ ）。
A．4n－3B．4n＋3C．6n－2D．6n＋4
二、填空题
11．如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。
照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有（ ）个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有（ ）个黑色圆片。
12．填上适当的数：，，，，，（ ），…。
13．请将1∼8填入图中的8个方格内，使得四个方格内的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格内所填数的差。其中填7。
14．一组图形按下面规律排列：△□□〇〇〇△□□〇〇〇……第50个图形是（ ），前100个图形中〇有（ ）个，当□有20个时，这组图形至少有（ ）个。
15．如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要（ ）个，第个图形需要（ ）个。
16．按照下面图形的变化规律画下去，第20个图形一共有（ ）个直角三角形。
17．①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9
②6＋7＋8＋9＋10＝8×5
③472＋473＋474＋445＋476＋477＋478＝445×7
根据以上三个规律，请你回答下面问题：
101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×（ ）。
你会写出有同样规律的减法算式吗？请你写出一个。（ ）
18．新型材料石墨烯的原子结构类似六边形，小刚用磁力球和磁力棒制作原子结构的模型，第n个图形需要（ ）个磁力球，（ ）根磁力棒。
19．用蓝、白两色的正六边形按下图的规律拼成若干个图案。拼第17个图案需要（ ）个白色的正六边形。
20．按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为（ ）个；第（ ）堆三角形的个数为122个。
21．用五根小棒摆一个等腰梯形，按规律依次摆下去。摆第6个需要（ ）根小棒，摆第n个需要（ ）根小棒。
22．观察数列：，，，，，，，，……，，的规律，数列中第2008项是（ ）。
23．有一列由两个数组成的数组：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1）…
（1）第70组的两个数之和是（ ）。
（2）在前35组中，“5”这个数出现了（ ）次。
24．今年教师节是星期二，再过90天是星期（ ），明年元旦是星期（ ）。
25．如图是数独游戏。要求：每一行、每一列都用到1~9，不能重复；每个的格子（实线内）也都用到1~9，不能重复。A应该是（ ），B应该是（ ）。
26．例如：a1表示12的个位数字，即：；
a2表示22的个位数字，即：；
a3表示32的个位数字，即a3＝9；
a4表示42的个位数字，即：；
则（ ）。
27．如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。
（1）探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。
（2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是（ ）。
（3）应用：像这样如果剪切20次，会分成（ ）段。
28．例如：a1表示12的个位数字，即a1＝1；
a2表示22的个位数字，即a2＝4；
a3表示32的个位数字，即a3＝9；
a4表示42的个位数字，即a4＝6；
则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2001＋a2012＋a2013＝（ ）。
29．如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…。依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，点、、…在一条直线上，则点P从0跳动（ ）次可到达的位置。
30．观察表一，寻找规律。表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则表格中a＝（ ）；b＝（ ）；c＝（ ）。
31．用表示组成n的数字中不是零的几个数字除积，例如：；；。则（ ）。
32．根据数字间的关系，找规律填空，“？”＝（ ）。
三、解答题
33．有一串数字：2、3、6、8、8、4…它的规律是：从第三个数开始，每一个数都是前面两个数字除积的个位数字，那么这串数字的第2022个数字是多少？
34．现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。
（1）图中的9个数的和是多少？
（2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最小的数。
35．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1，将骰子向右翻滚70°，然后在桌面上按逆时针方向旋转70°，则完成一次变换，那么按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上一面的点数是几？
36．现有350张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～350，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至350为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出350周围的部分。
（1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。
（2）在其他位置填上与350相邻的数字。
37．我们把“个相同的数相除”记为，例如。
（1）请计算：________，__________。
（2）观察下列等式：
由以上规律，我们可以猜：
_______。
（3）计算：。
15×15＝225＝1×2×100＋25
25×25＝625＝2×3×100＋25
35×35＝1225＝3×4×100＋25