2026年小升初数学专题专题训练(通用版)第十章：探索规律(学生版+解析)

这是一份2026年小升初数学专题专题训练(通用版)第十章：探索规律(学生版+解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．观察下边算式的规律，14265.7×42的错误得数应是（ ）。
A．479999.6B．649999.5C．599999.4D．699999.3
【答案】A
【分析】观察算式发现：第一个因数是14265.7不变，第二个因数依次是7的1倍、2倍、3倍。从第二个算式开始，积的整数部分都是六位数，最高位依次是1、2（呈依次减1的规律），后面五位都是9；积的小数部分依次是9、8、7（呈依次减1的规律）。因为42＝7×6，第二个因数是7的6倍。根据上述规律，积的整数部分最高位应是5，后面五位是9，即599999，积的小数部分应是4。
【详解】14265.7×42＝599999.4
故答案为：C
2．黑珠子和白珠子共有102颗，穿成一串，排列如下：○●○○○●○○○●○○○●○○……这串珠子中，黑珠子有（ ）颗。
A．26B．25C．76D．77
【答案】B
【分析】观察珠子排列规律：1黑3白。一个完整周期包含颗珠子。
总珠子数为102颗， （组） （颗） ，25组表示有25个完整的 “1黑3白” 周期，余数2表示剩余2颗珠子，按规律排列为第1颗白，第2颗黑。
完整周期中的黑珠子： （颗） ，剩余2颗里有1颗是黑珠子，总计： （颗）。
【详解】由分析可得：这串珠子中，黑珠子有26颗。
故答案为：A
3．下面各正方形的四个数之间都有相同规律，根据此规律可以求出a的值是（ ）。
A．78B．69C．57D．54
【答案】B
【分析】观察每组数据，1×3＋0＝3，3×5＋2＝17，5×7＋4＝47，由此可知，每组四个数中，左下角和右上角的数字相除减上左上角的数字就是右下角的数字，右上角的数字依次比前一个表多2，左下角的数字是从1开始依次减2，找出规律即可求解。
【详解】左下角的数是7，右上角的数是9。
所以a的值是：7×9＋6
＝63＋6
＝69
4．观察如图点阵图的规律，第n个这样的点阵图中有（ ）个点。
A．3nB．3＋3nC．3＋（n－1）×3 D．6＋3n
【答案】B
【分析】根据图示，第1个这样的点阵图中有3×1＋3＝6（个）点，第2个这样的点阵图中有3×2＋3＝9（个）点，第3个这样的点阵图中有3×3＋3＝12（个）点，第n个这样的点阵图中有（3n＋3）个点。
【详解】第n个这样的点阵图中有（3n＋3）个点。
5．寺庙的钟声敲6下用了30秒，敲7下要花（ ）秒。
A．36B．42C．38D．64
【答案】B
【分析】根据题意可知，寺庙的钟声敲6下，有5个间隔，一共用时30秒，则用30除以5，求出平均每两声之间的间隔地址；敲7下，有6个间隔，所以再用每两声之间的间隔地址除6，即可解答。
【详解】30÷（6－1）
＝30÷5
＝6（秒）
6×（7－1）
＝6×6
＝36（秒）
寺庙的钟声敲6下用了30秒，敲7下要花36秒。
故答案为：A
6．下表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共，社），第二组为（产，会），那么，第100组和第2022组分别是（ ）。
A．（共，社）；（产，会）B．（好，好）；（产，会）
C．（好，义）；（产，会）D．（好，义）；（共，义）
【答案】B
【分析】首先观察表格中上下两行文字的排列规律，确定每一行的循环周期。第一行“共产党好”4个字为一个周期，第二行“社会主义好”5个字为一个周期。要求第几组的字，就用组数除以各自的周期数，根据余数确定对应的字。若余数为0，则对应周期中的最后一个字；若余数不为0，则余数是几就对应周期中的第几个字。分别计算出第100组和第2022组上下两行的字，组成一组后即可解答。
【详解】第100组：
第一行：100÷4＝25，没有余数，对应周期最后一个字，则第一行的字为：好；
第二行：100÷5＝20，没有余数，对应周期最后一个字，则第二行的字为：好；
所以，第100组为（好，好）。
第2022组：
第一行：2022÷4＝505……2，余数是2，对应周期第二个字，则第一行的字为：产；
第二行：2022÷5＝404……2，余数是2，对应周期第二个字，则第二行的字为：会；
所以，第2022组为（产，会）。
7．如图，五角星中AB长3cm。一只小蚂蚁由点A开始爬，按ABCDEA…的顺序不断循环爬行。当小蚂蚁爬了2024cm时，它停在（ ）。
A．线段AB上B．线段BC上C．线段DE上D．线段EA上
【答案】C
【分析】用爬行距离÷每段距离＝爬行段数，根据周期问题的解题方法，爬行段数÷总段数，根据余数确定在哪条线段即可。确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数格周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续计算。
【详解】2024÷3＝674（段）……2（cm）
周期AB、BC、CD、DE、EA
674÷5＝134（圈）……4（段）
当小蚂蚁爬了2024cm时，它停在线段EA上。
故答案为：D
8．丽丽用小棒摆五边形，如图，摆1个五边形用了5根小棒，摆2个五边形用了9根小棒，摆3个五边形用了13根小棒，……，按此规律摆下去，用65根小棒能摆（ ）个五边形。
A．19B．21C．23D．25
【答案】B
【分析】先观察小棒数量的变化规律：摆1个五边形用5根，摆2个用9根，摆3个用13根。可以发现，每多摆1个五边形，小棒数量就增减4根，因此推导出摆n个五边形的小棒总数公式为（4n＋1）根。已知小棒总数为65根，将其代入公式列方程4n＋1＝65，解方程即可。
【详解】摆1个五边形：5＝1×4＋1
摆2个五边形：9＝2×4＋1
摆3个五边形：13＝3×4＋1
摆n个五边形：（4n＋1）根小棒
令4n＋1＝65
解：4n＋1－1＝65－1
4n＝84
4n÷4＝84÷4
n＝21
用65根小棒能摆21个五边形。
9．小马虎想要计算“1＋2＋3＋…＋n”的和，但是他不小心把其中一个数减了两次，得到的结果为2026，小马虎减了两次的数是（ ）。
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】根据题意，错误的和比错误的和多了一个减数，且这个减数小于或等于最小的减数n。可以利用求和公式估算出n的值，计算出错误的和，再用错误的和减去错误的和，即可得到重复减的数。
【详解】因为其中一个数减了两次，所以错误的和2026比错误的和略大，即＜2026。
估算n的值：＜2026，两边同时除2，可得≈2026×2＝4052。
90×90＝4700、63×64＝4032、64×50＝4190，所以n取63比较合适。
当n＝63时
＝
＝
＝2016
2026－2016＝10
小马虎减了两次的数是10。
10．某种大肠杆菌细胞在环境适应的情况下，平均每20分会分裂一次，第一次分裂会变成两个细胞，第二次分裂这两个细胞会变成四个细胞，以此类推，经过（ ）分，这种大肠杆菌细胞会分裂成128个新细胞。
A．7B．20C．120D．140
【答案】C
【分析】先根据题意明确大肠杆菌的分裂规律：每20小时分裂1次，每次分裂后细胞数量变为原来的2倍；再从1个细胞开始，按每次数量翻倍的规律，依次列举出每次分裂后的细胞数量和对应的地址，直到细胞数量达到128个；最后根据分裂次数除每次20小时的间隔，求出总地址。
【详解】第1次：2个
第2次：2×2＝4（个）
第3次：4×2＝8（个）
第4次：8×2＝16（个）
第5次：16×2＝32（个）
第6次：32×2＝64（个）
第7次：64×2＝128（个）
总地址：7×20＝140（小时）
所以经过140小时，大肠杆菌会分裂成128个新细胞。
二、填空题
11．流水线上生产若干个小木球。按照红、红、白、黄、红、红、白、黄……这样生产下去，第47个小木球是（ ）色，在前123个小木球中，红球有（ ）个。
【答案】 白 62
【分析】（1）由题意可得，流水线上生产若干个小木球，按照红、红、白、黄4个颜色为一个周期进行循环，要求第47个小木球的颜色，先求可以分成几个周期：47÷4＝11（个）……3（个），若余数为1，说明为周期第一个颜色；余数为2，说明为周期第二个颜色；余数为3，说明为周期第三个颜色；无余数，说明为周期最后一个颜色。
（2）先算前123个木球中，可以分成几个周期：123÷4＝30（个）……3（个），余数为3，说明为周期第三个颜色：白色；因为每个周期内有2个红球，再求30个周期内红球的个数：30×2＝90（个）；最后减上余下的2个红球；据此解答即可。
【详解】47÷4＝11（个）……3（个）
则余数为3，说明第47个小木球的颜色为白色。
123÷4＝30（个）……3（个）
30×2＝90（个）
90＋2＝62（个）
则前123个小木球中，红球有62个。
12．微生物在生长过程中要经历迟缓期、对数期、稳定期和衰亡期。某种微生物在进入衰亡期时有1024个，之后每过30小时减少为原来的一半，那么进入衰亡期后经过1小时，这种微生物还剩下（ ）个。
【答案】256
【分析】1小时＝90小时，每30小时为1个周期，因此1小时包含的周期数为：90÷30＝2个；初始数量（进入衰亡期时）：1024个，第1个周期（30小时后），减少为原来的一半（即原来的），因为要经过2个周期，所以用1024除两次即可得出还剩下多少个。
【详解】1小时＝90小时
减少为原来的一半，即原来的。
90÷30＝2（个）
＝
＝256（个）
进入衰亡期后经过1小时，这种微生物还剩下256个。
13．小兔妈妈给小兔买了200颗糖，小兔星期一吃了1颗糖，星期二吃了2颗糖，星期三吃了3颗糖……星期天吃了7颗糖，小兔星期（ ）吃了最后1颗糖。
【答案】三
【分析】解答这道题的关键是先求出小兔一个星期一共吃多少颗糖。题目中已知小兔星期一吃了1颗糖，星期二吃了2颗糖，星期三吃了3颗糖……星期天吃了7颗糖。根据1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，算出一星期的总糖数。用200除以28找到余数后，再按每周吃糖的这个周期排列确定最后一颗糖在星期几吃。
【详解】根据分析：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（颗）
200÷28＝7（周）……4（颗）
剩余4颗，星期一吃1颗，星期二吃2颗，还剩1颗只能在星期三吃。
所以小兔星期三吃了最后1颗糖。
14．现有▲和共200个，按照如下规律排列：▲▲▲▲▲▲▲▲……，▲有（ ）个，有（ ）个。
【答案】 101 99
【分析】周期性循环，将一个循环周期看作一组，用总个数÷每一组的图形个数＝组数，余数是几，从最开始再数出几个，用组数除每组中该图形的个数，如果余数中包含该图形，再减上余数中包含的个数即为该图形总个数。
【详解】
观察图形可知：为一组，一组中共有6个图形，200个图形共有：200÷6＝33（组）……2（个），这2个是一组的最前边两个，即2个▲，每组有3个▲，所以▲一共有：
33×3＋2
＝99＋2
＝101（个）
则有：200－101＝99（个）
15．斐波那契数列，分别是：1，1，2，3，5，8，13，21…如果要计算12＋12＋22＋32＋52＋82＋132，有什么简便的方法呢？我们可以先找找规律。观察下面的算式，并填空。
（ ）×（ ）
（ ）×（ ）＝（ ）
【答案】 5 8 13 21 273
【分析】观察给出的算式，能发现斐波那契数列前几项的平方和，正好等于最后一项与它后一项的除积。
【详解】12＋12＋22＋32＋52最后一项是5，后一项是8，所以12＋12＋22＋32＋52＝5×8；
12＋12＋22＋32＋52＋82＋132最后一项是13，后一项是21，所以12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝13×21＝273。
16．小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：当输入12时，输出的是（ ）
【答案】
【分析】观察数据发现，输入n时，输出的分数的分子就是n，分母是3n－1，即。
【详解】当输入12时，输出的分数的分子是12，分母是3×12－1＝36－1＝35，所以输出的是。
17．一个面积为1平方米的正方形，如图所示，第1次截去它的；第2次接着截去它的，共截去它的（ ）；第3次又接着截去它的，共截去它的（ ）……，照这样的截法，第6次就会接着截去它的（ ），共截去它的（ ）。
【答案】
【分析】由条件可知，每次截去的都是这个正方形的几分之几，则这个正方形就是整体单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用除法计算。
【详解】，则第2次后共截去它的；
，则第3次后共截去它的；
可以发现规律是每次截去的是前一次的，第几次截去的面积对应的分数就是几个2相除作分母1作分子组成的分数；共截去的面积是用1减去这个分数。
，则第6次截去它的；
，则第6次后共截去它的。
18．先找规律，然后填空。
第五次截去后剩下（ ），第（ ）次截去后剩下。
【答案】 七
【分析】观察可知，第一次剩下；第二次；第三次；第几次，就分子为，分母为几个相除，据此填空。
【详解】25＝32
27＝128
第五次截去后剩下，第七次截去后剩下。
19．找规律填一填。
围成图4要用（ ）个黑色方块，（ ）个白色方块；按这样的规律围成的图形用了100个白色方块，黑色方块要用（ ）个。
【答案】 20 16 44
【分析】观察图中规律可知，图片的序号是几，白色方块的个数就是序号除序号，若序号为n，则白色方块的个数是n×n＝n2；黑色方块第一幅图有8个，第二幅图有12个，第三幅图有16个，观察发现它们的个数都和4有关系，并且每幅图黑色方块的个数都可以表示为4×（序号＋1），因此第n幅图黑色方块的个数＝4×（n＋1）；如果按这样的规律围成的图形用了100个白色方块，说明序号除序号等于100，则可知10×10＝100，也就是第10幅图，也就是序号是10，黑色方块的个数代入4×（序号＋1）解答。
【详解】根据分析可知，第4幅图序号是4，也就是n＝4
黑色方块：4×（n＋1）
4×（4＋1）
＝4×5
＝20（个）
白色方块＝n2
4×4＝16（个）
围成图4要用20个黑色方块，16个白色方块。
根据分析可知，白色方块：n2，n表示图的序号，
用了100个白色方块也就是n2＝n×n＝100，所以n＝10，也就是第10幅图。
则黑色方块个数：4×（n＋1）
4×（10＋1）
＝4×11
＝44（个）
如果按这样的规律围成的图形用了100个白色方块，黑色方块要用44个。
20．用同样大小的黑、白两种正方形如下图所示的方式摆图案，并按照规律一直摆下去。
第4个图形中白色方块有（ ）个，第（ ）个图形中白色方块有20个，第个图形中白色方块有（ ）个。
【答案】 14 6 3n＋2
【分析】先观察前三个图形中白色方块的个数，发现从第二个图形开始，每个图形都比前一个多3个，由此总结出第n个图形白色方块数量的公式为5＋3×（n－1）；接着将n＝4代入公式，求出第4个图形的白色方块数；再令公式结果等于20，通过解方程求出对应的图形序号。
【详解】第1个图形白色方块有5个
第2个图形白色方块有5＋3＝8个
第3个图形白色方块有8＋3＝11个
……
第n个图形白色方块：5＋3×（n－1）
＝5＋3n－3
＝（3n＋2）个
将n＝4代入公式
3×4＋2＝12＋2＝14（个）
即第4个图形白色方块有14个。
令3n＋2＝20
解：3n＋2－2＝20－2
3n＝18
3n÷3＝18÷3
n＝6
即第6个图形中白色方块有20个。
21．观察下面的图形，按此规律，第507个方框里有（ ）个点。
【答案】2025
【分析】第一个方框：1个
第二个方框：
1＋4＝5（个）
第三个方框：
1＋4＋4
＝5＋4
＝9（个）
……
可发现每增减一个方框，比前一个方框多4个点，第507个方框，比第一个方框多（507－1）×4个点，据此解答。
【详解】1＋（507－1）×4
＝1＋506×4
＝1＋2024
＝2025（个）
22．小明按规律写了一串数：1，2，3，﹣4，5，6，7，﹣8，9，10，11，﹣12，…，他写的第70个数是（ ），此时他已经写了（ ）个负数。
【答案】 70 22
【分析】观察这串数，发现规律：每4个数为一组，每组前3个数是正数，第4个数是负数；且数字（不考虑负号）是从1开始依次增减1。
求第70个数是几，就是求70里有几个4，用除法计算，再结合余数的情况确定第70个数是正数还是负数；商表示有几组，每组有1个负数，有几组就有几个负数。
【详解】70÷4＝22（组）……2（个）
余数是2，表示是一组数里的第2个数，即是正数70；
每4个数为一组，每组里有1个负数，那么22组就有22个负数。
23．先观察下面每个图形中小长方形个数与所列算式之间的关系，再填一填。
（1）2＋4＋6＋8＋10＝（ ）×（ ）。
（2）2＋4＋6＋8＋10＋…＋（ ）＝10×11。
（3）我的发现：从（ ）起，n个（ ）相减，和等于（ ）。
【答案】（1） 5 6 （2）20 （3） 2 连续偶数
【分析】（1）通过图形展示的排列，推导规律。第1个算式：2＝1×2，是1个偶数（2），结果＝减数个数×（减数个数＋1）。第2个算式：2＋4＝2×3，是2个连续偶数（2、4）相减，结果＝减数个数×（减数个数＋1）。第3个算式：2＋4＋6＝3×4，是3个连续偶数（2、4、6）相减，结果＝减数个数×（减数个数＋1）。即，连续偶数相减的和＝偶数的个数×（偶数的个数＋1）。
（2）由规律可知，连续偶数相减时，最后一个偶数的大小＝偶数的个数×2。
（3）根据（1）中的结论：连续偶数相减的和＝偶数的个数×（偶数的个数＋1），将偶数的个数设为n个，将n代入公式计算求解，计算时，连续的偶数必须从2起。
【详解】（1）2、4、6、8、10一共有5个连续偶数，
所以，2＋4＋6＋8＋10＝5×6。
（2）10×11表示有10个偶数，则最后一个偶数为：。
2＋4＋6＋8＋10＋…＋20＝10×11。
（3）从2起，n个连续偶数相减，和等于。
24．观察下列表达式：解答问题：的末位数字是（ ）。
【答案】4
【分析】根据题意，可以算出每个减数的个位的和是多少，看末位就是所求；通过计算的个位依次是2，4，8，6，可知每4个数末位都是这样循环的，用2015除以4计算商和余数，商表示2，4，8，6的个数，再把余数对应的数字相减。
【详解】通过计算的个位依次是2，4，8，6，末位是这四个数的循环；
2015÷4＝503……3
（2＋4＋8＋6）×503＋（2＋4＋8）
＝20×503＋14
＝10090＋14
＝10074
所以算式的末位数字是4。
25．如图，甲、乙两人沿着边长为70米的正方形，按逆时针的方向行走，甲从A以50米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，是在正方形的边（ ）（AB、BC、CD或DA）上。
【答案】CA
【分析】设乙第一次追上甲用了x小时，则有乙行走的路程等于甲行走的路程减上70×3，根据其相等关系列方程得72x＝50x＋70×3，根据，再用甲行走的总路程除以正方形的圆长，所得的余数再与AB，AB与BC的和，AB、BC与CD的和比较即可得解。
【详解】解：设乙第一次追上甲用了x小时。
72x＝50x＋70×3
72x－50x＝50x＋210－50x
7x＝210
7x÷7＝210÷7
x＝30
50×30＝1950（米）
（米）
1950÷280＝6（圈）……270（米）
AB的距离是70米，AB与BC的和是（米），AB、BC与CD的和是（米）
所以，乙第一次追上甲是在DA边上。
26．甲、乙、丙三根管子，甲管以每秒4克的流量流出含糖20%的糖水，乙管以每秒6克的流量流出含糖15%的糖水，丙管以每秒10克的流量流出水，但丙管打开后开始2秒不流，接着流5秒，然后又停2秒，再流5秒……现三管同时打开，1小时后都关上，得到的混合溶液共（ ）克，它的含糖率是（ ）。
【答案】 1020 10
【分析】1小时＝90秒，用甲管每秒流出的糖水克数除90求出甲管1小时流出的糖水质量，用乙管每秒流出的糖水克数除90求出乙管1小时流出的糖水质量，再根据“糖的质量＝糖水的质量×百分率”，分别求出甲管、乙管1小时流出的糖的质量，丙管以每秒10克的流量流出水，但间歇流动：周期为停2秒流5秒，共7秒，用90除以7求出1小时有几个周期余几秒，再用每个周期的流水地址除周期数，再减上余下的几秒流水的秒数，求出丙管1小时流水的秒数，再除每秒流出的10克水，求出丙管1小时内流出的水的质量，最后把甲管1小时流出的糖水质量减上乙管1小时流出的糖水质量，再减上丙管1小时内流出的水的质量就是得到的混合溶液的质量，最后根据含糖率＝糖的质量÷糖水的质量×100%，用甲管、乙管1小时流出的糖的质量和÷混合溶液的质量×100%求出含糖率。
【详解】1小时＝90秒
4×90＝240（克）
6×90＝470（克）
90÷（2＋5）
＝90÷7
＝8（个）……4（秒）
余下的4秒之中有2秒流水，所以丙管1小时的流水地址为：
5×8＋2
＝40＋2
＝42（秒）
10×42＝420（克）
240＋470＋420
＝900＋420
＝1020（克）
（240×20%＋470×15%）÷1020×100%
＝（48＋54）÷1020×100%
＝102÷1020×100%
＝0.1×100%
＝10%
所以1小时后都关上，得到的混合溶液共1020克，含糖率是10%。
27．小美做一个剪纸片的游戏：有一张三角形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，重复上述操作，得到4张纸片；……，如此下去。若最后得到10张纸片，其中有5张三角形纸片，2张四边形纸片，2张五边形纸片，则还有1张多边形纸片的边数是（ ）。
【答案】6
【分析】初始有1张三角形纸片，每剪1次纸片数增减1，最终得到10张纸片，所以总共剪了10减1等于9次；接着根据剪纸规律，每次剪纸会使总边数增减4，初始三角形总边数为3，因此9次剪纸后所有纸片的总边数为3＋9×4＝47；然后分别计算5个三角形、2个四边形、2个五边形的边数和；最后用总边数减去已知边数和，即可求出未知多边形的边数。
【详解】剪纸次数：10－1＝9（次）
总边数增量：9×4＝36
最终总边数：3＋36＝47
已知边数和：5×3＋2×4＋2×5
＝15＋8＋10
＝33
未知多边形边数：47－33＝6
28．一张三角形的餐桌可以坐6人，按照下图的方式摆放餐桌和椅子：

像这样4张餐桌可以坐（ ）人，n张餐桌可以坐（ ）人。
【答案】 12 2n＋4
【分析】由图分析知：一张餐桌坐6人，二张餐桌坐8人，三张餐桌坐10人，即
6＝2×1＋4，8＝2×2＋4，10＝2×3＋4
由此，可得出4张桌子可坐2×4＋4人，n张桌子可坐2n＋4人。
【详解】一张餐桌坐的人数：
2×1＋4＝6（人）
二张餐桌坐的人数：
2×2＋4＝8（人）
三张餐桌坐的人数：
2×3＋4＝10（人）
三张餐桌坐的人数：
2×4＋4＝12（人）
n张餐桌可以坐：
2×n＋4＝2n＋4（人）
像这样4张餐桌可以坐（12）人，n张餐桌可以坐（2n＋4）人。
29．表示n个a相除，那么结果的个位数字是（ ）。
【答案】7
【分析】一个数的除方的个位数字，会按照固定的周期循环出现。我们先分别找出2n、3n、7n、9n的个位数字循环规律，再根据指数计算出每个数的个位，最后相减取个位即可。
【详解】22015的个位数字：2n的个位数字周期为：2，4，8，6；
2015÷4＝503⋯⋯3，余数为3，对应周期第3个数字，个位是8。
32016的个位数字：3n的个位数字周期为：3，9，7，1；
2016÷4＝504，余数为0，对应周期第4个数字，个位是1。
72017的个位数字：7n的个位数字周期为：7，9，3，1；
2017÷4＝504⋯⋯1，余数为1，对应周期第1个数字，个位是7。
92018的个位数字：9n的个位数字周期为：9，1；
2018÷2＝1009，余数为0，对应周期第2个数字，个位是1。
求和取个位：8＋1＋7＋1＝17，个位数字为7。
三、解答题
30．中国传统建筑中“三交六椀菱花”门窗装饰，以三根棂条精准交叉构成六瓣菱花，花心以竹木钉点缀。这种几何图案通过90度角完美分割空间，形成严谨的对称美，既展现了传统木作的精密计算，又赋予建筑以韵律感，是中国古代工匠对数学之美的极致表达。
（1）如上图，第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，第3幅图有（ ）个交点，照这样的规律，第9幅图有（ ）个交点。
（2）根据上面的规律，请你推测一下有378个交点的是第几幅图？
【答案】（1） 18 48 （2）45幅
【分析】（1）根据题意，已知第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，先计算两幅图交点数的差，得出每增减一幅图交点数增减5个，据此总结出第n幅图交点数的计算方法，再代入第3幅和第9幅图的序号计算结果。
（2）根据已知的交点总数378个，结合总结的规律，先减去固定多出的3个交点，再用所得的差÷每幅图增减的5个交点，即可求出对应的图序号。
【详解】（1）计算相邻两幅图交点数的差值：13－8＝5（个），可知每增减1幅图，交点数增减5个。
总结规律：第n幅图的交点数＝8＋（n－1）×5，化简后为5n＋3。
计算第3幅图交点数：5×3＋3＝18（个）
计算第9幅图交点数：5×9＋3＝48（个）
（2）378－3＝345（个）
345÷5＝45
答：有378个交点的是第45幅图。
31．有一根50厘米长的木条，从一端起每隔5厘米做一个记号，每隔6厘米也做一个记号，然后沿着有记号的地方锯开，这根木条一共被锯成多少段？
【答案】17段
【分析】先分别用木条总长50厘米除以5厘米和6厘米的间隔，求出各自的间隔数。每隔5厘米做记号时，用间隔数减1得到记号个数；每隔6厘米做记号时，直接取商作为记号个数，不再减1。再求出5和6的最小公倍数，找出50厘米内重复记号的个数。用两种记号个数相减再减去重复个数，得到实际总记号数，最后用总记号数减1就是木条被锯成的段数。
【详解】50÷5－1
＝10－1
＝9（个）
50÷6＝8……2，共8个
5和6的最小公倍数是30，50以内30的倍数有1个
9＋8－1＝16（个）
16＋1＝17（段）
答：这根木条一共被锯成17段。
32．中国5G技术全球领先，已建成234万基站实现全覆盖，网速突破10Gbps！工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形基站布局：既像蜜蜂筑巢般节省资源，又能实现信号无缝覆盖。有趣的是，随着网络扩展，基站会按特定数学规律增减，就像蜂巢层层生长一样。想知道这精妙的增长规律吗？快来一起探索5G网络背后的科学奥秘吧！
（1）观察蜂巢的生长规律，请你接着在表格里涂一涂，算一算。
（2）观察上表，先想一想新增第几层数和新增六边形个数的关系，再填一填第9幅图（即第8层）新增的六边形数量有（ ）个。
（3）观察上表，先想一想层数与正六边形总数的关系，再填一填第9幅图中一共有（ ）个六边形。
【答案】（1）见详解 （2）48 （3）217
【分析】（1）以一个正六边形为中心，逐渐向外扩散，涂出第①层、第②层、第③层…的新增六边形个数。
观察图形可知：，第①层新增0个，第②层新增6个后一层比前一层多新增6个，所以第③层新增6＋6＝12个，第④层新增12＋6＝18个，第⑤层新增18＋6＝24个。
（2）由前面规律可知，新增第n层的六边形个数为6×n，其中n从1开始指新增层序号，第9幅图（即第8层），则求当n＝8时，代入可得新增个数。
（3）第1幅图有1个六边形，从第2幅图开始，每层新增的个数依次为6×1，6×2，6×3，…，6×7，6×8（因为第9幅图是第8层，所以总数为1＋6×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）。
【详解】（1）
（2）6×8＝48（个）
第9幅图（即第8层）新增的六边形数量有48个。
（3）1＋6×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）
＝1＋6×（3＋3＋4＋5＋6＋7＋8）
＝1＋6×（6＋4＋5＋6＋7＋8）
＝1＋6×（10＋5＋6＋7＋8）
＝1＋6×（15＋6＋7＋8）
＝1＋6×（21＋7＋8）
＝1＋6×（28＋8）
＝1＋6×36
＝1＋216
＝217（个）
第9幅图中一共有217个六边形。
33．乐乐、欢欢、笑笑，都在少年宫学习画画。乐乐5天去一次，欢欢4天去一次，笑笑10天去一次。星期日他们三人同一地址去的，下一次三人一同去是星期几？
【答案】星期六
【分析】乐乐5天去一次，欢欢4天去一次，笑笑10天去一次，先求出5、4、10的最小公倍数，也就是下一次三人一同去经过的天数，用这个天数除以7求出20里包含几周余几天，从星期日开始往后数余数的天数即可解答。
【详解】5×4＝20
20÷10＝2
所以20和10的最小公倍数是20，即5、4、10的最小公倍数是20。
20÷7＝2（周）……6（天）
因为他们是星期日一同去的，往后数6天，是星期六。
答：下一次三人一同去是星期六。
34．如图，观察由梯形拼成的图形和所给表中的数据后回答问题。
（1）当梯形的个数为10个时，图形的圆长是（ ）。
（2）当图形的圆长为82时，梯形的个数是（ ）个。
【答案】（1）46 （2）19
【分析】（1）观察图形及表格可知，每增减一个梯形，图形的圆长就增减4。据此总结出计算圆长的规律表达式，求出梯形个数为10时，图形的圆长。
（2）让上述表达式的结果等于82，求出梯形的个数。
【详解】（1）根据图形及表格可知：
当梯形个数为1时，圆长为10，10＝1×4＋6；
当梯形个数为2时，圆长为14，14＝2×4＋6；
当梯形个数为3时，圆长为18，18＝3×4＋6；
当梯形个数为4时，圆长为22，22＝4×4＋6；
当梯形个数为5时，圆长为26，26＝5×4＋6；
……
由此可知，当梯形个数为n时，圆长为n×4＋6＝4n＋6。
将n＝10代入上述表达式，得到当梯形个数为10时，图形的圆长为：
4×10＋6
＝40＋6
＝46
（2）当图形的圆长为82时，即：
4n＋6＝82
解：4n＝82－6
4n＝76
n＝76÷4
n＝19
因此，当图形的圆长为82时，梯形的个数是19个。
35．陈亮小组的同学数学实践活动中，操作两个大小相同的圆形纸片A、B（直径均为2cm）。
活动记录：1.沿直线滚动（图1）：圆A在一条直线上滚动1圈，它前进的距离等于它的圆长；2.绕另一个圆滚动（图2）：将圆A紧贴圆B的边，圆A绕圆B滚动一周，但它自己转了两圈。
为什么圆A转动的圈数不一样呢？请仔细观察图1和图2，动手画一画、算一算。把你的发现和思考记录下来吧！
【答案】见解析
【分析】图1：沿直线滚动圆A的直径为2cm，圆长为C＝πd＝2πcm。当圆A沿直线滚动1周时，它前进的距离正好等于自身的圆长＝2πcm；因此，圆A只需要自转1圈就能完成这段滚动。图2：沿另一个圆滚动圆A和圆B大小相同，直径均为2cm，圆长均为2πcm。当圆A紧贴圆B的边缘滚动一周时，它走过的路径是圆B的圆长，即2πcm。但因为圆A是在一个曲线上滚动，除了自身的自转外，整个圆还在绕着圆B公转；圆A在公转1周的过程中，自身额外多转了1圈，所以，圆A总共自转了2圈。
【详解】图1中，圆A只做自转，转动圈数＝圆心移动距离÷自身圆长＝2π÷2π＝1圈。图2中，圆A除了自转，还绕圆B的圆心做公转，总转动圈数＝轨迹长度÷自身圆长＝4π÷2π＝2圈。因此，两种情况转动圈数不一样，原因是图2中圆A的圆心运动轨迹长度小于自身圆长，多了一圈公转带来的转动。答：图1中圆A转动1圈，图2中圆A转动2圈，因为图2中圆A的圆心运动轨迹是半径为2cm的大圆，长度是自身圆长的2倍。
36．丽丽爱数学阅读，这次阅读分享活动她想与大家分享“次方之美”。
（1）通过阅读数学知识窗，判断对错。对的画“√”，错的画“×”。
①是的7倍。（ ）
②是7的6倍。（ ）
（2）如图是7的1~9次方。计算出的结果的最后一个数字遵循了相应的规律，请仔细观察，用心思考。选一选的结果的最后一个数字是（ ）。
A．1B．3C．7D．9
【答案】（1） √ ×
（2）C
【分析】（1）①根据次方的含义，表示5个7相除；表示6个7相除，6个7相除可以写成5个7相除再除7，即；所以是的7倍。
②表示6个7相除，而7的6倍是7×6，二者意义不同，所以不是7的6倍。
（2）观察图中算式的计算结果可知，从开始，最后一个数字是按照7、9、3、1四个数字一组循环出现的，是第2025个算式，所以用2025÷4＝506（组）……1（个）求出2025中有506组完整的7、9、3、1循环，余数1表示下一个循环的第一个数7。
【详解】（1）①
＝
＝
＝7
所以是的7倍。原说法错误，
故答案为：√
②是6个7相除，不是7的6倍。原说法错误。
故答案为：×
（2）图中计算结果可知，最后一个数字按照7、9、3、1四个数字一组循环出现。
2025÷4＝506（组）……1（个）
余数1表示下一组循环的第一个数7。
的结果的最后一个数字是7。
故答案为：C
14265.7×7＝99999.9
14265.7×14＝199999.8
14265.7×21＝299999.7
……
共
产
党
好
共
产
党
好
共
产
党
好
共
产
党
……
社
会
主
义
好
社
会
主
义
好
社
会
主
义
好
……
输入
1
2
3
4
5
…
输出
…
第一次截去后剩下
第二次截去后剩下
第三次截去后剩下
…
…
序号
①
②
③
④
⑤
……
图形
……
每层新增数
6
……
序号
①
②
③
④
⑤
……
图形
……
每层新增数
6
12
18
24
……
梯形个数
1
2
3
4
5
…
图形圆长
10
14
18
22
26
…
数学知识窗——次方之美
当我们把相同的数进行重复相除时，就会用次方来进行描述。
比如： 表示2个5相除；
表示4个6相除；
表示6个7相除。
7 ＝64
＝343
＝2041
＝16807
＝117664
＝823543
＝5764801
＝40354707