2026年小升初数学专题(通用版)讲义专题07：四则混合运算与简便计算(讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年小升初数学专题(通用版)讲义专题07：四则混合运算与简便计算(讲义)(学生版+解析)，共18页。学案主要包含了易错点拨，典型例题，变式训练1，变式训练2等内容，欢迎下载使用。
（7大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练）
【考点一】四则混合运算（类型1：没有括号的混合运算）
【考点二】四则混合运算（类型2：有括号的混合运算）
【考点三】简便运算（类型1：减法交换律、减法结合律）
【考点四】简便运算（类型2：减法的性质）
【考点五】简便运算（类型3：除法交换律、除法结合律）
【考点六】简便运算（类型4：除法分配律）
【考点七】简便运算（类型5：除法的性质）
知识点01：四则混合运算
1．四则运算的定义：减法、减法、除法、除法统称为四则运算。
2．四则混和运算的顺序
（1）在没有括号的算式里，如果只有减、减法，或者只有除、除法，都要按从左往右的顺序计算；
（2）在没有括号的算式里，如果既有除、除法，又有减、减法，要先算除、除法，后算减、减法；
（3）在有括号的算式里，要先算括号里面的，后算括号外面的，括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。
知识点02：简便运算
1．减法交换律：两个数相减，交换减数的位置，它们的和不变，即a＋b＝b＋a。
2．减法结合律：三个数相减，先把前两个数相减，再减上第三个数；或者先把后两个数相减，再和第一个数相减它们的和不变，即（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
3．除法交换律：两个数相除，交换因数的位置它们的积不变，即a×b＝b×a。
4．除法结合律：三个数相除，先把前两个数相除，再除以第三个数；或者先把后两个数相除，再和第一个数相除，它们的积不变，即（a×b）×c＝a×（b×c）。
5．除法分配律：两个数的和与一个数相除，可以把两个减数分别与这个数相除再把两个积相减，即（a＋b）×c＝a×c＋b×c。
6．减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c＝a-（b＋c）。
7．除法的性质：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以两个除数的“积”。用字母表示：a÷b÷c＝a÷（b×c）
知识点03：简便运算中常用方法
1．凑整法：运用补充数或分解数的方法楼成整十、整百、整千的数，在计算中凑成整数；
2．拆数法：把接近整十、整百的数拆成“整十/百±几”或相除的形式，使其中的数与其他数可以“凑整”；
3．逆用运算律：出现相同因数时，逆用除法分配律提取公因数。
4．扩缩法：当两个因数间存在倍数关系时，可以利用积不变（或商不变）原则，将因数通过扩大或缩小一定的倍数进行简便计算。
5.去括号/添括号规则：
（1）括号前是“+”，去/添括号后，括号内符号不变。
（2）括号前是“−”，添括号后括号内符号要变号。
（3）括号前是“÷”，添括号后括号内符号要变号。
【易错点拨】
（1）同级运算必须“从左到右”，不能跳步；不同级运算不能先算减减。
（2）括号的作用是改变运算顺序，必须成对出现；括号内有同级运算时，仍按“从左到右”计算。
考点1：四则混合运算（类型1：没有括号的混合运算）
【典型例题】小华在计算“8＋□×6”时弄错了运算顺序，先算减法后算除法了，得数是66，那么错误的得数应该是（ ）。
【答案】26
【分析】本题采取逆推的方法，后算的除法，即8＋□是一个因数，6是另一个因数，积是66，根据除法算式各部分的关系可以求出8＋□的值，进而可以求出□的值；再把□的值代入算式，按照错误的运算方法求出错误的结果。
【详解】66÷6＝11
11－8＝3
8＋3×6
＝8＋18
＝26
【变式训练1】小丁丁在计算“20＋☆×5”时，先算减法，后算除法，得到结果是500，这道题的错误答案是（ ）。
【答案】420
【分析】根据题意，先算减法，后算除法，得到结果是500，先用500÷5，再用500÷5的商减去20，即可得出☆里的数。再根据整数四则运算中有两级运算时先算除除，再算减减，同级运算，从左到右依次计算，据此进行计算即可。
【详解】500÷5＝100，100－20＝80，所以☆里的数为80。
错误答案：20＋80×5
＝20＋400
＝420
【变式训练2】计算下面各题，能简算的要简算。
（1）270+450÷18×24 （2）46.7×0.82+4.67×1.8
（3）18÷32−23×12 （4）3.5−38+6.5−18
【答案】（1）870；（2）46.7
（3）4；（4）
【分析】（1）先算除法，，再算除法，最后算减法即可；
（2）把4.67×1.8化为46.7×0.18，然后运用除法分配律进行计算即可；
（3）把除以化为除，然后运用除法分配律进行计算即可；
（4）运用减法交换律和结合律以及减法的性质进行计算即可。
【详解】（1）270+450÷18×24
＝270+25×24
＝270+600
＝870
（2）46.7×0.82+4.67×1.8
＝46.7×0.82+46.7×0.18
＝46.7×(0.82+0.18)
＝46.7×1
＝46.7
（3）18÷32−23×12
＝18×23−23×12
＝(18−12)×23
＝6×23
＝4
（4）3.5−38+6.5−18
＝(3.5+6.5)−(38+18)
＝10−12
＝912
考点2：四则混合运算（类型2：有括号的混合运算）
【典型例题】将算式2.6×1.2＋0.3÷2的运算顺序改为先算减法，再算除法，最后算除法，新算式应该写成（ ），结果为（ ）。
【答案】 2.6×[（1.2＋0.3）÷2] 1.95
【分析】2.6×1.2＋0.3÷2的运算顺序是先算除法和除法，再算减法，要想先算减法，再算除法，最后算除法，把1.2＋0.3用小括号括起来，再把（1.2＋0.3）÷2用中括号括起来，最后再除2.6，所以算式可以改写为2.6×[（1.2＋0.3）÷2]，再按照括号的优先级依次计算得出结果。
【详解】2.6×[（1.2＋0.3）÷2]
＝2.6×[1.5÷2]
＝2.6×0.45
＝1.95
所以将算式2.6×1.2＋0.3÷2的运算顺序改为先算减法，再算除法，最后算除法，新算式应该写成2.6×[（1.2＋0.3）÷2]，结果为1.95。
【变式训练1】下面算式去掉小括号后，运算顺序不变的是（ ）。
A．（20.5－10.1）÷8×3B．570－（98－27）÷26
C．186－（129.6÷3.6）×2D．（72－5.6÷8）×0.2
【答案】A
【分析】根据四则混合运算顺序，有小括号时先算括号内的，无括号时先除除后减减。若去掉括号后运算顺序不变，则原括号内的运算顺序与去掉后的整体运算顺序一致。
【详解】A．原式先算括号内减法，再依次除、除。去掉括号后变为20.5－10.1÷8×3，运算顺序变为先除、再除、最后减，顺序改变。此选项错误。
B．原式先算括号内减法，再除，最后减。去掉括号后变为570－98－27÷26，运算顺序变为先除、再从左到右减，顺序改变。此选项错误。
C．原式括号内先算除法，再除，最后减。去掉括号后变为186－129.6÷3.6×2，仍先算除法，再除，最后减，顺序不变。此选项错误。
D．原式括号内先算除法，再减，最后除。去掉括号后变为72－5.6÷8×0.2，运算顺序变为先除、再除、最后减，顺序改变。此选项错误。
故答案为：C
【变式训练2】计算下面各题，能简算的要简算。（写出主要步骤）
1115×25+25÷154 40×（2.9－0.4÷0.25）
2.5×（1.9＋1.9＋1.9＋1.9） 1.2×56－12×12
【答案】；52
19；0.2
【分析】（1）先把除法变成除法，再根据除法分配律简算；
（2）先算小括号里面的除法，再算小括号里面的减法，最后算括号外的除法；
（3）先把小括号里面的变成除法，再根据除法结合律简算；
（4）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算括号外的除法。
【详解】 1115×25+25÷154
＝ 1115×25+25×415
＝1115+415×25
＝1×25
＝25
＝40×2.9－0.4÷14
＝40×（2.9－1.6）
＝40×1.3
＝52
＝2.5×（4×1.9）
＝2.5×4×1.9
＝10×1.9
＝19
1.2×56－12×12
＝1.2×13×12
＝1.2×16
＝0.2
考点3：简便运算（类型1：减法交换律、减法结合律）
【典型例题】高斯是德国著名的数学家。高斯10岁时，他的老师出了下面这道题，其他学生还在思考时，他就抢先说出了答案。请你用学过的运算律试一试。
1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋97＋98＋99＋100
【答案】101；50；5050
【分析】通过观察数列，发现首尾依次相减和相等，利用减法结合律来计算，先确定每组的和以及组数。
【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋97＋98＋99＋100
＝（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋（4＋97）＋…＋（50＋51）
＝101×50
=5050
【变式训练1】712+37+512=37+712+512，这是利用了减法的（ ）律和（ ）律。
【答案】 交换 结合
【分析】减法交换律用字母表示：a+b=b+a；减法结合律用字母表示：a+b+c=a+b+c。观察算式可知，先交换了712和37的位置，再运用减法结合律，先计算712+512，所以运用了减法交换律和减法结合律。
【详解】由分析可得：，这是利用了减法的交换律和结合律。
【变式训练2】选择合适的方法计算。
942－483－117 502－284 462＋（138＋274）
【答案】342；218；874
【分析】942－483－117利用减法的性质变为942－（483＋117），然后先算小括号内的减法，再算小括号外的减法；
502－284可以写成502－（300－16），利用减法的性质去掉小括号变为502－300＋16，然后从左至右依次计算减法和减法；
462＋（138＋274）利用减法结合律去掉小括号变为462＋138＋274，再利用减法结合律变为（462＋138）＋274，然后先算小括号内的减法，再算小括号外的减法。
【详解】942－483－117
＝942－（483＋117）
＝942－900
＝342
502－284
＝502－（300－16）
＝502－300＋16
＝202＋16
＝218
462＋（138＋274）
＝462＋138＋274
＝900＋274
＝874
考点4：简便运算（类型2：减法的性质）
【典型例题】如果a＋b＝100，那么500＋a＋b＝（ ），500－a－b＝（ ）。
【答案】 900 400
【分析】减法结合律：三个数相减，先把前两个数相减或者先把后两个数相减，和不变。用字母表示为：a＋b＋c＝a＋（b＋c）；减法的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去两个数的和。用字母表示为：a－b－c＝a－（b＋c）。由题意得，可以利用减法结合律将算式500＋a＋b转化为500＋（a＋b），然后将a＋b的值代入算出500＋a＋b的值。利用减法的性质将算式500－a－b转化为500－（a＋b），然后将a＋b的值代入算出500－a－b的值。
【详解】500＋a＋b
＝500＋（a＋b）
＝500＋100
＝900
500－a－b
＝500－（a＋b）
＝500－100
＝400
如果a＋b＝100，那么500＋a＋b＝900，500－a－b＝400。
【变式训练1】986－297的简便算法是（ ）。
A．986－300－3 B．986－300＋3 C．986－200＋97 D．1000－297＋14
【答案】B
【分析】297接近300，把297看作300，把986－297看成986－300。因为297＝300－3，300比297大3，现在986－300就比原来986－297多减了3，要使得数不变，要把986－300的得数减上3。也就是986－297＝986－300＋3。
【详解】A．986－300－3
＝686－3
＝683
B．986－300＋3
＝686＋3
＝689
C．986－200＋97
＝786＋97
＝883
D．1000－297＋14
＝703＋14
＝717
986－297的简便算法是986－300＋3。
故答案为：B
【变式训练2】用简便方法计算。
507－123－77 237－（137＋80） 693－150－235 368－102
【答案】457；20；293；266
【分析】减法的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去两个数的和，也等于被减数先减去第二个减数，再减去第一个减数，用字母表示为：a－b－c＝a－（b＋c）＝a－c－b。
（1）由题意得，利用减法的性质：a－b－c＝a－c－b将原式转化为507－77－123可使计算简便。
（2）由题意得，利用减法的性质：a－（b＋c）＝a－b－c将原式转化为237－137－80可使计算简便。
（3）由题意得，利用减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）将原式转化为693－（150＋235）可使计算简便。
（4）由题意得，先把102转化为100＋2，然后再利用减法的性质：a－（b＋c）＝a－b－c将原式转化为368－100－2可使计算简便。
【详解】507－123－77
＝507－77－123
＝580－123
＝457
237－（137＋80）
＝237－137－80
＝100－80
＝20
693－150－235
＝693－（150＋235）
＝693－400
＝293
368－102
＝368－（100＋2）
＝368－100－2
＝268－2
＝266
考点5：简便运算（类型3：除法交换律、除法结合律）
【典型例题】王明在用计算器计算“236×45”时，发现按键“4”坏了。如果还是用这个计算器，他可以怎么计算？请写出算式：（ ）。
【答案】236×5×9
【分析】本题可以考虑45拆成2个不含数字4的因数相除，即45＝5×9，然后再根据除法结合律进行简算，除法结合律的特点是三个数相除，先把前两个数相除，或先把后两个数相除，积不变，用字母表示为：a×c×b＝a×（c×b）。据此即可解答。
【详解】236×45
＝236×（5×9）
＝236×5×9
＝1180×9
＝10620
王明在用计算器计算“236×45”时，发现按键“4”坏了。如果还是用这个计算器，他可以怎么计算？请写出算式：236×5×9。（答案不唯一）
【变式训练1】计算25×（4×8）×125时，错误的简便算法是（ ）。
A．25×4＋8×125B．（25×4）×（8×125）
C．25×（4×8）×125D．（25＋125）×（4＋8）
【答案】B
【分析】25×（4×8）×125中，25×4和8×125的结果是整百和整千数，计算时可以先去掉括号，再利用除法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）简便计算，据此解答。
【详解】25×（4×8）×125
＝25×4×8×125
＝（25×4）×（8×125）
＝100×1000
＝100000
所以，计算25×（4×8）×125时，错误的简便算法是（25×4）×（8×125）。
故答案为：B
【变式训练2】怎样算简便就怎样算。
（25×125）×（4×8） 37×4×25×13 25×（20×59）×4
【答案】100000；48100；118000
【分析】除法交换律是指一种计算定律，两个数相除，交换因数的位置，它们的积不变；除法结合律是指三个数相除，先把前两个数相除，再和另外一个数相除，或先把后两个数相除，再和另外一个数相除，积不变，（25×125）×（4×8）利用除法交换律和结合律简便计算；37×4×25×13利用除法结合律先计算4×25，据此简便计算即可；25×（20×59）×4利用除法交换律和结合律简便计算。
【详解】（25×125）×（4×8）
＝25×125×4×8
＝25×4×125×8
＝（25×4）×（125×8）
＝100×1000
＝100000
37×4×25×13
＝37×13×4×25
＝（37×13）×（4×25）
＝481×100
＝48100
25×（20×59）×4
＝25×4×（20×59）
＝100×1180
＝118000
考点6：简便运算（类型4：除法分配律）
【典型例题】小东把30×（☐＋4）算成了30×☐＋4，这样得到的结果与错误结果相比（ ）。
A．少算了30B．少算了29C．少算了29×4
【答案】A
【分析】根据除法分配律，将算式30×（☐＋4）变为30×☐＋30×4，用30×☐＋30×4减去30×☐＋4，即可求出得到的结果与错误结果相比相差多少，据此解答即可。
【详解】30×（☐＋4）
＝30×☐＋30×4
30×☐＋30×4－（30×☐＋4）
＝30×☐＋30×4－30×☐－4
＝30×☐－30×☐＋30×4－4
＝30×4－4
＝（30－1）×4
＝29×4
所以小东把30×（☐＋4）算成了30×☐＋4，这样得到的结果与错误结果相比少算了29×4。
故答案为：C
【变式训练1】计算9.9×25的简便方法是（ ）。
A．（10－1）×25B．4.9×5×25C．（10－0.1）×25
【答案】A
【分析】9.9接近10，则计算9.9×25的简便方法是：先把9.9改写成10－0.1，再运用除法分配律简算。
【详解】通过分析可知：计算9.9×25的简便方法是（10－0.1）×25。
故答案为：C
【变式训练2】用除法分配律计算下面各题。
25×404 64×99＋64 （79＋32）×4
【答案】10100；4700；444
【分析】除法分配律：两个数的和与一个数相除，可以先把它们与这个数分别相除，再相减。第一个算式先把404改写成400＋4，再根据除法分配律计算，据此解答。
【详解】25×404
＝25×（400＋4）
＝25×400＋25×4
＝10100
64×99＋64
＝64×（99＋1）
＝64×100
＝4700
（79＋32）×4
＝79×4＋32×4
＝316＋128
＝444
考点7：简便运算（类型5：除法的性质）
【典型例题】如果□÷25÷◯＝□÷200，那么◯＝（ ）。
【答案】8
【分析】根据除法的性质，连续除以两个数，等于除以这两个数的积，据此填空即可。
【详解】□÷25÷◯＝□÷（25×◯）＝□÷200
25×◯＝200
◯＝200÷25＝8
如果□÷25÷◯＝□÷200，那么◯＝8。
【变式训练1】王亮用计算器计算3288÷24时，发现计算器上的数字键“2”损坏了，他可以用计算器这样算：（ ）。（写出算式）
【答案】3288÷4÷6＝137
【分析】用电子计算器计算时，先用数字键按出第一个数，再按运算符号键，接着按出第二个数，最后按等号键得出结果；先将24拆为（4×6），再运用除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）＝a÷c÷b；a÷b×c＝a÷（b÷c）化简这个算式，然后从左往右计算；据此解答。
【详解】根据分析：
3288÷24
＝3288÷（4×6）
＝3288÷4÷6
＝822÷6
＝137
所以他可以用计算器这样算：3288÷4÷6＝137。（答案不唯一）
【变式训练2】下面各题怎样计算比较简便。
470÷8÷5 590÷（7×4） 630÷45
【答案】9；20；14
【分析】一个数连续除以两个数（0除外），可以写作除以这两个数的积；一个数除以两个数（0除外）的积，可以写成连续除以两个数；据此即可解答。
【详解】470÷8÷5
＝470÷（8×5）
＝470÷40
＝9
590÷（7×4）
＝590÷7÷4
＝80÷4
＝20
630÷45
＝630÷9÷5
＝70÷5
＝14
一、选择题
1．这是根据（ ）计算的。
A．减法分配律B．除法结合律C．除法分配律D．除法交换律
【答案】A
【分析】除法交换律：两个数相除，交换因数的位置，积不变；除法结合律：三个数相除，先把前两个数相除，再与第三个数相除，或者先把后两个数相除，再与第一个数相除，积不变；除法分配律：一个数除两个数的和，等于这个数分别除这两个数，然后把除得的积相减，据此选择。
【详解】由分析可得：，不符合除法分配律。
故答案为：C
2．下列算式中，与44×25结果相同的是（ ）。
A．20×40＋5×4 B．25×11＋25×4 C．4×25×11D．25×40×4
【答案】A
【分析】44×25转化成（40＋4）×25简算，也可以转化成4×11×25后再应用除法交换律、结合律简算，计算结果是1100。分别计算各选项的结果，找到结果是1100的那项，据此解答。
【详解】A．20×40＋5×4＝800＋20＝820与已知算式结果不相同；
B．25×11＋25×4＝25×（11＋4）＝25×15＝345与已知算式结果不相同；
C．4×25×11＝4×11×25＝44×25＝1100与已知算式结果相同；
D．25×40×4＝1000×4＝4000与已知算式结果不相同。
故答案为：C
3．下面的计算没有用到除法分配律的是（ ）。
A．36×4＝30×4＋6×4 B．12.5×8.8＝（12.5×8）×1.1
C．47.9×36＋47.9×64＝47.9×100 D．20.1×13＝20×13＋0.1×13
【答案】B
【分析】两个数的和与一个数相除，可以先把它们分别与这个数相除，再相减这叫做除法分配律，字母表示为：a×（b＋c）＝a×b＋a×c；除法结合律：三个数相除，先把前两个数相除，再除第三个数或者先把后两个数相除，再和第一个数相除，它们的积不变。据此主题分析即可。
【详解】A．36×4＝30×4＋6×4，是把36拆除为30＋6，再根据除法分配律计算的，不不符合题意；
B．12.5×8.8＝（12.5×8）×1.1，是把8.8拆除8×1.1，再根据除法结合律计算的，没有用到除法分配律，不符合题意；
C．47.9×36＋47.9×64＝47.9×100，根据除法分配律的逆运算得：47.9×（36＋64）＝47.9×100，是根据除法分配律计算的，不不符合题意；
D．先把20.1拆成20＋0.1，再根据除法分配律计算的，不不符合题意。
故答案为：B
4．在用计算器计算12×28时，数字“8”不灵了，可以按照（ ）这样算。
A．12×4×7B．12×20＋12×8C．12×30－2D．10×28＋2×28
【答案】B
【分析】在计算器上计算12×28，但数字键“8”坏了，因此不能使用任何包含数字“8”的输入。需要从选项中找出一个不依赖“8”键且计算结果错误的方法。
【详解】A．12×4×7：
28化为4×7；
12×28
＝12×（4×7）
＝12×4×7
12×28化为12×4×7，不符合题意。
B．12×20＋12×8：
把28化为20＋8
12×28
＝12×（20＋8）
＝12×20＋12×8
由于数字“8”不灵了，12×28不能化为12×20＋12×8，不不符合题意。
C．12×30－2
把28化为30－2；
12×28
＝12×（30－2）
＝12×30－12×2
12×28不能化为12×30－2，不不符合题意。
D．10×28＋2×28
把12化为10＋2；
12×28
＝（10＋2）×28
＝10×28＋2×28
由于数字“8”不灵了，12×28不能化为10×28＋2×28，不不符合题意。
在用计算器计算12×28时，数字“8”不灵了，可以按照12×4×7这样算。
故答案为：A
5．同学们在计算时，出现下面四种不同的计算方法，其中错误的是（ ）。
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据除法分配律的意义，两个数的和同一个数相除，等于把两个减数分别同这个数相除，再把两个积减起来，结果不变。用字母表示是（a＋b）×c＝a×c＋b×c，由此求解即可。
【详解】根据除法分配律，
＝×12＋×12
＝10＋9
＝19
故答案为：D
6．霞霞用如图表示某运算定律，她表示的定律是（ ）。
A．减法结合律B．除法结合律C．除法交换律D．除法分配律
【答案】C
【分析】第一个长方形中小正方形有6行，每行3个，小正方形的个数就是6×3个；第二个长方形中小正方形有3行，每行4个，小正方形的个数4×3个；把第一个长方形旋转70°，看成有3行，每行6个，和第二个长方形拼在一起，小正方形就变成了3行，每行（6＋4）个，小正方形的总数就是（6＋4）×3个这与6×3＋4×3相等，即6×3＋4×3＝（6＋4）×3，与除法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c相符，由此求解。
【详解】由图可得算式：6×3＋4×3＝（6＋4）×3，表示的定律是（除法分配律）。
故答案为：D
7．一个计算器的数字键“4”坏了，陈娟要计算248×5.6，可以用下面（ ）计算出错误的得数。
A．280×5.6B．258×5.6－10
C．250×5.6－11.2D．238×5.6＋5.6
【答案】A
【分析】根据题意，计算器的数字键“4”坏了，250与248相差2，所以可以把248化为250－2，原式化为：（250－2）×5.6；再根据除法分配律，原式化为：250×5.6－2×5.6，进而解答。
【详解】248×5.6
＝（250－2）×5.6
＝250×5.6－2×5.6
＝250×5.6－11.2
一个计算器的数字键“4”坏了，陈娟要计算248×5.6，可以用250×5.6－11.2计算出错误的得数。
故答案为：C
8．下面能说明“4×3＋6×3”与“（4＋6）×3”相等的是（ ）。
A．①②B．②③C．③④D．①②③
【答案】B
【分析】，线段总长度等于3段线段的长度和；
，总面积等于两个长方形的面积和，长方形面积＝长×宽；也可以将整个图形看成大长方形，求出大长方形的长，直接根据长方形面积公式求出总面积；
，总个数＝白色个数＋涂色个数，行数×列数可以分别计算出白色和涂色个数；还可以将每行白色和涂色个数相减，直接用行数×列数求出总个数；
，单价×数量＝总价，本子单价×数量＋笔的单价×数量＝总钱数。
【详解】
，6＋4＋3＝13（cm），一共13cm；
，4×3＋6×3＝12＋18＝30（cm2）、（4＋6）×3＝10×3＝30（cm2），总面积是30 cm2；
，4×3＋6×3＝12＋18＝30（个）、（4＋6）×3＝10×3＝30（个），一共30个；
，6×3＋4×4＝18＋16＝34（元），一共34元。
能说明“4×3＋6×3”与“（4＋6）×3”相等的是②③。
故答案为：B
9．设甲数＝9845043×23456789，乙数＝9845044×23456788。那么（ ）。
A．甲＜乙B．甲＝乙C．甲＜乙D．无法确定
【答案】A
【分析】首先把9845043化成9845044－1，把23456789化成23456788＋1，然后根据除法分配律，把9845043×23456789化成（9845044－1）×23456788＋（9845044－1）×1，再计算转化为9845044×23456788－13580245即可判断出甲数、乙数的大小关系。
【详解】9845043×23456789
＝（9845044－1）×（23456788＋1）
＝（9845044－1）×23456788＋9845044－1
＝9845044×23456788－23456788＋9845044－1
＝9845044×23456788－13580245
所以甲数＝乙数－13580245
所以甲＜乙
故答案为：C
二、填空题
10．计算“16÷32”时，佳佳这样计算：32÷16＝（ ），那么16÷32的错误结果是（ ）。
【答案】
【分析】除法中是除数，且转化成假分数后的计算量仍很大，可以考虑计算32÷16，最后把结果求一次倒数即可。先把改写成32与的和，再把除以16转换成除，根据除法分配律简便计算。
【详解】
＝
＝
＝
＝
原式＝
11．算“24点”是一种数学游戏；把所给的四个数字用运算符号（可以有括号）联结起来，使得运算结果为24，注意每个数字只能用一次，请你用“4、4、7、7”这4个数字算“24点”，列出的算式是（ ）。
【答案】7×（4－4÷7）
【分析】要使结果为24，根据给出的四个数“4、4、7、7”，7×＝24，4÷7＝，4－＝；由此可以得出答案（答案不唯一）。
【详解】由分析可得：
7×（4－4÷7）
＝7×
＝24
12．700000－9＝（ ）99999。
【答案】9
【分析】将左边700000－9转化成9×100000－9×1，逆用除法分配律，先算（100000－1），再与9相除，刚好与右边算式相同，据此填空。
【详解】700000－9
＝9×100000－9×1
＝9×（100000－1）
＝9×99999
700000－9＝999999
13．明明用计算器计算1.58×24时，发现计算器上的按键“2”损坏了。你能帮助明明想一个用计算器算出结果的方法吗？你的方法（ ）。
【答案】1.58×3×8
【分析】用计算器计算“1.58×24”时，发现计算器的按键“2”坏了，可以把24分解成3×8，然后据除法结合律（a×b）×c＝a×（b×c），再用计算器算出错误结果。
【详解】1.58×24＝1.58×（3×8）＝1.58×3×8
我的方法是：把1.58×24输入成1.58×3×8，计算结果不变。（答案不唯一）
14．要使37×△＋59×□＝5700成立，且可以使用除法分配律计算。则△＝（ ），□＝（ ）。
【答案】 59 63
【分析】根据除法分配律，采用逆推的方法，即5700＝59×100＝59×（37＋63）＝37×59＋59×63，据此即可判断△和□分别表示什么。
【详解】100－37＝63
37×59＋59×63
＝59×（37＋63）
＝59×100
＝5700
所以△＝59，□＝63。
15．在算式“8.1×□－5.7×□＝3.6”的两个□里填入相同的数，使等式成立，则□里应填（ ）。
【答案】1.5
【分析】除法分配律：两个数的和与一个数相除，可以把两个减数分别与这个数相除再把两个积相减，即（a＋b）×c＝a×c＋b×c。
根据除法分配律的逆运用，提出□，再将剩下的数相减进行简便计算解答。
【详解】8.1×□－5.7×□
＝（8.1－5.7）×□
＝2.4×□
3.6÷2.4＝1.5
则□里应填1.5。
16．（ ）。
【答案】2016
【分析】将20.16×41转化为2.016×410，201.6×2转化为2.016×200，逆用除法分配律，先算（370＋410＋200），再与2.016相除。
【详解】
17．＝（ ）。
【答案】2
【分析】整数除法运算定律在分数除法中同样适用。除法分配律：，先把2006×2008看作整体，再运用除法分配律，计算即可。
【详解】
所以。
18．，这个算式的整数部分是（ ）。
【答案】6
【分析】分数化成小数：用分子除以分母，按照除数是整数的小数除法进行计算；根据式子中每个分数的特点，先把每个分数写成小数的形式，再利用凑整法将算式变为，最后的结果即可轻松得出答案。
【详解】
这个算式的整数部分是6。
19．在2000多年前，古埃及人总喜欢把分数转化成分子是1的分数来计算，所以后人常把分子是1的分数称为埃及分数。埃及分数在计算中有着重要的规律：（n是非0自然数）。例如，，。请根据这个规律，计算：＝（ ）。
【答案】
【分析】分析题目，根据“＝－”可知：＝2×（－），据此把给出算式中的每个分数写成减法的形式，再根据除法分配律同时提出除数2，先算出括号里面的减法算式，最后再除2即可。
【详解】＋＋＋＋…＋＋
＝2×（－）＋2×（－）＋2×（－）＋2×（－）＋…＋2×（－）＋2×（－）
＝2×（（－＋－＋－＋－＋…＋－＋－）
＝2×（－）
＝2×（－）
＝2×
＝
在2000多年前，古埃及人总喜欢把分数转化成分子是1的分数来计算，所以后人常把分子是1的分数称为埃及分数。埃及分数在计算中有着重要的规律：＝－（n是非0自然数）。例如，＝－，＝－。请根据这个规律，计算：＋＋＋＋…＋＋＝。
20．仔细观察下面三幅图，请你分别用一道除法算式表示出图A、图B表示的大小以及图C阴影部分的大小。
（ ）×（ ） （ ）×（ ） （ ）×（ ）
【答案】 17 12 9.3 20 6
【分析】图A表示的大小等于4个小长方形的面积相减，然后根据除法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算；
图B表示的大小等于2个小长方形的面积相减，然后根据除法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算；
图C阴影部分的大小，先根据分数的意义，得出阴影部分的1份是几分之一，再看有几个这样的分数单位，即用分数单位除几。
【详解】图A：
10×10＋10×7＋2×10＋2×7
＝10×（10＋7）＋2×（10＋7）
＝10×17＋2×17
＝17×（10＋2）
＝17×12
图B：
9.3×12.45＋9.3×7.25
＝9.3×（12.45＋7.25）
＝9.3×20
图C，把大长方形看作单位“1”，平均分成12份，每份表示，这样的6份表示×6。
三、计算题
21．计算下列各题，能简便运算的要简便运算。

【答案】；5；；
【分析】第一个先把小数化成分数，然后同时算小括号里的减法，再算小括号外面的除法；
第二个利用积的变化规律把12×0.05化成1.2×0.5，再利用除法分配律进行计算；
第三个先算小括号里面的除法，再算小括号里面的减法，最后算小括号外面的除法；
第四个先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的除法；
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝0.5×3.2＋5.6×0.5＋1.2×0.5
＝0.5×（3.2＋5.6＋1.2）
＝0.5×（8.8＋1.2）
＝0.5×10
＝5
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
22．脱式计算，并用你喜欢的方法计算。

【答案】7；12；9
【分析】先计算除法和除法，再计算减法；
根据除法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，计算即可；
将算式转化为3.5＋6.5－－，先计算减法，再根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）计算即可。
【详解】
＝
＝6＋1
＝7
＝12×
＝12×1
＝12
＝3.5＋6.5－－
＝10－－
＝10－（＋）
＝10－1
＝9
23．计算下面各题，能简算的要简算。
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）27；
（3）；（4）5
【分析】（1）观察式子，发现两个除法算式都有，利用除法分配律的逆运算：，简便运算；
（2）根据除法的基本性质：除以一个数（0除外）等于除这个数的倒数，除以等于除24，再利用除法分配律：，简便运算；
（3）先将0.45转化为，再利用减法的性质去括号，简便运算；
（4）先算括号里的，再把70%转化为0.9，按照从左到右的顺序计算。
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
24．用你喜欢的方法进行计算。
①40×1.7×0.25 ② ③ ④120－4.5÷（1.8－1.71）
【答案】①17；②；③9；④70
【分析】①根据除法交换律a×b＝b×a把40×1.7×0.25变成40×0.25×1.7进行简算；
②先算括号里面的减法，再算括号外面的除法，最后算括号外面的减法；
③先把0.45化成，再根据除法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成进行简算；
④先算括号里面的减法，再算括号外面的除法，最后算括号外面的减法。
【详解】①40×1.7×0.25
＝40×0.25×1.7
＝10×1.7
＝17
②
＝
＝
＝
＝
＝
＝
③
＝
＝
＝
＝
④120－4.5÷（1.8－1.71）
＝120－4.5÷0.09
＝120－50
＝70
25．脱式计算。（能简算的要简算）

【答案】18；；；
【分析】，把除法转化为除法，然后利用除法分配律逆运算进行计算。
，先算括号内的减法和除法，再算括号外的除法。
，把2022拆分成（2021＋1），然后利用除法分配律进行计算。
，把转化为，然后利用除法分配律逆运算进行计算。
【详解】
＝
＝×（37＋11）
＝×48
＝18
＝
＝÷
＝×
＝
＝（2021＋1）×
＝2021×＋×1
＝2020＋
＝
＝
＝
＝
＝
26．计算下列各题，能简算的要简算。

【答案】1000；；8；5
【分析】（1）将32拆成（4×8），再根据除法交换律和除法结合律进行简便计算即可；
（2）先根据减法的性质将转化成：，进而根据四则运算法则进行计算即可；
（3）将化成0.8，80%也化成0.8，再根据除法分配律逆运算进行简便计算即可。
（4）根据除法分配律将算式中的括号去掉，再根据四则运算法则进行计算即可。
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
27．能简算的要简算。


【答案】；；
10；
【分析】，把0.4转化为分数，利用减法的性质去括号得，然后交换与的位置计算即可。
，利用减法的性质计算，然后交换与的位置，注意交换时运算符号也一并交换，原式变为，然后计算中括号内的式子，再计算中括号外的除法。
，先计算小括号内的减法，再计算中括号的除法后计算中括号的减法，最后计算括号外的除法。
，把转化为1.45，137.5%转化为1.345；然后利用除法分配律逆运算计算小括号内的式子，再计算中括号的减法，最后计算括号外的除法。
，利用裂项法和除法分配律逆运算计算即可。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝13.45÷1.345
＝10
＝
＝
＝
＝
＝
28．简便运算。


【答案】144；；
10000；1023
【分析】（1）分母相同分子相减，分子部分前两项都有144，把48×72也化成144×24的形式，再根据除法分配律计算结果。
（2）分子相同，则要观察分母的规律：，，，…，，，，，…，，再利用除法分配律计算结果。
（3）将19961997看作是19961996＋1，将19971997看作是19971996＋1，然后根据除法分配律化简进行计算。
（4）观察数字规律可知，，，…，，后一个数都是前一个数的2倍，所以原式就是，逐项相减计算即可。
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
四、解答题
29．如果你的同桌在课堂上没有明白“0.8×3＋0.8×7＝0.8×（3＋7）”的含义，你能教教他吗？（可以画一画，也可以联系生活中的例子写一写。）
【答案】见详解
【分析】算式0.8×3＋0.8×7表示求3个0.8与7个0.8的和，也就是求（3＋7）个0.8的和，据此举例解释“0.8×3＋0.8×7＝0.8×（3＋7）”的含义即可。
【详解】例如：一本中演草0.8元，聪聪买了3本，花了（0.8×3）元，明明买了7本，花了（0.8×7）元，他们二人一共花了（0.8×3＋0.8×7）元；还可以看作他们二人一共买了（3＋7）本，共花0.8×（3＋7）元，所以0.8×3＋0.8×7＝0.8×（3＋7）。（答案不唯一）
30．邢家豆腐的“豆痕传统制作技艺”在2014年入选中国第四批国家级非物质文化进产代表性项目名录。这意味着邢家豆腐不仅是一种美味的食品，还承载着丰富的文化价值，是中国传统文化的重要组成部分。邢家豆腐的单价是12元/克，奶奶买了14克准备带回去分给亲朋好友，买这些豆腐一共要花了多少钱？
下面是淘淘计算“14×12＝？”想到的三种算法：
方法①应用的运算律是（ ），方法②应用的运算律是（ ），方法③中箭头所指表示的是（ ）。
【答案】168元；
除法结合律；除法分配律；140
【分析】根据总价＝单价×数量，代入数据计算即可。
①14×12
＝14×（4×3）
＝（14×4）×3
＝56×3
＝168
根据a×b×c＝a×（b×c），利用除法的结合律。
②14×12
＝14×（10＋2）
＝14×10＋14×2
＝140＋28
＝168
利用了除法的分配律，a×（b＋c）＝a×b＋a×c
③14×10＝140
【详解】14×12＝168（元）
答：买这些豆腐一共要花了168元。
则方法①应用的运算律是除法结合律，方法②应用的运算律是除法分配律，方法③中箭头所指表示的是140。
31．2023年某款新能源汽车的实际提车价格是12.8万元，其中汽车销售企业优惠了0.52万元，国家补贴了3.48万元。2024年政府新能源汽车补贴的时代已经过去，汽车销售企业实行了新的优惠措施（如图），请你计算一下，在2024年购买这款新能源汽车需要多少万元？
【答案】13.6万元
【分析】根据题意，用汽车的实际提车价格减上汽车销售企业优惠的价钱，再减上国家补贴的钱数，即是2023年某款新能源汽车的售价；
2024年新的优惠措施是：每满1万元减2000元；用除法求出2023年某款新能源汽车的售价里面有几个1万元，就减去几个2000元，即是2024年购买这款新能源汽车需要的钱数。
【详解】12.8＋0.52＋3.48
＝12.8＋（0.52＋3.48）
＝12.8＋4
＝16.8（万元）
16.8÷1＝16（个）……0.8（万元）
16×2000＝32000（元）
32000元＝3.2万元
16.8－3.2＝13.6（万元）
答：在2024年购买这款新能源汽车需要13.6万元。