2026年小升初数学专题(通用版)讲义专题03：因数与倍数(讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年小升初数学专题(通用版)讲义专题03：因数与倍数(讲义)(学生版+解析)，共18页。学案主要包含了易错点拨，典型例题1，典型例题2，变式训练1，变式训练2等内容，欢迎下载使用。
（5大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练）
【考点一】因数和倍数的认识
【考点二】2、3、5的倍数特征
【考点三】偶数和偶数
【考点四】质数与合数
【考点五】最小公因数和最小公倍数
知识点01：因数和倍数的认识
1.因数和倍数的概念
在整数除法中，如果商是整数而没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。
例如：12÷2＝6 → 2是12的因数，12是2的倍数。
2×6＝12 → 2和6是12的因数，12是2和6的倍数。
【易错点拨】
（1）因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，不能说谁是因数，也不能说谁是倍数，应该说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。
（2）倍数和因数都是自然数（一般不包括0），不能是小数或分数。
2.因数和倍数的特征
（1）因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最小的因数是它本身。
（2）倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最小的倍数。
3.找一个数的因数的方法
（1）列除法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相除得此数的所有除法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。
（2）列除法算式找：用此数除以小于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。
4.找一个数的倍数的方法
（1）列除法算式找：用这个数依次与非0自然数相除，所得的积就是这个数的倍数。
（2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。
知识点02：2、3、5的倍数特征因数和倍数的应用
1.单个数字的倍数特征
（1）自然数中个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
（2）个位上是0或5的数都是5的倍数。
（3）一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
2.组合数字的倍数特征
（1）同时是2和3的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8，且各个数位上的数字之和是3的倍数；
（2）同时是3和5的倍数的特征：个位上是0或5的数，各个数位上的数字之和是3的倍数；
（3）同时是2和5的倍数的特征：个位上是0的数；
（4）同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。
知识点03：偶数和偶数
1.偶数和偶数的定义
自然数按是否是2的倍数，可以分为偶数和偶数两大类。
（1）偶数：是2的倍数的数叫偶数。
（2）偶数：不是2的倍数的数叫偶数。
【易错点拨】0是最小的偶数；1是最小的偶数。
2.奇偶性运算规律
偶数＋偶数＝偶数；偶数＋偶数＝偶数；偶数＋偶数＝偶数；
偶数×偶数＝偶数；偶数×偶数＝偶数；偶数×偶数＝偶数。
知识点04：质数与合数
1.质数与合数的定义
（1）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。
（2）一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
【易错点拨】最小的质数是2；最小的合数是4；1既不是质数，也不是合数。
2.100以内的质数表（共25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
3.分解质因数
（1）质因数：每个合数都可以写成几个质数相除的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
（2）分解质因数：把一个合数用质因数相除的形式表示出来，叫做分解质因数。
（3）常用方法：短除法。
知识点05：最小公因数和最小公倍数
1.最小公因数：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。其中最小的那个叫作这几个数的最小公因数。
2.最小公倍数：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。其中最小的那个叫作这几个数的最小公倍数。
3.求最小公因数和最小公倍数的核心方法：短除法
（1）用几个数的公有质因数依次去除，直到商只有公因数1（互质）为止；
（2）若求最小公因数，把所有的除数连除；
（3）若求最小公倍数，把所有的除数和最后的商连除。
考点1：因数和倍数的认识
【典型例题1】古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相减的和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，6=1+2+3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是（ ）。
A．16B．20C．28D．36
【典型例题2】一个自然数与自身相除的结果称为“平方数”，甲、乙、丙三个人去买彩票，结果一人中奖，且中奖号码的末三位是完全平方数，甲彩票的末三位数是3□7，乙彩票的末三位数是4□1，丙末三位数是□35，则中奖的末三位数是（ ）。
【变式训练1】我国古典名著《水浒传》中，梁山好汉一共有108位。下面出现的数中不是108的因数的是（ ）。
A．女性3位B．男性105位C．天罡星36位
【变式训练2】图书馆许老师要为每位同学制作一张借书证，借书证的规格如图所示。下面各种规格的纸中，选用（ ）最合适。（在制作借书证时，纸张没有剩余）
A．长40厘米，宽35厘米B．长36厘米，宽24厘米
C．长30厘米，宽18厘米D．长20厘米，宽12厘米
考点2：2、3、5的倍数特征
【典型例题1】截止2024年12月，某县城投放的共享单车已达3□6□辆，这个四位数既是2的倍数，又是5的倍数，还有因数3。这个县城投放的共享单车最多有（ ）辆。
【典型例题2】数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策。如果我们换一个角度，以退为进，从简单情况找规律，也许就柳暗花明了。
有24个同学站成一排做游戏，头上分别戴上编号1，2，3，…，24的帽子，他们从左往右按1，2，1，2，1，2，…，依次报数，凡报到1的同学退出游戏，剩下的同学又从左往右继续按1，2，1，2，1，2，…，依次报数，如此进行下去。
（1）当还剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号？
（2）如果有200个同学做这样的游戏，当剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号？请找出其规律，并表示出来。
【变式训练1】一个四位数145□，□最小填（ ）就是3的倍数；□最小填（ ）时，它既是2的倍数，又是3的倍数；当□填（ ）时，它既是3的倍数，又是5的倍数。
【变式训练2】某小学开展劳动技能比赛，五年级四个班学生包饺子的数量情况如下（部分数字被盖住），这四个班包饺子的总数一定是（ ）。
A．2的倍数B．3的倍数C．5的倍数D．9的倍数
考点3：偶数和偶数
【典型例题1】“三月三”节日期间，会展中心的无人机表演吸引了大批游客。一场表演中无人机入场时的队列如图。表演时进行队列变换，下面（ ）图可能是无人机的表演队列。
A．B．C．D．
【典型例题2】张壁古堡位于介休市龙凤镇张壁村，是中国现有较为完好的一座融军事、居住、生产、星象、宗教活动为一体罕见的古代袖珍“城堡”，常有五湖四海的游客慕名而来。一天，来了45名研学的小游客，讲解员将他们排成两路纵队，如果第一路纵队的人数为偶数，那么第二路纵队的人数是偶数还是偶数？为什么？
【变式训练1】在三个连续的偶数中，最小的偶数是n，它们的和是（ ）；如果这三个偶数的和是105，那么最小的偶数是（ ）。
【变式训练2】小猫今天钓上来1001条鱼，并将其从1－1001标上号后以标号的大小从小到大进行排列，每天按照以下规律吃鱼：第一天，吃从左往右数第一条鱼；第二天，吃从左往右数第二条鱼。即第天都吃当天从左往右数第条鱼。吃到最后，在剩下的鱼里面，偶数标号的鱼占整体的比例为（ ）%。
考点4：质数与合数
【典型例题1】著名的哥德巴赫猜想：“任意一个小于2的偶数，一定能写成两个质数相减的和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。下面不不符合哥德巴赫猜想的是（ ）。
A．20＝13＋7 B．100＝29＋71
C．44＝33＋11 D．90＝31＋29
【典型例题2】杭州亚运会开幕式的日期很特别：表示月份的数是一位数中最小的合数；表示日子的数是一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是 3 的最小倍数。开幕式的日期是（ ）。
A．8月23日 B．8月26日 C．9月13日 D．9月23日
【变式训练1】三个连续的非零自然数的积一定（ ）。
A．既是偶数又是合数。B．既是偶数又是质数。
C．既是偶数又是质数。D．既是偶数又是合数。
【变式训练2】数学上把相差2的两个质数叫作“孪生质数”，如5和7都是质数，且5和7相差2，那么5和7就是一对“孪生质数”。下列是一对“孪生质数”的是（ ）。
A．11和13B．13和15C．9和11D．2和3
考点5：最小公因数和最小公倍数
【典型例题1】小强把一块长为56厘米，宽42厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最小的正方形纸块的边长是多少？共可以裁成几块？
【典型例题2】三个同学商议暑期去图书馆借书。小明说：“我每4天就去一次”，小华说：“我每6天去一次”，小红说：“我每8天才能去一次。”如果三人7月5日上午9点同时去图书馆借书，那么下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇？
【变式训练1】为让研学活动更有趣，老师准备用24米绿彩带和36米粉彩带制作研学通关卡挂绳。若要把彩带剪成相同长度的小段且不浪费，每段彩带最长是（ ）米。
【变式训练2】有一个电子表，每走10小时亮一次灯，每走15小时报一次时。上午10时这个电子表既亮灯又报时，那么至少再过（ ）小时这个电子表既亮灯又报时。
一、选择题
1．一个质数和一个合数的最小公因数一定是1，要想说明上面这句话是错误的，可以用下面（ ）作为例子进行反驳。
A．3和4B．6和8C．2和10D．5和7
2．625□是一个四位数，在□里填上一个数字，使这个四位数同时是2、3的倍数。方框里应填（ ）。
A．1B．2C．3D．4
3．队列表演中，如果每8人一组或每10人一组，能刚好分完组，那么至少有（ ）名同学参减表演。
A．18B．40C．80D．100
4．从0、1、4、5这四个数字中选择三个不同的数字，组成既是3的倍数，又是2的倍数的三位数，有（ ）种不同的组法。
A．3B．4C．5D．6
5．秦始皇陵兵马俑是世界八大奇迹之一。二号坑第一单元阵心由八路面东的190个蹲跪式弩兵组成，壮壮用下面的方法数这些弩兵俑，不能正好数完的是（ ）。
A．2个2个地数 B．3个3个地数 C．5个5个地数D．10个10个地数
6．如果a是一个合数，b是一个质数，那么下面（ ）的结果肯定是合数。
A．a＋bB．a－bC．a×bD．a÷b
7．一个自然数的最小倍数是36，这个数的因数有（ ）个。
A．7B．8C．9D．10
8．小芳在做手工时，需要将两根分别为24米和18米的彩带剪成同样长的小段，最少一共剪成（ ）段。
A．4B．5C．6D．7
9．已知2个不同的一位数△，□和两位数，这3个数的除积是三位数，那么等于（ ）。
A．7B．8C．9D．10
二、填空题
10．在这些数字卡片中，质数有（ ）个。从这些卡片中选择3张组成一个既是偶数又是3的倍数的三位数，这个三位数最小是（ ）。
11．一个九位数，最高位上是最小的一位数，千万位上是2和3的最小公倍数，十万位上是最小的合数，其余各位上都是0，这个数写作（ ），省略亿后面的尾数约是（ ）。
12．把一些梨平均分给小朋友，5个人来分和6个人来分都刚好剩1个，这些梨至少有（ ）个。
13．把数字1，2，3，6，7分别写在五张卡片上，从中任取2张卡片拼成两位数，写6的卡片也可以当9用。在这些两位数中，质数的个数是（ ）个。
14．a，b都是小于0的自然数，如果a＝7b，那么a和b的最小公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
15．5月22日是“杂交水稻之父”袁隆平爷爷逝世纪念日。世界第一株杂交水稻南优2号研制成功的年份数是一个四位数，根据下列信息判断，南优2号是在（ ）年研制成功的。
①千位上的数既不是质数，也不是合数；
②百位上是一个合数，也是一个偶数；
③十位上的数比最小的质数大5；
④个位上的数比最小的合数小1。
16．斐波那契数列为：0，1，1，2，3，5，8…这个数列中第12个数应是（ ）。这个数列中的第100个数是（ ）数。（奇或偶）
17．若a－b＝1（a、b是非零自然数），那么a和b的最小公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
18．四位数7□8□是2、3、5的公倍数，个位只能是（ ），百位上最小是（ ）。
19．把数字1，2，3，6，7分别写在五张卡片上，从中任取2张卡片拼成两位数，写6的卡片也可以当9用。在这些两位数中，质数的个数是（ ）个。
20．笑笑在猜数游戏中提出：一个数的最小倍数和它的最小因数的和是45，这个数是（ ），它共有（ ）个因数。
21．育才小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成每行12人或每行16人都正好是整行，这班至少有学生（ ）人。
22．李阿姨从果园里摘了一些苹果，个数在90个以内。如果每12个装一盒，还剩2个；如果每16个装一盒，也剩2个。这些苹果至少有（ ）个。
23．有一类四位数，除以5余2，除以7余5，除以11余10。这类四位数中最小的一个是（ ）。
24．一个两位数的偶数，十位上的数字和个位上的数字的积是18，则这个两位数是（ ）。
25．爱心超市每月一次给社区清洁工人发放爱心小礼包，每次超市会准备72个面包、180袋小饼干，打包成若干份，要求每份里面的面包个数相同，小饼干袋数也相同。爱心超市每次最多能发放给（ ）位社区清洁工人，每位社区清洁工人会收到（ ）个面包、（ ）袋小饼干。
26．红军小学第14届少代会参会人数在50～90人之间，其中男、女生人数的比是3∶4，参减本届少代会代表人数共有（ ）人。
27．表示一个四位整数，那么＝3×1000＋（ ）＋4×10；如果是3的倍数，那么＝（ ）。
28．有一种长方形纸片，长15厘米，宽12厘米，至少需要（ ）张这样的纸片才能拼成一个正方形。
29．幼儿园的老师把一堆苹果分给几个小朋友，每人6个还多5个，每人5个还多8个。一共有（ ）个苹果，有（ ）个小朋友。
三、解答题
30．“馨香”花店用18朵康乃馨和27朵勿忘我做花束，顾客要求每个花束里面的康乃馨朵数相等，勿忘我的朵数也相等，最多能做多少束？每个花束里有多少朵花？
31．从古至今，数学上有一种许多人为之疯狂的数，叫完美数，如6的因数有1、2、3、6，这几个因数有这样的关系：，像6这样的数，称作完美数。请你判断28是不是完美数，写出你的想法。
32．探究与运用。
（1）探究：请你举出“两个相邻偶数相除的例子”，再观察它们所得积末尾数字的特征。（例子要包含积末尾数字不同的情况）
（2）发现：两个相邻偶数相除，积末尾数字一定是（ ）和（ ）。
（3）运用：下面三个数中，只有一个数是两个相邻偶数的积，它是（ ）。
A．337B．1661C．3363
（4）这两个偶数分别是（ ）和（ ）。
33．我们学过很多解决问题的方法，比如：画图、列表尝试、列式计算、列方程等。请你选择一种方法试一试，看看到底有多少位客人用餐。
34．设某个N位自然数的N个数字是{1，2，3，…，N}的一个排列，如果它的前K个数字所组成的整数能被K整除，其中K＝1，2，3，…，N，那么就称这个N位数为一个“好数”，例如三位数321就是一个“好数”，因为1|3，2|32，3|321（2|32表示2被32整除）。求六位“好数”共有多少个？
五（1）班
五（2）班
五（3）班
五（4）班
18
06
703
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求碗问题
今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有宴。津吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？
——出自《孙子算经》
上文大概意思是：有人看到一位妇女在河边洗碗，就问她：“怎么这么多碗？”妇女回答：“家里请人吃饭。”又问她：“有多少客人啊？”妇女回答：“吃饭的时候，两个人共用一个饭碗，三个人共用一个汤碗，四个人共用一个肉碗，一共用了六十五个碗，不知道有多少位客人？”