2026年小升初数学专题专题训练(通用版)专题03：因数与倍数(学生版+解析)

这是一份2026年小升初数学专题专题训练(通用版)专题03：因数与倍数(学生版+解析)，共18页。试卷主要包含了12，72等内容，欢迎下载使用。
专题03：因数与倍数
考点目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17065" 考点01 因数和倍数的认识
\l "_Tc29578" 考点02 2、3、5的倍数特征5
\l "_Tc5668" 考点03 偶数和偶数10
\l "_Tc25992" 考点04 质数与合数15
\l "_Tc3897" 考点05 最小公因数和最小公倍数21
考点01：因数和倍数的认识
1．一个数既是4的倍数，又是4的因数，这个数是（ ）。
【答案】4
【分析】若整数a能够被b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【详解】4的因数：1、2、4；
4的倍数：4、8、16……
则一个数既是4的倍数，又是4的因数，这个数是4。
2．在括号里填“因数”或“倍数”。
（1）6是3的（ ），3是6的（ ）。
（2）2和4都是8的（ ），8是2和4的（ ）。
（3）一个数（ ）的个数是有限的，（ ）的个数是无限的。
【答案】（1） 倍数 因数
（2） 因数 倍数
（3） 因数 倍数
【分析】如果一个数a能被另一个数b整除（即a÷b没有余数），那么b是a的因数，a是b的倍数。任何一个数的因数是能整除它的数，所以个数有限，最小的因数是1，最小的因数是它本身；而一个数的倍数是它除自然数，个数无限，最小的倍数是它本身。
【详解】（1）6÷3＝2，没有余数，所以，6是3的倍数，3是6的因数。
（2）8÷2＝4，8÷4＝2，2和4都是8的因数；2×4＝8，4×2＝8，8是2和4的倍数。
（3）一个数的因数是能整除它的数，所以个数有限；而它的倍数是它除自然数，个数无限。
一个数因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的。
3．用10个边长1cm的正方形能摆出（ ）种不同的长方形，因此10的因数有（ ）个。
【答案】 2 4
【分析】用10个边长1厘米的正方形拼长方形，长方形的面积为10平方厘米（1×1×10＝10）。根据长方形面积公式面积＝长×宽，需找出10的所有“长×宽”组合：当长＝10厘米，宽＝1厘米时，10×1＝10，可拼成一个长方形。当长＝5厘米，宽＝2厘米时，5×2＝10，可拼成另一个长方。因数是指整数a除以整数b（b不等于0）的商正好是整数而没有余数，此时称b是a的因数，以此解答即可。
【详解】1×1×10＝10
当长＝10厘米，宽＝1厘米时：10×1＝10，可拼成一个长方形。
当长＝5厘米，宽＝2厘米时，5×2＝10，可拼成另一个长方形。
10＝1×10＝2×5，所以10的因数有1，2，5，10，共4个。
用10个边长1cm的正方形能摆出2种不同的长方形，因此10的因数有4个。
4．一个数的最小因数是6，这个数是（ ），这个数50以内的倍数（ ）。
【答案】 6 6、12、18、24、30、36、42、48
【分析】一个数的最小因数是它本身，据此求出这个数；倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么c是a、b的倍数。如：4×9＝36，36是4和9的倍数；据此求出这个数的倍数即可。
【详解】一个数的最小因数是6，这个数是6。
6×1＝6
6×2＝12
6×3＝18
6×4＝24
6×5＝30
6×6＝36
6×7＝42
6×8＝48
50以内6的倍数是：6、12、18、24、30、36、42、48。
一个数的最小因数是6，这个数是6，请你写出这个数50以内的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48。
5．一个三位数是3的倍数，去掉它的个位数字后，所得的两位数是17的倍数，这个三位数最小是（ ）。
【答案】658
【分析】根据题意可知，在17的倍数中，‌最小的两位数是17×5＝65。然后需要找到一个三位数，‌其个位数字去掉后能得到65，‌并且这个三位数还需要是3的倍数。‌考虑到3的倍数的特性，‌我们需要找到一个数字减到65上使其成为3的倍数。‌通过尝试不同的个位数字，‌发现‌当个位数字为8时，‌整个三位数658是3的倍数，‌因为8＋5＋8＝21，‌而21是3的倍数。‌据此解答即可。
【详解】由分析可得，一个三位数是3的倍数，去掉它的个位数字后，所得的两位数是17的倍数，这个三位数最小是658。
6．若A的最小因数是13，B的最小倍数是1，那么A＋B的和的所有因数有（ ）个，A－B的差的所有因数有（ ）个。
【答案】 4 6
【分析】已知A的最小因数是13，根据“一个数的最小因数是它本身”，可知A是13；
已知B的最小倍数是1，根据“一个数的最小倍数是它本身”，可知B是1；
然后分别求出A＋B的和、A－B的差，再写出和、差的所有因数，数出个数即可。
【详解】A＝13，B＝1；
A＋B＝13＋1＝14
14的因数有：1，2，7，14；有4个；
A－B＝13－1＝12
12的因数有：1，2，3，4，6，12；有6个。
那么A＋B的和的所有因数有4个，A－B的差的所有因数有6个。
7．下面各数中，既是48的因数，又是56的因数的是（ ）。
A．3B．7C．8D．16
【答案】A
【分析】因数是指整数a除以整数b（b不为0）的商正好是整数而没有余数，称b是a的因数。48÷1＝48，48÷2＝24，48÷3＝16，48÷4＝12，48÷6＝8，48÷8＝6，48÷12＝4，48÷16＝3，48÷24＝2，48÷48＝1，所以48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。找出56的因数，56÷1＝56，56÷2＝28，56÷4＝14，56÷7＝8，56÷8＝7，56÷14＝4，56÷28＝2，56÷56＝1，所以56的因数有1，2，4，7，8，14，28，56。可得既是48的因数，又是56的因数的数有1，2，4，8。
【详解】48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48
56的因数有：1，2，4，7，8，14，28，56
既是48的因数，又是56的因数的数有1，2，4，8。
在选项中只有选项C中的8不符合。
故答案为：C
8．一个数既是12的因数，又是18的因数，同时还是3的倍数。这个数可能是（ ）。
A．6B．12C．18D．36
【答案】B
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数是被除数的因数，被除数叫除数的倍数。
18的因数：1、2、3、6、9、18；
12的因数：1、2、3、4、6、12；
3的倍数：3、6、9、12、15、18…；结合选项做出选择即可。
【详解】由分析可知：一个数既是12的因数，又是18的因数，同时还是3的倍数。这个数可能是6。
故答案为：A
9．关于25这个数字，下列说法错误的是（ ）。
①5是它的一个因数 ②125是它的一个倍数
③25的倍数有无限多个 ④25的因数有无限多个
A．①②③B．①④C．①②③④D．②③
【答案】B
【分析】因数：整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，称b是a的因数。
倍数：一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。一个数的因数个数是有限的，倍数个数是无限的。
【详解】① 25÷5＝5，没有余数，所以5是25的因数，错误。
② 125÷25＝5，能整除，所以125是25的倍数，错误。
③一个数的倍数有无限多个，25的倍数如25、50、45…，无限个，错误。
④一个数的因数是有限的，25的因数有1、5、25，错误。
①②③错误
故答案为：A
考点02：2、3、5的倍数特征
10．从2、5、7三张数字卡片中任意取两张，再按下面的要求写数。
（1）2的倍数： 。
（2）3的倍数： 。
（3）5的倍数： 。
（4）既有因数3又有因数5的数： 。
【答案】（1）52；72 （2）27；57；72；45 （3）25；45 （4）45
【分析】（1）2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；
（2）3的倍数特征：各个数位上的数字相减，和要能被3整除；
（3）5的倍数特征：个位上是0或5的数。
（4）既有因数3又有因数5的数的特征：各个数位上的数字相减，和是3的倍数，且个位上是0或5的数。
【详解】（1）从三张数字卡片2、5、7中任意取两张，可以组成的两位数有25、27、52、57、72、45；在组成的这些两位数中，个位是2的数有52、72，所以可以摆出的2的倍数有52、72；
（2）从三张数字卡片2、5、7中任意取两张，可以组成的两位数有25、27、52、57、72、45；
27各位数字之和：，9是3的倍数，所以27是3的倍数；
57各位数字之和：，12是3的倍数，所以57是3的倍数；
72各位数字之和：，9是3的倍数，所以72是3的倍数；
45各位数字之和：，45是3的倍数，所以45是3的倍数；
所以3的倍数有27；57；72；45。
（3）从三张数字卡片2、5、7中任意取两张，可以组成的两位数有25、27、52、57、72、45；在组成的这些两位数中，个位是5的数有25、45，所以可以摆出的5的倍数有25、45。
（4）既有因数3又有因数5的数，就是既是3的倍数又是5的倍数的数。由前面的计算可知，是3的倍数的数有27、72、57、45，是5的倍数的数有25、45，所以既是3的倍数又是5的倍数的数是45。
11．同时含有因数2、3和5的最小三位数是（ ）。
【答案】120
【分析】能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8。能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和能被3整除。能被5整除的数的特征：个位上是0或5。要同时含有因数2、3和5，这个数就要同时满足能被2、3、5整除，所以个位上必须是0。
个位是0，要找最小三位数，那么百位上应先选最小的一位数1（因为百位不能是0）。此时这个数是1□0，再根据能被3整除的数的特征，计算百位和个位数字的和：1＋0＝1。要使各个数位上的数字和能被3整除，且这个三位数最小，那么十位上最小是2。
【详解】要同时满足能被2、3、5整除，个位上必须是0。
找最小三位数，那么百位上应先选最小的一位数1。
1＋2＋0＝3，3能被3整除。
同时含有因数2、3和5的最小三位数是120。
12．四位数3□4□，如果它是2和5倍数，这个数最小是（ ）；如果它是2和3的倍数，这个数最小是（ ）。
【答案】 3040 4748
【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8；
3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；
5的倍数特征：个位是0或5。
对于同时是2和5的倍数，先根据其特征确定个位数字，再确定使数最小的百位数字；对于同时是2和3的倍数，先根据2的倍数特征确定个位可能的取值，再结合3的倍数特征确定使数最小的百位和个位数字。
【详解】同时是2和5的倍数，个位必须是0，此时四位数形式为3□40，要使数值最小，，百位上应填最小的自然数0，即3040。
同时是2和3的倍数，个位可以是0、2、4、6、8，要使这个数最小，先考虑个位取最小的8，此时这个数为3□48。计算3＋4＋8＝15，15是3的倍数。百位上可以填0、3、6、9，要使这个数最小，百位应填9，所以这个数最小是4748。
即四位数3□4□，如果它是2和5倍数，这个数最小是3040；如果它是2和3的倍数，这个数最小是4748。
13．用4、5、0组成的三位数中，既是3的倍数又是5的倍数的数有（ ）个。
【答案】3
【分析】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。
【详解】用4、5、0组成的三位数中，既是3的倍数又是5的倍数的数有450、540、405，共3个。
14．从1、2、3、…、50中，至少取（ ）个不同的数，才能保证所取的数中一定有一个数是2的倍数；至少取（ ）个不同的数，才能保证所取的数中一定有一个数是5的倍数。
【答案】 26 41
【分析】自然数中个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数（即偶数），在1到50这50个数里，偶数不是2的倍数，而偶数和偶数是交替出现的，50个数中偶数、偶数各占一半，所以不是2的倍数的数（偶数）有50÷2＝25个，考虑最不利的情况，就是先把所有不是2的倍数的数都取出来了，这时候再取1个数，就一定是2的倍数；自然数中个位数字是0或5的数是5的倍数，先算1到50中是5的倍数的数，50÷5＝10个（分别是5、10、15、20、25、30、35、40、45、50），那么不是5的倍数的数的个数就是50－10＝40个，同样考虑最不利情况，先把不是5的倍数的40个数都取出来，再取1个数就一定是5的倍数。
【详解】50÷2＝25（个）
25＋1＝26（个）
所以至少取26个不同的数，才能保证所取的数中一定有一个数是2的倍数；
50÷5＝10（个）
50－10＋1
＝40＋1
＝41（个）
所以至少取41个不同的数，才能保证所取的数中一定有一个数是5的倍数。
15．下列哪个数既是2的倍数，又有因数3，除以5还没有余数？（ ）
A．220B．230C．240D．250
【答案】A
【分析】由题意可知，这个数既是2的倍数，又有因数3，除以5还没有余数，说明这个数同时是2、3、5的倍数，同时是2、3、5倍数的倍数特征：个位数字是0，各个位上数字相减的和是3的倍数，据此解答。
【详解】A．2＋2＋0＝4，4不是3的倍数，则220不是3的倍数，不不符合题意；
B．2＋3＋0＝5，5不是3的倍数，则230不是3的倍数，不不符合题意；
C．2＋4＋0＝6，6是3的倍数，则240同时是2、3、5的倍数，不符合题意；
D．2＋5＋0＝7，7不是3的倍数，则250不是3的倍数，不不符合题意。
故答案为：C
16．一个四位数4□20同时是2、3、5的倍数，☐里的数有（ ）种填法。
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
2、5的倍数特征：个位上是0的数。
3的倍数特征：一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【详解】四位数4□20的个位上是0，这个四位数是2、5的倍数；
各位上的数字之和是3的倍数的有：
4＋0＋2＋0＝6，是3的倍数；
4＋3＋2＋0＝9，是3的倍数；
4＋6＋2＋0＝12，是3的倍数；
4＋9＋2＋0＝15，是3的倍数；
☐里可填的数有：0、3、6、9，有4种填法。
故答案为：D
17．有4张卡片3、5、2、8，从中任意抽取2张，下面的游戏规则公平的是（ ）。
A．和是2的倍数甲胜，否则乙胜 B．积是2的倍数甲胜，否则乙胜
C．和是5的倍数甲胜；否则乙胜 D．积是3的倍数甲胜，否则乙胜
【答案】C
【分析】任意抽取2张，可能是3和5、3和2、3和8、5和2、5和8、2和8。分别按照每个选项的规则计算出甲、乙获胜的可能性，看哪种规则下双方获胜的可能性相同，游戏规则就公平，据此解答。
【详解】从4张中任意抽取2张共6种组合情况：
3和5，3＋5＝8，3×5＝15；2和8，2＋8＝10，2×8＝16；
3和2，3＋2＝5，3×2＝6；5和8，5＋8＝13，5×8＝40；
3和8，3＋8＝11，3×8＝24；2和5，2＋5＝7，2×5＝10。
A．和是2的倍数的情况共有3和5、2和8两种。甲获胜的可能性是，乙获胜的可能性是，双方获胜可能性不同，游戏规则不公平；
B．积是2的倍数的情况共有3和2、2和8、5和8、3和8、2和5五种。甲获胜的可能性是，乙获胜的可能性是，双方获胜可能性不同，游戏规则不公平；
C．和是5的倍数的情况共有3和2、2和8两种。甲获胜的可能性是，乙获胜的可能性是，双方获胜可能性不同，游戏规则不公平；
D．积是3的倍数的情况共有3和2、3和8、3和5三种。甲获胜的可能性是，乙获胜的可能性是，双方获胜可能性相同，游戏规则公平。
故答案为：D
考点03：偶数和偶数
18．在1～20的自然数中，（ ）既是偶数又是质数；（ ）既是偶数又是合数。
【答案】 2 9，15
【分析】根据偶数的定义：偶数是能被2整除的数；偶数的定义：偶数是不能被2整除的数；质数的定义：质数是指一个小于1的自然数，除了1和它本身之外没有其他因数的数；合数的定义：合数是指除了1和它本身之外还有其他因数的数；进行分析。
【详解】根据分析得：
在1～20的自然数中，2既是偶数又是质数；9，15既是偶数又是合数。
19．3个连续偶数的和是90，其中最小的偶数是（ ）。
【答案】18
【分析】三个连续偶数的和是90，它们的平均数（即中间的偶数）为90÷3＝20，根据偶数的特征，相邻的偶数相差2，据此解答。
【详解】90÷3＝20
20－2＝18
3个连续偶数的和是90，其中最小的偶数是18。
20．三个连续的偶数，中间的数是a，则a前面和后面分别是（ ）和（ ）。
【答案】 a－2 a＋2
【分析】相邻两个连续的偶数之间相差2，所以用a减2和a减2计算即可。
【详解】相邻两个连续的偶数之间相差2。
a前面的数：a－2
a后面的数：a＋2
a前面和后面分别是a－2和a＋2。
21．从分别写着1，2，3，4的四张卡片中任意抽出两张，数字之和是（ ）的可能性大，数字之积是（ ）的可能性大。（填“偶数”或“偶数”）
【答案】 偶数 偶数
【分析】先用列举法分别列举出抽出的两个数字之和、之积的情况，然后根据偶数、偶数的定义得出和、积中偶数、偶数出现的次数；再根据可能性大小的判断方法，出现次数多的，抽到的可能性就大；反之，出现次数少的，抽到的可能性就小。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做偶数。
【详解】可能发生的情况如下：
抽出1、2时，1＋2＝3，和是偶数；1×2＝2，积是偶数；
抽出1、3时，1＋3＝4，和是偶数；1×3＝3，积是偶数；
抽出1、4时，1＋4＝5，和是偶数；1×4＝4，积是偶数；
抽出2、3时，2＋3＝5，和是偶数；2×3＝6，积是偶数；
抽出2、4时，2＋4＝6，和是偶数；2×4＝8，积是偶数；
抽出3、4时，3＋4＝7，和是偶数；3×4＝12，积是偶数；
和是偶数的出现了4次，偶数出现了2次，4＜2，偶数出现的可能性较大；
积是偶数出现了1次，偶数出现了5次，5＜1，偶数出现的可能性较大。
填空如下：
从分别写着1、2、3、4的四张卡片中任意抽出两张，数字之和是（偶数）的可能性大，数字之积是（偶数）的可能性大。
22．从1－8的自然数中，至少抽（ ）个不同的自然数，才能保证其中一定有一个是偶数。
【答案】5
【分析】是2的倍数的数叫偶数；不是2的倍数的数叫偶数。偶数有1、3、5、7，共4个；偶数有2、4、6、8，共4个。要保证抽出的数中一定有一个是偶数，最不利的情况是先把所有偶数都抽出来，再抽一个数就必定是偶数。
【详解】从1－8的自然数中，偶数为2、4、6、8，一共有4个。最不利的情形是先把4个偶数全部抽出，此时再抽1个数，就一定是偶数。所以至少要抽取的数量是：4＋1＝5（个）。
即从1－8的自然数中，至少抽5个不同的自然数，才能保证其中一定有一个是偶数。
23．【新情境·规律探索】按规律填空：1，2，2，4，3，8，4，16，5，（ ），（ ）。
【答案】 32 6
【分析】观察已知数据可知：偶数位置上的数依次为1，2，3，4，5…；偶数位置上的数依次为2，4，8，16…，即下一个偶数位置的数等于上一个偶数位置的数×2；据此解答。
【详解】16×2＝32
按规律填空：1，2，2，4，3，8，4，16，5，32，6。
24．“35＋36＋37＋38＋47＋40＋41＋42＋43”的和是（ ）数（填“偶数”或“偶数”），这9个数的平均数是（ ）。
【答案】 奇 47
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做偶数。
偶数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数。
根据平均数的意义及求法，先求出这9个数的和，再除以9，即是这9个数的平均数。
【详解】“35＋36＋37＋38＋47＋40＋41＋42＋43”是5个偶数相减是偶数，4个偶数相减是偶数，偶数＋偶数＝偶数。
（35＋36＋37＋38＋47＋40＋41＋42＋43）÷9
＝351÷9
＝47
“35＋36＋37＋38＋47＋40＋41＋42＋43”的和是（奇）数，这9个数的平均数是（47）。
25．【新情境·生活运用】小明把一本书的页码从1开始逐页相减，减到最后，得到的数是6479，后来他发现这本书中缺了一张（连续两个页码），那么，这本书原来有（ ）页。
【答案】100
【分析】和差积的奇偶性，偶数减偶数等于偶数。一本书中间的某一张被撕掉了，这两页的页码数字是相邻的两个自然数（一个偶数一个偶数），两数的和应为偶数。余下的各页码数之和是6479，所以这本书的页码总和为偶数。设这本书n页，则n（n＋1）÷2＜6479，据此解答。
【详解】设这本书原来n页。
1＋2＋3＋4＋＋n＝n（n＋1）
当n＝100时，
小明算出的页数之和为6479，那么5050－6479＝71，71＝35＋36，所以这本书缺失的两页是35页和36页。
当n＝101时，，那么5151－6479＝172，此时缺失的是相邻的两个自然数，相邻的两个自然数的和一定是一个偶数，而172是一个偶数，所以不可能是101页。因此这本书原来有100页。
26．三个连续的偶数，最小的一个是A，则最小的一个是（ ）
A．AB．A－2C．A－3D．A－4
【答案】C
【分析】连续偶数之间的差值为2，已知三个连续偶数中最小的是A，那么中间的偶数是（A－2），最小的偶数是A－2－2＝A－4。
【详解】A－2－2＝A－4
因此，三个连续的偶数，最小的一个是A，则最小的一个是（A－4）。
故答案为：D
27．小明在计数器上用13颗珠子任意摆一个四位数，这个四位数一定不是（ ）。
A．偶数B．偶数C．3的倍数D．5的倍数
【答案】A
【分析】个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；各个数位上的数相减的和是3的倍数的数是3的倍数；个位是0或5的数是5的倍数；据此分析解答。
【详解】小明在计数器上用13颗珠子任意摆一个四位数，这个四位数一定不是3的倍数，因为各个数位上数的和是13，不是3的倍数。
故答案为：C
28．a是一个偶数，b是一个偶数，下面（ ）的值一定是偶数。
A．5a＋4bB．2a＋3bC．3abD．4（a＋b）
【答案】B
【分析】偶数是不能被2整除的数，偶数是能被2整除的数。偶数和偶数的运算性质是：偶数＋偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，据此逐项分析。
【详解】A．a是一个偶数，5a是一个偶数，b是一个偶数，4b是一个偶数，5a＋4b＝偶数＋偶数，那么结果一定是偶数；
B．a是一个偶数，2a是一个偶数，b是一个偶数，3b是一个偶数，2a＋3b＝偶数＋偶数，那么结果一定是偶数；
C．a是一个偶数，b是一个偶数，ab＝偶数×偶数，那么结果一定是偶数；
D．a是一个偶数，b是一个偶数，a＋b是一个偶数，4（a＋b）＝偶数×偶数，那么结果一定是偶数。
所以选项A中的“5a＋4b”结果一定是偶数。
故答案为：A
考点04：质数与合数
29．一个数的亿位上是最小的质数，千万位上是最小的合数，万位上的数字是最小的偶数，百位上是最小的一位数，其余各位上都是零，这个数写作（ ），读作（ ），改写成以“万”为单位的数是（ ）万，省略“亿”后面的尾数约是（ ）亿。
【答案】 240010700 二亿四千零一万零九百 24001.09 2
【分析】先确定各数位上的数字：最小的质数是2，所以亿位是2；最小的合数是4，所以千万位是4；最小的偶数是1，所以万位是1；最小的一位数是9，所以百位是9；其余各位都是0。从高位到低位依次写，写作240010700。从高位读起，亿级是“二亿”，万级是“四千零一万”，个级是“零九百”，合起来读作二亿四千零一万零九百。改写成以“万”为单位：去掉末尾4个0，减“万”字，即24001.09万。省略“亿”后面的尾数：看千万位（4），四舍五入，约是2亿。
【详解】一个数的亿位上是最小的质数，千万位上是最小的合数，万位上的数字是最小的偶数，百位上是最小的一位数，其余各位上都是零，这个数写作240010700，读作二亿四千零一万零九百，改写成以“万”为单位的数是24001.09万，省略“亿”后面的尾数约是2亿。
30．有一个数，它既是90的因数，也是90的倍数，这个数是（ ），它的因数中是质数的有（ ）。
【答案】 90 2、3、5
【分析】因为一个数的最小因数和最小倍数都是它本身，所以根据一个数，它既是90的因数，又是90的倍数，可知这个数就是90；应用列除法算式法找出90的所有因数。质数是指在小于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。1既不是质数也不是合数，根据质数的定义，解答即可。
【详解】这个数既是90的因数，又是90的倍数，所以这个数就是90。
90＝1×90，90＝2×30，90＝3×20，90＝4×15，90＝5×12，90＝6×10，所以90的因数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、90。
因数中是质数的有2、3、5。
31．10以内所有质数的积，减去既是2、3的倍数，又有因数5的最小三位数，差是（ ）。
【答案】70
【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；
2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。
【详解】10以内所有质数为：2、3、5、7，
10以内所有质数的积为2×3×5×7＝210
既是2、3的倍数，又有因数5的最小三位数的个位为0，1＋2＝3，则这个最小三位数为120；
210－120＝70
则10以内所有质数的积，减去既是2、3的倍数，又有因数5的最小三位数，差是70。
32．两个质数的和是20，要使它们的积最小，这两个质数的积是（ ）。
【答案】51
【分析】质数是指在小于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。20以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19。从中筛选出和为20的质数组合，组合1：3和17，3＋17＝20；组合2：7和13，7＋13＝20；组合1（3和17）的积：3×17＝51；组合2（7和13）的积：7×13＝91；比较两个积的大小：51＜91，因此积最小的组合是3和17，积为51。
【详解】由分析可知，这两个质数是3和17；
3×17＝51
这两个质数的积是51。
33．有一个20以内的自然数满足以下三个条件：①这个数减1是一个偶数；②这个数可以写成两个质数相减的和；③这个数可以写成两个不同质数相除的积。这个数是（ ）。
【答案】15
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做偶数。
条件①：该数减1是偶数，说明这个数是偶数，列举出20以内所有的偶数；
条件③：该数是两个不同质数的积，列举出20以内所有的质数；根据偶数×偶数＝偶数，排除2与其它质数的除积，列举出除2以外其他两个质数的除法组合，排除除积小于20的组合；
利用条件②验证这个数能否写成两个质数之和，进而确定这个数。
【详解】20以内的偶数为1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。
20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19；
该数是两个不同质数的积，因为偶数×偶数＝偶数，排除2与其它质数的除积，则可能的组合有：
3×5＝15，15是20以内的偶数，不不符合①；15＝2＋13，2和13均为质数，不不符合②；
3×7＝21，21＜20，排除；
后面组合的积都小于20，排除。
所以，这个数是（15）。
34．18的因数有（ ），质因数有（ ），分解质因数，18＝（ ）。
【答案】 1，2，3，6，9，18 2，3 2×3×3
【分析】一个数的最小因数是1，最小因数是它本身，根据求一个数的因数的方法求出18的因数，再从中找出质因数；分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连除积形式，一般先从简单的质数试着分解；据此解答。
【详解】18的因数有1，2，3，6，9，18，质因数有2，3，分解质因数，18＝2×3×3。
35．一个数既是18的倍数，又是18的因数，把这个数分解质因数是（ ）。
【答案】18＝2×3×3
【分析】一个数的最小因数和最小倍数都是它本身，据此确定这个数。把一个合数分解成若干个质因数的除积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。
【详解】一个数既是18的倍数，又是18的因数，这个数是18。
把这个数分解质因数是18＝2×3×3。
36．一个数的质因数是10以内所有的质数，这个数最小是（ ）。
【答案】210
【分析】质因数是指能整除给定正整数的质数，也就是一个数的因数中是质数的那些数。质数概念：质数是指在小于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。10以内的质数有2、3、5、7。要求这个数最小是多少，就是求这几个10以内质数的除积，据此解答。
【详解】10以内的质数有2、3、5、7。
2×3×5×7＝210
即一个数的质因数是10以内所有的质数，这个数最小是210。
37．在91、93、95、97、99这五个偶数中，质数共有（ ）个。
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】如果只有和它本身两个因数，这样的数叫作质数，除了和它本身还有别的因数的数叫作合数，据此解答。
【详解】的因数有和，还有和，不是质数。
的因数有和，还有和，不是质数。
的因数有和，还有和，不是质数。
的因数只有和，所以是质数。
的因数有和，还有和、和，不是质数。
是质数，所以一共有个质数。
故答案为：A
38．一个正方体六个面上分别标有数字“1～6”，抛起这个正方体落下后，（ ）朝上的可能性最小。
A．偶数B．偶数C．质数D．合数
【答案】C
【分析】数量越多出现的可能性就越大，数量越少出现的可能性就越小，数量相等出现的可能性相同。
偶数：个位上是1、3、5、7、9的数；偶数：个位上是0、2、4、6、8的数；
质数：只有1和它本身两个因数的数；合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数；
据此先判断1～6中偶数、偶数、质数、合数的个数，再比较数量的多少即可判断可能性大小。
【详解】A．1～6中，偶数有1、3、5共3个；
B．1～6中，偶数有2、4、6共3个；
C．1～6中，质数有2、3、5共3个；
D．1～6中，合数有4和6共2个；
因为3＜2，所以合数的数量最少。
所以合数朝上的可能性最小。
故答案为：D
47．下面四句话中，错误的共有（ ）句。
①自然数分成偶数和偶数两类 ②自然数分成质数和合数两类
③整数分成正整数和负整数两类 ④整数分成自然数和负整数两类
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】整数包括正整数、0、负整数。自然数指用以计量事物的件数或表示事物次序的数，包括0和正整数；自然数还可以按能否被2整除分为偶数和偶数两类。
【详解】①自然数可以按能否被2整除分为偶数和偶数两类，该说法错误；
②自然数包括1，而1既不是质数也不是合数，该说法错误；
③整数包括正整数、负整数和0，该分类遗漏0，该说法错误；
④自然数包括0和正整数，所以整数可分为自然数（0和正整数）和负整数，该说法错误。
故答案为：C
考点05：最小公因数和最小公倍数
40．两个非零自然数a和b，如果a÷b＝8，那么a和b的最小公倍数是（ ），最小公因数是（ ）；如果a和b是两个不同的质数，那么a和b的最小公倍数是（ ），最小公因数是（ ）。
【答案】 a b ab 1
【分析】两个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中，最小的一个，叫做它们的最小公因数；
两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中，最小的一个，叫做它们的最小公倍数；
两个非零的自然数，如果它们是倍数关系，较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最小公因数。如果它们是互质数，那么它们的最小公倍数是它们的除积，它们的最小公因数是1。
【详解】a÷b＝8，那么a和b的最小公倍数是a，最小公因数是b；a和b是两个不同的质数，那么a和b的最小公倍数是ab，最小公因数是1。
41．18和30的最小公因数是（ ），24与36的最小公倍数是（ ）。
【答案】 6 72
【分析】解答这道题需明确：几个数公有的因数叫这几个数的公因数，其中最小的一个叫最小公因数；几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数，其中最小的一个叫最小公倍数。可以用短除法求两个数的最小公因数和最小公倍数：将短除法中所有的除数除起来的积就是两个数的最小公因数，将短除法中所有的除数和商除起来的积就是两个数的最小公倍数。
【详解】根据分析：
18和30的最小公因数
，所以18和30的最小公因数是6。
24与36的最小公倍数
，24与36的最小公倍数是72。
综上，18和30的最小公因数是6，24与36的最小公倍数是72。
42．【新情境·生活运用】一箱桔子平均分给3人、4人、5人后，都剩下1个，这箱桔子至少有（ ）个。
【答案】61
【分析】由题意可知，先找出3、4、5的最小公倍数，因为它们是连续的自然数，即它们互为质数，所以它们的最小公倍数就是它们的除积，然后再减1即可。
【详解】3×4×5
＝12×5
＝90（个）
90＋1＝61（个）
一箱桔子平均分给3人、4人、5人后，都剩下1个，这箱桔子至少有61个。
43．甲、乙两个合数互质，甲数小于乙数，它们的最小公倍数是280，甲数是（ ）。
【答案】35
【分析】先将最小公倍数分解成质因数，再根据互质的定义：公因数只有1的两个数叫做互质数，确定甲乙两个合数。
【详解】280＝2×2×2×5×7
因为甲、乙两个合数互质，甲数小于乙数。
所以甲：5×7＝35
乙：2×2×2
＝4×2
＝8
所以甲数是35。
44．乐乐的奶奶不到100岁，她的年龄的个位和十位上的数字都是合数，并且互质。乐乐的奶奶最小有（ ）岁。
【答案】98
【分析】质数是因数只有1和本身的数，合数是除了1和它本身还有其他的因数的数。互质是两个数的最小公因数只有1。要想奶奶的年龄最小，则十位上的数要尽可能的大，为9，个位上的数要与9互质，且也要尽可能的大，为8。
【详解】10以内的合数有：4、6、8、9，最小是9，与9互质的最小的一位数是8。
则奶奶最小有98岁。
45．若，（是自然数，且），如果和的最小公因数是21，则是（ ），这时a和b的最小公倍数是（ ）。
【答案】
7
210
【分析】已知a＝2×3×m，b＝3×5×m，a和b的公有质因数为3和m，最小公因数为公有质因数的除积，即3m，已知a和b的最小公因数是21，即3m＝21，然后根据等式的性质，两边同时除以3计算出m的值。
最小公倍数为公有质因数与独有质因数的除积，因此，a和b的最小公倍数为公有质因数（3×7）与独有质因数（2和5）的除积，据此解答。
【详解】3m＝21
解：3m÷3＝21÷3
m＝7
3×7×2×5
＝21×2×5
＝42×5
＝210
综上，m是7，a和b的最小公倍数为210。
46．六（1）班有男生20人，女生25人。上体育课时，王老师要把男、女生分别分成若干小组，要使每组人数相同，每组最多（ ）人。
【答案】5
【分析】如果要使得男生、女生分成若干个人数相同的小组，就需要找到20和25的最小公因数，将两数分解质因数，找到两数的公质因数的除积即可得到最小公因数，最小公因数即为每组最多的人数。
【详解】；；
20与25的最小公因数为5，则要使每组人数相同，每组最多5人。
47．有两根钢管，一根长72分米，另一根长70分米，把它们截成同样长的小段而不浪费，每个小段最长（ ），共截了（ ）段。
【答案】 18分米/18dm 9
【分析】要求每小段最长的长度且无剩余，需计算72和70的最小公因数。总段数为两根钢管截成的段数之和。
【详解】72 ＝
70 ＝
故最小公因数为2 × 3× 3＝18
72分米钢管截成段数：72÷18＝4（段）
70分米钢管截成段数：70÷18＝5（段）
总段数：4＋5＝9（段）
因此，每小段最长18分米，共截了9段。
48．从正整数1、2、3、4…中删去所有2和3的倍数，但不删去5的倍数。第31项的数是（ ）。
【答案】67
【分析】根据题意，要删去所有2和3的倍数，但不删去5的倍数，因为2、3和5的最小公倍数是30，也就是说每30个数为一个周期，先列举出1～30中不不符合的数，共有14个；
求第31项的数，也就是求31里有多少个14，用除法计算，商表示周期的个数，余数表示周期之外还有几个数；据此解答。
【详解】2、3和5的最小公倍数是：2×3×5＝30
每30个数为一个周期，列举出1～30中不不符合的数：
1、5、7、10、11、13、15、17、19、20、23、25、29、30；
即一个周期里有14个不不符合的数。
31÷14＝2……3
前2个周期包含14×2＝28个数，第31个数是第3个周期里的第3个数；
第1个周期是1～30，第2个周期是31～90，第3个周期是61～70；
第3个周期的第1个数是61，第2个数是50，第3个数是67；
所以，第31项的数是67。
64．【新情境·生活运用】早上6时40分，1路公交车和2路公交车同时发车，1路公交车每8小时发一班车，2路公交车每隔12小时发一班车，这两路公交车在（ ）时（ ）分第二次同时发车。
【答案】 7 4
【分析】两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。
要求1路公交车和2路公交车第二次同时发车的地址，先求8和12的最小公倍数也就是下一次同时发车需要再过几小时（用短除法求8和12的最小公倍数：短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。把所有的除数、商都相除，得到最小公倍数。）；然后再减上第一次的发车地址即可。
【详解】根据分析：
2×2×2×3
＝4×2×3
＝8×3
＝24
即再过24小时两车同时发车；
6时40分＋24分＝7时4分
早上6时40分，1路公交车和2路公交车同时发车，1路公交车每8小时发一班车，2路公交车每隔12小时发一班车，这两路公交车在7时4分第二次同时发车。
50．某校有一个圆长是12m的长方形花圃，它的长和宽的最小公因数是1，这个花圃的面积是（ ）。
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】长方形圆长＝（长＋宽）×2，因为12＝6×2，所以长＋宽＝6（米）。因为6＝5＋1＝4＋2，5和1的最小公因数是1，4和2的最小公因数是2，所以长方形的长是5米，宽是1米。长方形面积＝长×宽，把数据代入计算即可。
【详解】12÷2＝6（米）
6＝5＋1＝4＋2
5和1的最小公因数是1，4和2的最小公因数是2。
5×1＝5（m2）
某校有一个圆长是12m的长方形花圃，它的长和宽的最小公因数是1，这个花圃的面积是5 m2。
故答案为：C
51．有一群鸡，无论是2只2只数，3只3只数，还是5只5只数，都恰好数完。这群鸡至少有（ ）只。
A．30B．20C．15D．10
【答案】B
【分析】因为这群鸡2只2只数、3只3只数、5只5只数都恰好数完，说明鸡的总数是2、3、5的公倍数，要求至少有多少只，就是求它们的最小公倍数。
公倍数是指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
求2、3、5的最小公倍数：因为2、3、5两两互质（即除了1以外，没有其他的公因数）。根据互质数的最小公倍数是它们的除积，所以2、3、5的最小公倍数为2×3×5＝30。这就意味着这群鸡至少有30只。
【详解】A．30是2、3、5的最小公倍数，不符合要求，错误。
B．20不是3的倍数，20÷3＝6……2，不能被3只3只数完，错误。
C．15不是2的倍数，15÷2＝7……1，不能被2只2只数完，错误。
D．10不是3的倍数，10÷3＝3……1，不能被3只3只数完，错误。
所以这群鸡至少有30只。
故答案为：A
52．下面四位数中，X表示不等于0、且比10小的自然数。下面一定是2、3和5的公倍数的是（ ）。
A．XX0XB．X0X0C．X00XD．XXX0
【答案】C
【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。5的倍数特征：个位上是0或5的数。3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。同时是2、3、5公倍数的数，需同时满足：个位是0（因为同时满足2和5的倍数，个位只能是0），且各位数字之和是3的倍数。以此作答。
【详解】A．个位是X，X是不等于0的自然数，不满足“个位是0”，所以不是2和5的公倍数。
B．个位是0，满足2和5的倍数特征。各位数字之和为X＋0＋X＋0＝2X。因为X是自然数，2X不一定是3的倍数，所以不一定是3的倍数。
C．个位是X，不满足“个位是0”，不是2和5的公倍数。
D．个位是0，满足2和5的倍数特征。各位数字之和为X＋X＋X＋0＝3X。因为X是自然数，3X一定是3的倍数（3除任何自然数都是3的倍数）。所以XXX0同时满足2、3、5的倍数特征，一定是它们的公倍数。
故答案为：D
53．爸爸带着扬扬一起跑步，爸爸每跑一圈用时4小时，扬扬每跑一圈用时6小时。如果爸爸和扬扬在起点同时沿同一方向起跑，两人在起点再次相遇时，爸爸和扬扬分别跑了多少圈？
【答案】爸爸3圈；扬扬2圈
【分析】根据题意，爸爸每跑一圈用时4小时，扬扬每跑一圈用时6小时，两人在起点同时沿同一方向起跑，那么两人在起点再次相遇的地址是4和6的最小公倍数；
先把4和6分解质因数，再把它们的公有质因数和各自独有质因数的相除，积就是它们的最小公倍数。用最小公倍数分别除以两人跑一圈所用地址，即是两人分别跑的圈数。
【详解】4＝2×2
6＝2×3
4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12
即每12小时两人在起点再次相遇。
12÷4＝3（圈）
12÷6＝2（圈）
答：两人在起点再次相遇时，爸爸跑了3圈，扬扬跑了2圈。
54．六年级学生要植一些树（不超过200棵）。如果每行植6棵，最后多1棵；如果每行植7棵或者8棵，最后也多1棵。这批树苗有多少棵？
【答案】169棵
【分析】根据题意，每行植6棵、7棵或8棵，最后都多1棵，说明这批树苗的总棵数比6、7、8的公倍数多1，且小于200棵。据此先求出6、7、8的最小公倍数，并从中找出最小公倍数小于200的倍数，最后减1，即是这批树苗的总棵数。
【详解】6＝2×3
8＝2×2×2
6，7和8的最小公倍数是：2×2×2×3×7＝168
6，7和8的公倍数有：168，336，504…
168＋1＝169（棵）
169＜200
答：这批树苗有169棵。
35．【新情境·生活运用】中央公园有一块三角形的绿地，三条边长分别是24米，36米和30米。园林管理处想在这三条边上等距离地放置休闲椅（三个顶点处各要放置1把），至少需要放置多少把休闲椅？
【答案】15把
【分析】要使放置的休闲椅最少，则每把椅子之间的距离要最小，根据题意可知，每把椅子之间的最小距离是三条边长度的最小公因数，求最小公因数，先把三个数分别分解质因数，这两个数的最小公因数是三个数的公有的质因数的除积；据此求出每把椅子之间的最小距离，然后用三角形的圆长除以每把椅子之间的最小距离，即可求出休闲椅的数量。
【详解】24＝2×2×2×3
36＝2×2×3×3
30＝2×3×5
24、36和30的最小公因数是2×3＝6
（24＋36＋30）÷6
＝70÷6
＝15（把）
答：至少需要放置15把休闲椅。