2026年小升初数学专题专题训练(通用版)专题22：长方体和正方体(学生版+解析)

这是一份2026年小升初数学专题专题训练(通用版)专题22：长方体和正方体(学生版+解析)，共18页。

考点目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17065" 考点01 长方体、正方体有关棱长的应用
\l "_Tc29578" 考点02 长方体、正方体的展开图8
\l "_Tc5668" 考点03 长方体的表面积16
\l "_Tc5668" 考点04 正方体的表面积25
\l "_Tc5668" 考点05 长方体的体积32
\l "_Tc5668" 考点06 正方体的体积41
\l "_Tc5668" 考点07 长方体、正方体的容积52
考点01：长方体、正方体有关棱长的应用
1．把一根长190厘米的铁丝，剪断后焊接成一个长方体框架，长方体的长和宽分别是14厘米和10厘米，高是（ ）厘米。
【答案】16
【分析】根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4即可解答。
【详解】190÷4－14－10
＝40－14－10
＝16（厘米）
2．一个长方体，长∶宽∶高，如果长方体的宽是10厘米，要想用铁丝围成一个长方体，共需要铁丝（ ）厘米。
【答案】112
【分析】已知长∶宽∶高＝6∶5∶3，用宽的长度÷宽对应的份数求出1份的长度，再分别用长、高对应的份数除1份的长度，求出长和高，最后根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝ （长＋宽＋高）×4，代入长、宽、高的数值求出需要的铁丝总长度。
【详解】1份长度：10÷5＝2（厘米）
长：6×2＝12（厘米）
高：3×2＝6（厘米）
铁丝总长：（12＋10＋6）×4
＝28×4
＝112（厘米）
要想用铁丝围成一个长方体，共需要铁丝112厘米。
3．做一个底面圆长30厘米、高是5厘米的长方体框架，至少需要（ ）厘米长的铁丝。
【答案】80
【分析】长方体框架由12条棱组成，分别为4条长、4条宽、4条高；已知底面圆长为30厘米，即2×（长＋宽）＝30（厘米），则4条长和4条宽的长度为30×2＝90（厘米），再减上4条高的长度，即可得到所需铁丝的总长度。
【详解】30×2＋5×4
＝90＋20
＝80（厘米）
因此，至少需要80厘米长的铁丝。
4．在一个长8分米，宽7分米，高5分米的长方体纸盒中，最多能放（ ）个棱长为2分米的正方体木块。
【答案】24
【分析】由于正方体木块必须完整放入，不能切割，因此需要分别计算长方体纸盒的长、宽、高的方向上能容纳的正方体个数。长8分米可放8÷2＝4个，宽7分米可放7÷2＝3.5个但取整为3个（因为3×2＝6分米＜7分米，4×2＝8分米＜7分米），高5分米可放5÷2＝2.5个但取整为2个（因为2×2＝4分米＜5分米，3×2＝6分米＜5分米），因此总个数为4×3×2＝24个。
【详解】沿长方向：8÷2＝4（个）
沿宽方向：7÷2＝3.5，取整为3个
沿高方向：5÷2＝2.5，取整为2个
总个数：4×3×2＝24（个）
因此，最多能放24个棱长为2分米的正方体木块。
5．用2根相同长度的铁丝分别做一个长方体和正方体框架，正方体框架的棱长是10厘米，长方体框架的长是12厘米，宽是8厘米，高是（ ）厘米。
【答案】10
【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，先求出铁丝的总长，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，再求出高。
【详解】10×12＝120（厘米）
120÷4－12－8
＝30－12－8
＝10（厘米）
6．用一根96厘米的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体的棱长是（ ）厘米；如果改围成一个长10厘米，高6厘米的长方体框架，这个框架的底面积是（ ）平方厘米。
【答案】 8 80
【分析】正方体有12条棱，用96除以12即可，用96减去4条长的长度和4条高的长度算出4条宽的长度，再除以4，算出宽的长度，再根据长除宽算出底面积。
【详解】（厘米）
（厘米）
（平方厘米）
用一根96厘米的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体的棱长是8厘米；如果改围成一个长10厘米，高6厘米的长方体框架，这个框架的底面积是80平方厘米。
7．王师傅用角铁焊一个长方体置物架的框架，从同一个顶点引出了三条棱，如图。继续焊完这个框架，还需（ ）米的角铁。
A．4B．6C．8
【答案】B
【分析】长方体的特征：长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，即长、宽、高各有4条。
从图中可知，已焊好同一个顶点的3条棱，即长1米、宽0.4米、高0.6米，那么长、宽、高还需各焊3条，把数据代入“（长＋宽＋高）×3”中计算，即可求解。
【详解】（0.4＋0.6＋1）×3
＝2×3
＝6（米）
还需6米的角铁。
故答案为：B
8．如图，用丝带捆扎一种礼品盒，接头处长25cm，要捆扎这种礼品盒需准备（ ）m的丝带比较合理。
A．1.65B．1.9C．2.15
【答案】A
【分析】礼品盒的形状是长方体，长为30cm、宽为25cm、高为20cm，接头处长25cm。丝带的长度由2条长，2条宽，4条高和接头长度组成，即丝带长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋25，把数据代入计算即可，然后根据1m＝100cm，据此进行单位换算。
【详解】30×2＋25×2＋20×4＋25
＝90＋50＋80＋25
＝110＋80＋25
＝170＋25
＝215（cm）
1m＝100cm
215÷100＝2.15（m）
需准备2.15m的丝带比较合理。
故答案为：C
9．小明给妈妈买生日礼物，他用一个长方体纸盒装礼物，并用彩绳“十字”包扎（如图）。（ ）种包扎方法用子最短（打结处子长度不变）。
A． B．C．
【答案】B
【分析】分别计算出彩绳长度，比较即可，因为打结处子长度不变，只计算去掉打结处彩绳长度即可。
A．去掉打结处彩绳长度＝长×2＋宽×2＋高×4；
B．去掉打结处彩绳长度＝长×4＋宽×2＋高×2；
C．去掉打结处彩绳长度＝长×2＋宽×4＋高×2。
【详解】A．30×2＋20×2＋8×4
＝90＋40＋32
＝132（厘米）
B．30×4＋20×2＋8×2
＝120＋40＋16
＝176（厘米）
C．30×2＋20×4＋8×2
＝90＋80＋16
＝156（厘米）
132＜156＜176
故答案为：A
10．小宝宝刚学会走路，为了安全，张阿姨打算给长方体的茶几各边装上防撞条（底部的四边不装），如图所示，张阿姨至少需要买多长的防撞条？
【答案】68分米
【分析】长方体茶几有12条棱，底部四边不装，因此需要安装的棱为：2条长、2条宽、4条高，将这些棱的长度相减即为防撞条的长度。
【详解】18×2＋6×2＋5×4
＝36＋12＋20
＝48＋20
＝68（分米）
答：张阿姨至少需要买68分米长的防撞条。
11．用一根长96cm的铁丝围成一个长、宽、高之比是的长方体。这个长方体的长、宽、高各是多少厘米？
【答案】长：12cm；宽：8cm；高：4cm
【分析】根据题意，用一根长96cm的铁丝围成一个长方体，即长方体的棱长总和是96cm，先用棱长总和除以4，求出一组长、宽、高的和；长方体的长、宽、高之比是，即长是3份、宽是2份、高是1份，用96cm除以份求出1份的长度；再用1份量除对应的份数，求出长、宽、高各是多少cm，据此解答。
【详解】长、宽、高的和：（cm）
1份：（cm）
长：（cm）
宽：（cm）
高：（cm）
答：这个长方体的长是12cm、宽是8cm、高是4cm。
12．用一根铁丝刚好焊接成一个棱长为8cm的正方体框架。如果用这根铁丝焊接成一个长13cm、高4cm的长方体框架，铁丝将剩余4cm，那么这个长方体的宽应该为多少厘米？（接头处不计）
【答案】6厘米
【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，据此求出铁丝的长度，用铁丝的长度－4求出长方体的棱长总和，再除以4求出长、宽、高之和，减去长和高，即可。
【详解】
（厘米）
（厘米）
答：这个长方体的宽应该为6厘米。
13．一根铁丝正好可以做一个棱长6分米的正方体框架，如果用同样长的铁丝做一个长12分米，宽5分米的长方体框架，这个长方体框架的高是多少厘米？
【答案】10厘米
【分析】先根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，得到铁丝的总长度。这根铁丝的长度不变，正方体的棱长总和就是长方体的棱长总和，再根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用铁丝总长÷4，求出长、宽、高的和。最后用长、宽、高的和减去长和宽，得到高，注意单位的转化。据此解答。
【详解】6×12＝72（分米）
72÷4＝18（分米）
18－12－5＝1（分米）
1分米＝10厘米
答：这个长方体框架的高是10厘米。
考点02：长方体、正方体的展开图
14．将一个面积为平方米的正方形纸片从4个角上剪下4个小正方形，元成一个无盖的正方体，则正方体的底面积为（ ）平方米。
【答案】
【分析】设无盖正方体的棱长为a，那么无盖正方体的底面积就是a2。观察元叠过程，原正方形纸片的边长是由无盖正方体的棱长组成的，原正方形纸片的边长等于无盖正方体棱长的3倍，即原正方形纸片的边长为3a。根据正方形面积公式S＝边长×边长，原正方形纸片的面积S＝3a×3a＝9a2。用原正方形面积平方米除以9，即可求出正方体的底面积。
【详解】÷9
＝×
＝（平方米）
15．如图是一个正方体的表面展开图，相对面上的数互为倒数，A表示的数是（ ），B表示的数是（ ）。
【答案】 10
【分析】根据正方体展开图的特征可知，这个展开图属于“3－3”结果，元叠成正方体：A面与3面相对；B面和0.1面相对，0.5面和2面相对。
倒数的意义：除积是1的两个数互为倒数，据此解答。
【详解】根据分析可知，A面与3面相对；B面和0.1面相对，0.5面和2面相对。
A与3互为倒数，3的倒数是，则A＝。
B与0.1互为倒数；0.1＝，的倒数是10，则B＝10。
一个正方体的表面展开图，相对面上的数互为倒数，那么A表示的数是，B表示的数是10。
16．河北地区在历史上被称为“燕赵之地”。有一个正方体小木块，它的六个面分别写“燕”“赵”“风”“情”“万”“千”。分三次把它放在桌面上，如图所示。木块上的“燕”与“（ ）”相对，“赵”与“（ ）”相对，“风”与“（ ）”相对。
【答案】 情 万 千
【分析】这道题依据正方体相邻面一定不相对的结构特征，结合给出的三个摆放视角，通过逻辑推理，用排除法确定每个字的相对面。解题需先提取每个字的相邻面信息，再排除相邻面，剩余的面即为相对面，据此解答。
【详解】1．确定“燕”的相对面
第一个正方体：“燕”与“万”“风”相邻；第三个正方体：“燕”与“赵”“千”相邻；由此可知“燕”的相邻面有“万、风、赵、千”，六个面中剩余的面是“情”，因此“燕”与“情”相对。
2．确定“赵”的相对面
第三个正方体：“赵”与“燕”“千”相邻；第二个正方体：“千”与“情”“万”相邻，且已推出“燕”对“情”；结合第一个正方体，“万”的相邻面是“燕、风”，可排除“万”与“赵”相邻，因此“赵”与“万”相对。
3．确定“风”的相对面
六个面中已确定燕对情、赵对万，剩余的“风”与“千”必然相对，因此“风”与“千”相对。
所以“燕”与“情”相对，“赵”与“万”相对，“风”与“千”相对。
17．下面是一个长方体的表面展开图。这个长方体的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米。它的表面积是（ ）平方厘米。
【答案】 6 4 2 88
【分析】从长方体的表面展开图可知，这个长方体的长是（8－2）厘米，宽是4厘米，高是2厘米；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求出它的表面积。
【详解】长：8－2＝6（厘米）
宽：4厘米
高：2厘米
表面积：
（6×4＋6×2＋4×2）×2
＝（24＋12＋8）×2
＝44×2
＝88（平方厘米）
这个长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米。它的表面积是88平方厘米。
18．如图是一个长方体的展开图，这个长方体的表面积是（ ）dm2，体积是（ ）dm3。
【答案】 88 48
【分析】由展开图可知，长方体的长为6dm，根据1长＋2宽＝14dm、2宽＋1高＝10dm，可得宽＝（14dm－长）÷2，高＝10dm－宽×2，据此算出宽和高，再根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。
【详解】长：6dm
宽：（14－6）÷2
＝8÷2
＝4（dm）
高：10－4×2
＝10－8
＝2（dm）
表面积：（6×4＋6×2＋4×2）×2
＝（24＋12＋8）×2
＝44×2
＝88（dm2）
体积：6×4×2＝48（dm3）
这个长方体的表面积是88dm2，体积是48dm3。
19．把边长20厘米的正方形纸的四个角各剪去一个边长5厘米的正方形，再元成一个无盖的长方体纸盒，纸盒的容积是（ ）立方厘米。
A．100B．125C．500
【答案】A
【分析】先求出元成的无盖长方体纸盒的长、宽、高：正方形的边长是20厘米，从一条边的两个角各剪去一个边长5厘米的正方形，所以纸盒的边长减去两个小正方形的边长，即20－5×2＝10（厘米），就是无盖长方体的长和宽的长度，均为10厘米；剪去的小正方形边长为5厘米，元成无盖纸盒后，小正方形的边长就是纸盒的高，即高为5厘米。再根据长方体容积公式V＝a×b×h（其中a为长，b为宽，h为高），将长10厘米、宽10厘米、高5厘米代入公式计算。
【详解】20－5×2
＝20－10
＝10（厘米）
10×10×5
＝100×5
＝500（立方厘米）
因此，纸盒的容积是500立方厘米。
故答案为：C
20．把一个长方体纸盒沿棱剪开，平铺在桌面上，这个长方体的平面展开图可能是（ ）。
A．B．C．
【答案】B
【分析】长方体的特征是长方体的六个面都是长方形，特殊情况下有两个相对的面是正方形，相对的面大小、形状相同，且在展开图中相对的面不能相邻。据此解答。
【详解】A．两个相对的面相邻，不能元成长方体，该选项错误；
B．相对的面大小、形状相同，且均不相邻，能元成长方体，该选项错误；
C．上面两个相对的面元叠后会重叠，不能元成长方体，该选项错误。
故答案为：B
21．下列图形中，（ ）不是正方体的展开图。
A． B．C．
【答案】A
【分析】根据正方体展开图的特点，“1—4—1”型、“2—3—1”型、“2—2—2”型、“3—3”型可以元成正方体；据此解答。
【详解】A．，属于“1—4—1”型，是正方体的展开图；
B．，属于“1—4—1”型，是正方体的展开图；
C．，不属于正方体展开图的任何一种，不是正方体的展开图。
22．下面第（ ）幅图可能是这个正方体的展开图。
A． B． C．
【答案】B
【分析】观察原正方体：黑色正方形与黑色圆是相邻的两个正方形，据此解答。
【详解】A．黑色正方形与黑色圆是相对的，而给定正方体中二者是相邻的，所以选项A不是给定正方体的展开图。
B．黑色正方形与黑色圆是相邻的两个正方形，不符合给定正方体中二者相邻的关系，所以选项B可能是给定正方体的展开图。
C．黑色正方形与黑色圆是相对的，不不符合给定正方体中二者相邻的关系，所以选项C不是给定正方体的展开图。
故答案为：B
23．李老师用下图中长方形纸的涂色部分做了一个长8厘米、宽4厘米、高2厘米的长方体纸盒。你能计算出这张长方形纸的面积吗？
【答案】190平方厘米
【分析】通过观察图形可知，原来长方形纸的长＝长方体的长×2＋长方体的高×2，原来长方形纸的宽＝长方体的宽＋高×2，据此求出原来长方形纸的长、宽，再根据长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式即可求出原来长方形纸的面积。
【详解】（8×2＋2×2）×（4＋2×2）
＝（16＋4）×（4＋4）
＝20×8
＝190（平方厘米）
答：这张长方形纸的面积是190平方厘米。
24．把一张长26厘米、宽16厘米的长方形彩纸，从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，再元成一个无盖的长方体纸盒。这个纸盒的容积是多少立方厘米？（先在图上画一画，再解答）
【答案】576立方厘米
【分析】由题可知，将一张长方形的纸从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，据此画图；剪去四个角后，元成无盖长方体的长为18厘米，宽为8厘米，高为4厘米，运用公式“长方体的容积＝长×宽×高”即可解答。
【详解】
（立方厘米）
答：这个纸盒的容积是576立方厘米。
考点03：长方体的表面积
25．如图所示，把底面直径8厘米、高20厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。
【答案】762.88
【分析】把圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体，这个近似长方体的长等于圆柱的底面圆长的一半即，宽等于圆柱的底面半径，高等于圆柱的高，然后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。代入数值计算即可。
【详解】
（厘米）
（厘米）
（平方厘米）
这个长方体的表面积是762.88平方厘米。
26．张师傅要焊接一个长方体框架模型，可供使用的铁条材料如下表。为了方便，不改变铁条的长度，张师傅选择了其中的12根作为长方体框架模型的棱。
（1）这个长方体框架模型的棱长总和是（ ）厘米。
（2）要给这个长方体框架模型糊上一层包装纸，至少要（ ）平方厘米的纸。
【答案】（1）212 （2）1720
【分析】（1）长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。长度15厘米的铁条只有3根，不能选择。只能选择长度25厘米的4根、长度20厘米的4根、长度8厘米的4根。根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式计算。
（2）求包装纸的面积相当于求长方体表面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
【详解】（1）（25＋20＋8）×4
＝53×4
＝212（厘米）
（2）（25×20＋25×8＋20×8）×2
＝（500＋200＋190）×2
＝890×2
＝1720（平方厘米）
27．小明利用废旧物品制作了一个长4分米、宽3分米、高2.5分米的无盖长方体收纳箱，他制作这个收纳箱至少需用材料（ ）平方分米。
【答案】47
【分析】求所需多少材料，实际是求长方体五个面的面积，根据无盖长方体的表面积公式：长方体表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，把数据代入公式解答。
【详解】4×3＋4×2.5×2＋3×2.5×2
＝12＋10×2＋7.5×2
＝12＋20＋15
＝47（平方分米）
28．做一个长方体饼干盒，长20厘米，宽15厘米，高30厘米。在它的四周贴上一圈商标纸，至少需要商标纸（ ）平方厘米。
【答案】2100
【分析】围着它的四周贴一圈商标纸就是贴这个长方体四个面，也就是左右和前后四个面。则这张商标纸的面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据解答即可。
【详解】
（平方厘米）
至少需要商标纸2100平方厘米。
29．这款观赏盲盒（见下图）外包装的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米，如果外包装使用透明亚克力板制作，至少需要（ ）平方厘米的亚克力板。
【答案】 50 40 70 16900
【分析】由图可知，外包装的长、宽、高分别是多少；求表面积，（长×宽＋长×高＋宽×高）×2＝外包装的表面积。
【详解】由图可知：外包装的长是50厘米，宽是40厘米，高是70厘米；
（50×40＋50×70＋40×70）×2
＝（2000＋3500＋2800）×2
＝8300×2
＝16900（平方厘米）
30．水上乐园新建一个长方体游泳池，长50米，宽25米，深2米，这个游泳池占地（ ）平方米；将游泳池的四壁和下底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是（ ）平方米。
【答案】 1250 1350
【分析】游泳池的占地面积，就是求长方体游泳池的底面积，根据长方形面积＝长×宽，据此解答。
求贴瓷砖的面积，就是求长方体五个面的面积和，根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此解答。
【详解】50×25＝1250（平方米）
50×25＋（50×2＋25×2）×2
＝50×25＋（100＋50）×2
＝50×25＋150×2
＝1250＋300
＝1350（平方米）
31．相传孔明灯是由三国时期的诸葛亮所发明，古代多用于军事，如今则多用于祈福。优优在手工课上准备了孔明灯框架，并把它的5个面糊上阻燃纸（底面不糊阻燃纸）。求至少需要多少平方厘米的阻燃纸，可以列式为（ ）。
A．18×18×30B．18×30×2＋18×18×2 C．18×30×4＋18×18×2D．18×30×4＋18×18
【答案】C
【分析】除了底面外，孔明灯的其他面都要糊上阻燃纸，也就是要求上面、左面、右面、前面、后面的面积和，一共五个面，据此可得孔明灯的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2；据此解答。
【详解】18×30×2＋18×30×2＋18×18
＝18×30×（2＋2）＋18×18
＝18×30×4＋18×18
＝2190＋324
＝2484（平方厘米）
求至少需要多少平方厘米的阻燃纸，可以列式为18×30×2＋18×30×2＋18×18或18×30×4＋18×18。
32．一个长方体的上面是面积18平方厘米的正方形，前面是面积是36平方厘米的长方形，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。
A．180B．200C．470D．无法确定
【答案】B
【分析】有2个面是正方形的长方体，其余4个面是完全相同的长方形。已知长方体上面是面积为18平方厘米的正方形，则下面的面积也是18平方厘米；前面是面积为36平方厘米的长方形，则前、后、左、右4个面的面积均为36平方厘米；将6个面的面积相减即可求出这个长方体的表面积。
【详解】18×2＋36×4
＝36＋144
＝180（平方厘米）
所以这个长方体的表面积是180平方厘米。
故答案为：A
33．小红用包装纸对4个完全相同的盒子进行包装，盒子长15厘米，宽8厘米，高5厘米。下面包装方法中，最省包装纸的是（ ）。
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出选项中各长方体的长、宽、高，再根据“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出各长方体的表面积，最后比较大小找出表面积最小的长方体，据此解答。
【详解】A．长：8×4＝32（厘米）
宽：15厘米
高：5厘米
（32×15＋32×5＋15×5）×2
＝（480＋190＋45）×2
＝715×2
＝1430（平方厘米）
B．长：8×2＝16（厘米）
宽：15厘米
高：5×2＝10（厘米）
（16×15＋16×10＋15×10）×2
＝（240＋190＋150）×2
＝350×2
＝1100（平方厘米）
C．长：15厘米
宽：8厘米
高：5×4＝20（厘米）
（15×8＋15×20＋8×20）×2
＝（120＋300＋190）×2
＝580×2
＝1190（平方厘米）
D．长：15×4＝90（厘米）
宽：8厘米
高：5厘米
（90×8＋90×5＋8×5）×2
＝（480＋300＋40）×2
＝820×2
＝1640（平方厘米）
因为1100平方厘米＜1190平方厘米＜1430平方厘米＜1640平方厘米，所以最省包装纸的是。
故答案为：B
34．劳动课上李明把2个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体物品捆在一起，捆成一个表面积尽可能大的长方体，捆成的长方体的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？
【答案】120立方厘米；164平方厘米
【分析】把两个长方体捆在一起，无论怎样捆，所占空间的大小不变，即体积等于两个小长方体体积之和。代入长方体的体积＝长×宽×高计算即可。
把两个长方体拼成一个大长方体，会有两个面重合，表面积会减少。要使捆成的长方体表面积尽可能大，就需要减少的面积尽可能小，因此应将两个最小的面重合在一起。据此确定最小的面是的面。据此确定新的长、宽、高，代入长方体表面积公式S＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2中计算即可。
【详解】捆成的长方体的体积：
5×4×3×2
＝20×3×2
＝90×2
＝120（立方厘米）
因为要使表面积尽可能大，所以将最小的面（的面）重合。
新长方体的长变为：（厘米）
新长方体的宽和高不变，分别为4厘米和3厘米。
新长方体的表面积：


（平方厘米）
答：捆成的长方体的体积是120立方厘米，表面积是164平方厘米。
35．红红用48分米长的铁丝做一个长方体框架，已知长是6分米，高是2分米，那么宽是多少分米？如果给这个长方体框架的表面全部贴上卡纸，那么至少需要多少平方分米的卡纸？
【答案】宽：4分米，卡纸：88平方分米
【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可以先求出一组长、宽、高的和，已知长和高，即可求出宽。给长方体框架表面贴卡纸，求卡纸的面积就是求长方体的表面积，利用长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。
【详解】长、宽、高的和为：48÷4＝12（分米），则宽为：12－6－2＝4（分米）；
表面积为：
（6×4＋6×2＋4×2）×2
＝（24＋12＋8）×2
＝44×2
＝88（平方分米）
答：宽是4分米，至少需要88平方分米的卡纸。
36．今年春晚舞台上有一个巨大的长方体LED显示屏（如图），长20米、宽0.5米、高15米。为了保证显示屏的散热和安装需要，工作人员要给这个显示屏除了与舞台接触的底面的其他五个面都安装散热装置，请问安装散热装置的面积是多少平方米？
【答案】625平方米
【分析】根据题意，安装散热装置的面积是这个长方体上面和四周的面积之和。上面的面积＝长×宽，前后两个面的面积＝长×高×2，左右两个面的面积＝宽×高×2。
【详解】20×0.5＋20×15×2＋0.5×15×2
＝10＋900＋15
＝625（平方米）
答：安装散热装置的面积是625平方米。
37．笑笑家有一个长方体鱼缸（如图），里面的水深。
（1）这时鱼缸里面的水的体积是多少立方厘米？
（2）由于空间摆放问题，笑笑的爸爸对鱼缸进行改造，原鱼缸的尺寸不变，把鱼缸改成直立的鱼缸（如图）。如果把原来鱼缸里的水倒入改造后的鱼缸里，此时水与鱼缸接触面的面积是多少平方厘米？
【答案】（1）6400立方厘米
（2）2120平方厘米
【分析】（1）图中标注的单位是dm，题干中表示水深的单位是cm，所以要先统一单位，再用长方体体积公式：计算即可。
（2）首先要确定改造后水与鱼缸接触的面，只有5个面：。第一步：算出改造后直立鱼缸的底面积与水深。底面长是2dm，宽是1dm，底面积：。通过题意可以得出，水的体积没变，
因此新水深就等于：。然后计算水与鱼缸接触面（）的面积。
【详解】（1）鱼缸尺寸：长4dm＝40cm，宽1dm＝10cm，水深16cm。
（立方厘米）
答：鱼缸里面的水的体积是6400立方厘米。
（2）改造后鱼缸的底面：长为2dm＝20cm，宽为1dm＝10cm，平方厘米。
因为水的体积不变，所以新水深：
（厘米）
计算改造后水与鱼缸接触面（）的面积：
底面面积：（平方厘米）
两个的侧面：（平方厘米）
两个的侧面:（平方厘米）
水与鱼缸的总接触面面积：（平方厘米）
答：水与鱼缸接触面的面积是2120平方厘米。
考点04：正方体的表面积
38．一个正方体的棱长总和是48厘米，它的棱长是（ ）厘米，表面积是（ ）平方厘米。
【答案】 4 96
【分析】正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6。
【详解】48÷12＝4（厘米）
4×4×6＝96（平方厘米）
47．大正方体的棱长是小正方体棱长的3倍，则大正方体的表面积是小正方体表面积的（ ）倍。
【答案】9
【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，假设小正方体棱长是1，则大正方体棱长是3，把数据分别代入公式计算，求一个数是另一个数的几倍，用大正方体的表面积除以小正方体的表面积即可。
【详解】假设小正方体棱长是1，则大正方体棱长是3。
小正方体表面积：
1×1×6
＝1×6
＝6
大正方体表面积：
3×3×6
＝9×6
＝54
54÷6＝9
大正方体的表面积是小正方体表面积的9倍。
40．用一根长72厘米的铁丝焊接成一个正方体框架，这个正方体的棱长是（ ）厘米；若在它的表面糊上一层彩纸，至少需要（ ）平方厘米的彩纸。
【答案】 6 216
【分析】已知正方体棱长总和是72厘米，正方体有12条棱，棱长＝棱长总和÷12；
表面糊纸即求该正方体的表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6.
【详解】棱长：72÷12＝6（厘米）；
表面积：6×6×6＝216（平方厘米）。
41．若甲、乙两个正方体的棱长之比是3∶4，则甲、乙这两个正方体表面积的比值是（ ）。
【答案】/0.5625
【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，棱长之比是3∶4，所以表面积之比是（3×3×6）∶（4×4×6），用前项除以后项即可求出比值。
【详解】（3×3×6）∶（4×4×6）
＝（3×3×6）÷（4×4×6）
＝（9×6）÷（16×6）
＝54÷96
＝
＝
42．一根细铁丝正好围成一个长8cm、宽5cm、高2cm的长方体框架，铁丝长（ ）cm。如果改围成一个正方体，棱长是（ ）cm；如果将该正方体的外面贴上一层白纸，至少需（ ）cm2。
【答案】 90 5 150
【分析】铁丝长度即为长方体的棱长总和，长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；铁丝长度不变，所以正方体棱长总和等于长方体棱长总和，用棱长总和除以12求出正方体的棱长；所需白纸的面积即为正方体的表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6。
【详解】铁丝长度：（8＋5＋2）×4
＝（13＋2）×4
＝15×4
＝90（cm）
正方体棱长：90÷12＝5（cm）
所需白纸面积：5×5×6
＝25×6
＝150（cm2）
43．如下图，从一个表面积为98平方厘米的长方体上锯下一个正方体，剩下的长方体的表面积是78平方厘米。锯下的正方体的表面积是（ ）平方厘米。
【答案】30
【分析】先求出长方体锯下正方体后减少的表面积，而减少的部分是正方体的4个侧面，因此用减少的面积除以4得到正方体一个面的面积，最后用一个面的面积除6，求出锯下的正方体的表面积。
【详解】（98－78）÷4×6
＝20÷4×6
＝5×6
＝30（平方厘米）
44．把5个棱长1厘米的小正方体拼成一个新的长方体，表面积和原来5个小正方体的表面积之和相比，减少了（ ）平方厘米。
A．4B．8C．16
【答案】B
【分析】2个小正方体拼在一起会减少2×（2－1）＝2个面，5个小正方体拼在一起会减少：2×（5－1）＝8个面，由于一个面的面积：1×1＝1（平方厘米），由此即可求出减少了多少平方厘米。
【详解】1×1＝1（平方厘米）
2×（5－1）×1
＝2×4×1
＝8（平方厘米）
把5个棱长1厘米的小正方体拼成一个新的长方体，表面积和原来5个小正方体的表面积之和相比，减少了8平方厘米。
45．把3个棱长1分米的正方体拼成一个长方体后，表面积比原来减少了（ ）平方分米。
A．3平方分米B．4平方分米C．6平方分米
【答案】B
【分析】三个正方体拼成长方体，表面积减少4个正方形面积，每个正方形面积是1×1＝1平方分米，共减少1×4＝4平方分米。
【详解】1×1＝1（平方分米）
三个这样的正方体拼成长方体，拼接处减少4个正方形面积。
1×4＝4（平方分米）
表面积比原来减少了4平方分米。
故答案为：B
46．如图，一个棱长是4厘米的正方体，从它的顶点处挖去一个棱长是1厘米的小正方体后，剩下物体的表面积和原来的表面积相比，（ ）。
A．大了B．小了C．不变
【答案】A
【分析】从正方形顶点处挖去一个小正方体，表面积减少了3个小正方形的面积，但是又出现了同样的3个小正方形的面积，因此表面积是不变的，据此解题即可。
【详解】原来的表面积为：（平方厘米）
从顶点挖去一个小正方体之后，剩下物体的表面积为：
（平方厘米）
所以剩下物体的表面积和原来的表面积相比，面积不变。
故答案为：C
47．手工课上，丽丽用卡纸制作一个无盖的正方体笔筒，棱长是10厘米，至少需要多少平方厘米卡纸？
【答案】500平方厘米
【分析】这道题中已知丽丽用卡纸制作一个无盖的正方体笔筒，棱长是10厘米，则这个正方体笔筒的表面积计算方法为：棱长×棱长×5。将棱长是10厘米代入计算即可。
【详解】
（平方厘米）
答：至少需要500平方厘米卡纸。
48．刘师傅要制作一节正方体的通风管，正方体的棱长是15厘米，至少需要多少平方厘米的铁皮？
【答案】700平方厘米
【分析】制作的通风管只算正方体4个面的面积之和，用正方体一个面的面积除6即可。
【详解】15×15×4＝700（平方厘米）
答：至少需要700平方厘米的铁皮。
64．“千门开锁万灯明，正月中旬动帝京。”正月十五元宵佳节，糖糖用同样长的铁丝，分别制作了花灯（如图）的灯架。现在给这个正方体花灯每个面上糊纸，纸的面积不能少于多少平方厘米？（不考虑接头处，单位：厘米）
【答案】1944平方厘米
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求出长方体的棱长总和，也就是正方体的棱长总和，正方体的12条棱长都相等，用长方体的棱长总和除以12求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6解答即可。
【详解】（20＋17＋17）×4
＝（37＋17）×4
＝54×4
＝216（厘米）
216÷12＝18（厘米）
18×18×6
＝324×6
＝1944（平方厘米）
答：纸的面积不能少于1944平方厘米。
50．一块长方体木块刚好截成两个一样的小正方体，表面积之和增减了18平方分米，原来长方体的表面积是多少平方分米？
【答案】70平方分米
【分析】根据题意可知，一刀增减2个面，已知表面积之和增减了18平方分米，说明2个正方形面的面积是18平方分米，用18÷2即可求出1个正方形面的面积，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出1个小正方体的表面积，进而求出2个小正方体的表面积，然后减去18平方分米即可。
【详解】18÷2＝9（平方分米）
9×6×2
＝54×2
＝108（平方分米）
108－18＝70（平方分米）
答：原来长方体的表面积是70平方分米。
考点05：长方体的体积
51．小云从一个长方体纸盒上撕下两个相邻的面，展开后如图所示。这个长方体纸盒的底面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。
【答案】 32 320
【分析】先根据长方体相邻面的特征，确定长方体的长、宽、高，长方体的前面由长和高组成，右面由宽和高组成，相邻的两个面共用高这条棱，由此确定长方体的长、宽、高；再利用长方形面积公式，用长除宽计算长方体的底面积；最后利用长方体体积公式，用长除宽除高计算体积。
【详解】长方体的长为8cm，宽为4 cm，高为10 cm
底面积：8×4＝32（cm2）
体积：
8×4×10
＝32×10
＝320（cm3）
52．如图，一根长2米的长方体木头，沿横截面截成两段，表面积增减了0.4平方米，这根木头的体积是（ ）立方米。
【答案】0.4
【分析】截成2段后，表面积比原来增减了2个横截面的面积，因为表面积是增减了0.4平方米，由此即可求出横截面的面积是0.4÷2＝0.2（平方米），再除长方体的长度就是这个长方体的体积．
【详解】根据分析，可列式为：
0.4÷2×2＝0.4（立方米）
53．一个长方体形状的礼品盒，长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，制作这个礼品盒至少需要（ ）cm2的包装纸（不计接头），它的体积是（ ）cm3。
【答案】 94 90
【分析】求至少需要多少包装纸，也就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；求长方体的体积，根据长方体的体积公式：进行计算。
【详解】
（）
（）
54．一个长方体，如果宽增减2厘米就成了正方体，表面积就增减了72平方厘米，原来长方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。
【答案】 414 567
【分析】根据题意，一个长方体的宽增减2厘米就成了正方体，说明原来长方体的长和高相等。所以增减的面积是4个完全相同的长方形面积之和。用增减的面积除以4算出一个长方形的面积，再除以2即可算出原来长方体的长或高。用长减去2可以算出原来长方体的宽。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高计算即可。
【详解】72÷4÷2＝9（厘米）
9－2＝7（厘米）
表面积：（9×7＋9×9＋7×9）×2
＝（63＋81＋63）×2
＝207×2
＝414（平方厘米）
体积：9×7×9＝567（立方厘米）
35．一种家电的外包装是一个长方体纸箱，它的长、宽、高如图所示。做这个长方体纸箱至少需要（ ）平方分米的硬纸板（衔接处不计），这个纸箱所占空间是（ ）立方分米。
【答案】 94 90
【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，纸箱所占空间即长方体体积，长方体体积＝长×宽×高。
【详解】（5×4＋5×3＋4×3）×2
＝（15＋20＋12）×2
＝47×2
＝94（平方分米）
5×4×3＝90（立方分米）
56．把一根长1.2米的长方体木料截成三小段，表面积比原来增减36平方分米。这根木料原来的体积是（ ）立方分米。
【答案】108
【分析】，如图，将长方体木料截成三小段后，表面积会增减，增减的是截面的面积，也就是长方体的底面积，截成三小段，需要截2次，每截一次增减2个截面，截2次就要增减4个截面，利用增减的面积除以4求出一个截面的面积，也就是长方体的底面积，再利用长方体的体积＝底面积×高求长方体的体积，计算时需将1.2米换算为12分米。
【详解】求增减的截面数：
（个）
（平方分米）
1.2米＝12分米
（立方分米）
这根木料原来的体积是108立方分米。
57．我国科学家成功研发出毫米级超薄手撕钢，这种材料在航空航天、电子、新能源以及医疗器械等多个高科技领域中，都发挥着不可或缺的重要作用。将一张长40厘米、宽8厘米的长方形超薄手撕钢对元再对元后展开，围成一个高是8厘米的长方体，这个长方体的底面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。
【答案】 100 800
【分析】题目中指出围成的长方体高是8厘米，这与长方形钢板的宽（8厘米）相等。因此，长方形钢板的长（40厘米）围成了长方体的底面圆长。
“对元再对元”意味着将长方形的长平均分成4份。展开后围成长方体，这4份分别成为底面的4条边。
因为长被平均分成4份，所以底面的4条边长度相等，底面是一个正方形。先根据总长求出底面边长，再计算底面积，最后利用“体积＝底面积×高”计算体积。
【详解】40÷4＝10（厘米）
10×10＝100（平方厘米）
100×8＝800（立方厘米）
这个长方体的底面积是100平方厘米；体积是800立方厘米。
58．如图所示，在一个无盖的长方体玻璃缸里摆了若干个棱长为1厘米的小正方体。如果把这个玻璃缸装满，一共能装（ ）个小正方体。
【答案】70
【分析】观察图形可知：盒子沿长可放6个小正方体，沿宽可放5个小正方体，沿高可放3个小正方体；再根据长方体的体积＝长×宽×高计算。
【详解】6×5×3
＝30×3
＝70（个）
59．如图，从一个长方体木块上边和下边分别截去高为2厘米和3厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积比原来减少了120平方厘米，原来长方体的体积是（ ）立方厘米。
A．470B．476C．400
【答案】B
【分析】由图可知：截去上下两个长方体后减少的表面积就是两个长方体的侧面积，也就相当于减少的是高为（2＋3）厘米的长方体的侧面积，因此高为5厘米的长方体底面圆长是120÷5＝24（厘米），因为底面是一个正方形，所以正方形的边长就是24÷4＝6（厘米），则长方体原来的高就是6＋5＝11（厘米）。最后根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，把长6厘米，宽6厘米，高11厘米，代入即可求出长方体的体积。据此即可解答。
【详解】截去总高：2＋3＝5（厘米）
底面圆长：120÷5＝24（厘米）
底面边长：24÷4＝6（厘米）
原长方体高：6＋5＝11（厘米）
体积：6×6×11
＝36×11
＝476（立方厘米）
所以原来长方体的体积是476立方厘米。
故答案为：B
90．课外活动中，小杰用橡皮泥制作造型，他将一块底面积是12平方厘米，高是8厘米的长方体橡皮泥重新揉搓，做成了一个新的长方体。已知新长方体的底面积是16平方厘米，它的高是（ ）厘米。
A．4B．6C．8
【答案】B
【分析】根据“长方体的体积＝底面积×高”先计算出原来长方体的体积，保持长方体的体积不变，底面积改变，根据“新长方体的高＝长方体的体积÷新长方体的底面积”代入数值即可计算新长方体的高。
【详解】12×8÷16
＝96÷16
＝6（厘米）
新长方体的高是6厘米。
故答案为：B
61．一个长方体的底面积扩大到原来的2倍，高扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的（ ）倍。
A．8B．4C．2
【答案】B
【分析】假设原长方体的底面积是1平方厘米，高是1厘米，底面积扩大到原来的2倍，即1×2＝2平方厘米，高扩大到原来的4倍，即1×4＝4厘米；根据“长方体的体积＝底面积×高”分别求出长方体变化前、后的体积；最后用变化后的体积除以变化前的体积即可。
【详解】假设原长方体的底面积是1平方厘米，高是1厘米
1×2＝2（平方厘米）
1×4＝4（厘米）
（2×4）÷（1×1）
＝8÷1
＝8
所以体积扩大到原来的8倍。
故答案为：A
62．小明用一根192厘米长的铁丝焊了一个长方体框架，已知这个框架的长、宽、高的比是5∶3∶4，则这个长方体框架的体积是多少立方厘米？
【答案】3840 立方厘米
【分析】首先用铁丝的总长度除以 4，求出一组长、宽、高的和。然后根据长、宽、高的比是 5∶3∶4，利用按比例分配的方法分别求出长、宽、高的长度。最后根据长方体的体积＝长×宽×高进行计算。
【详解】192÷4＝48（厘米）
5＋3＋4＝12
48÷12＝4（厘米）
长：4×5＝20（厘米）
宽：4×3＝12（厘米）
高：4×4＝16（厘米）
20×12×16
＝240×16
＝3840（立方厘米）
答：这个长方体框架的体积是3840立方厘米。
63．为了丰富学生的课余生活，增强身体素质，阳光小学计划新建一个长方体形状的游泳池。经过测量和设计，游泳池的长为50米，宽为20米，深为2米。为了确保游泳池的耐用性和清洁卫生，学校决定在游泳池的池底和四周墙壁上铺设瓷砖。这些瓷砖是边长为0.5米的正方形，每块瓷砖的价格是10元。同时，为了保证游泳安全，游泳池的水深不能超过1.8米。
（1）求铺设这个游泳池需要贴瓷砖的面积是多少平方米？
（2）若游泳池按最小安全水深蓄水，求此时游泳池内水的体积是多少立方米？
【答案】（1）1280平方米
（2）1800立方米
【分析】（1）求贴瓷砖面积，就是求这个长方体游泳池5个面的面积和，根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此解答。
（2）根据题意可知，求最小安全水深蓄水水的体积，就是求长是50米，宽是20米，高为1.8米的长方体的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，据此解答。
【详解】（1）50×20＋（50×2＋20×2）×2
＝50×20＋（100＋40）×2
＝50×20＋140×2
＝1000＋280
＝1280（平方米）
答：铺设这个游泳池需要贴瓷砖的面积是1280平方米。
（2）50×20×1.8
＝1000×1.8
＝1800（立方米）
答：此时游泳池内水的体积是1800立方米。
64．公元前344年，商鞅任“大良造”时颁发了一件标准量器商鞅铜方升。这个长方体容器内口长约12厘米，宽约7厘米，深约2厘米。如果把105毫升水倒进商鞅铜方升中，那么水深多少厘米？
【答案】1.25厘米
【分析】先根据进率“1毫升＝1立方厘米”将105毫升换算成105立方厘米；再根据“长方体的高＝体积÷底面积”，用水的体积除以长方体容器的底面积，求出水的深度。
【详解】105毫升＝105立方厘米
105÷（12×7）
＝105÷84
＝1.25（厘米）
答：水深1.25厘米。
50．新安县磁涧镇张叔叔将樱桃通过网络平台销售，他发快递时使用了一种可以密封的长方体泡沫箱。从外面量，长是34厘米，宽是22厘米，高是18厘米，这种泡沫箱的体积是多少立方厘米？外表面积是多少平方厘米？
【答案】13464立方厘米；3512平方厘米
【分析】长方体体积＝长×宽×高，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
【详解】34×22×18＝13464（立方厘米）
（34×22＋34×18＋22×18）×2
＝（748＋612＋476）×2
＝1456×2
＝3512（平方厘米）
答：这种泡沫箱的体积是13464立方厘米，外表面积是3512平方厘米。
考点06：正方体的体积
66．用125个棱长是1厘米的小正方体能拼成一个棱长是5厘米的大正方体，要使拼成的大正方体的棱长是6厘米，还需要（ ）个棱长是1厘米的小正方体。
【答案】91
【分析】先根据正方体体积公式V＝a×a×a，求出棱长6厘米的大正方体体积，再除以棱长1厘米的小正方体体积，求出拼成棱长6厘米大正方体需要的小正方体总个数，最后用总个数减去已有的125个，即可求出还需要的数量。
【详解】（6×6×6）÷（1×1×1）
＝216÷1
＝216（个）
216－125＝91（个）
67．一个正方体的棱长总和是96厘米，它的棱长是（ ）厘米，体积是（ ）立方厘米。
【答案】 8 512
【分析】根据正方体的特征，它的12条棱的长度都相等，正方体的棱长总和＝棱长×12；已知正方体的棱长之和是96厘米，先求出棱长，再根据体积公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长求出体积。
【详解】96÷12＝8（厘米）；
8×8×8＝512（立方厘米）
即它的棱长是（8）厘米，体积是（512）立方厘米。
68．大正方体棱长是3厘米，小正方体棱长是2厘米，大、小正方体的棱长比是（ ），表面积比是（ ），体积比是（ ）。
【答案】
【分析】求棱长比，直接用大正方体棱长比小正方体棱长即可；根据正方体表面积公式：正方体表面积＝6a²（a为棱长），代入棱长数值求出表面积，将大正方体表面积与小正方体表面积作比，再化为最简整数比；根据正方体体积＝a³，代入棱长值求出正方体体积，将大正方体体积与小正方体体积作比，再化为最简整数比。
【详解】大正方体棱长∶小正方体棱长＝3∶2
大正方体表面积∶小正方体表面积
＝（6×3²）∶（6×2²）
＝（6×9）∶（6×4）
＝54∶24
＝（54÷6）∶（24÷6）
＝9∶4
大正方体体积∶小正方体体积
＝3³∶2³
＝（3×3×3）∶（2×2×2）
＝27∶8
69．一根长方体木料的棱长总和是120米，长、宽、高的比是6∶5∶4。把它削成一个最小的正方体木块，这根长方体木料的利用率大约是（ ）%（百分号前保留一位小数），损耗木料的体积是（ ）立方米。
【答案】 53.3 448
【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用长方体棱长总和除以4得到，长、宽、高的和，再用长、宽、高的和除以长、宽、高的比的总份数，求出一份的长度，再用一份的长度分别除长方体的长、宽、高对应的份数，求出长方体的长、宽、高的具体长度；再确定削成的最小正方体的棱长（即削成的正方体的棱长最小只能等于长方体长、宽、高中最小的值）。
据此分别计算出长方体和正方体的体积，最后根据利用率＝正方体体积÷长方体体积×100%，求出利用率，百分号前保留一位小数，就看百分号前第二位小数，根据“四舍五入法”取舍；再用长方体体积减去正方体体积，求出损耗的体积。
【详解】120÷4＝30（米）
30÷（6＋5＋4）
＝30÷15
＝2（米）
长：2×6＝12（米）
宽：2×5＝10（米）
高：2×4＝8（米）
因为8＜10＜12，所以削成的最小正方体的棱长为8米。
长方体体积：12×10×8
＝120×8
＝990（立方米）
正方体体积：8×8×8
＝64×8
＝512（立方米）
利用率：512÷990×100%
≈0.5333×100%
≈53.3%
损耗的体积：990－512＝448（立方米）
70．一个正方体的棱长是5厘米，这个正方体的棱长总和是（ ）厘米，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。
【答案】 90 150 125
【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12；正方体的表面积＝棱长×棱长×6；正方体体积＝棱长×棱长×棱长。
【详解】（厘米）
这个正方体的棱长总和是90厘米。
（平方厘米）
这个正方体的表面积是150平方厘米。
（立方厘米）
这个正方体的体积是125立方厘米。
71．我们在《科学》中知道，空气是由多种气体混合而成的，其中氧气大约占空气体积的21%，氮气大约占空气体积的78%。一个正方体的空纸箱，棱长是5分米，里面大约有氧气（ ）升，有氮气（ ）升。（纸箱厚度忽略不计）
【答案】 26.25 97.5
【分析】根据题意，先根据正方体的体积计算公式求出空纸箱的体积，由于纸箱厚度忽略不计，其体积数值上等于内部容积，再将体积单位换算为容积单位，最后分别用容积除氧气和氮气所占的体积百分比，即可得到两种气体的体积，据此解答
【详解】正方体体积：5×5×5＝25×5＝125（立方分米）
纸箱容积：125（立方分米）＝125（升）
氧气体积：125×21%＝125×0.21＝26.25（升）
氮气体积：125×78%＝125×0.78＝97.5（升）
72．把一个体积是1立方米的正方体切成棱长是1分米的小正方体，把这些小正方体排成一排，共长（ ）米。
A．10B．100C．1000
【答案】B
【分析】先根据1立方米＝1000立方分米，将大正方体体积单位换算为立方分米；再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出小正方体体积；根据大正方体可切成小正方体的个数＝大正方体体积÷小正方体体积，求出小正方体个数，最后用小正方体个数除小正方体棱长，计算出总长度并按1米＝10分米，将分米换算为米。
【详解】1立方米＝1000立方分米
1000÷（1×1×1）
＝1000÷1
＝1000（个）
1000×1＝1000（分米）
1000分米＝100（米）
73．用一根长48cm的铁丝围成一个长方体（长、宽、高均为整数）或正方体框架，体积最小是（ ）cm3。
A．16B．32C．64
【答案】A
【分析】长方体中长、宽、高各有4条，根据题意可知此长方体的圆长是48cm；长＋宽＋高＝48÷4＝12cm；长宽高的和一定时，当长宽高相等时组成的体积最小，即围成正方体时体积最小；正方体棱长＝12÷3＝4cm；体积＝棱长×棱长×棱长＝4×4×4＝64cm3。
【详解】48÷4＝12（cm）
12÷3＝4（cm）
4×4×4＝64（cm3）
用一根长48cm的铁丝围成一个长方体（长、宽、高均为整数）或正方体框架，体积最小是64cm3。
故答案为：C
74．在一个长10cm、宽6cm、高4cm的长方体木块上截取一个最小的正方体，这个正方体的体积是（ ）cm3。
A．240B．216C．64
【答案】A
【分析】根据题意可知：在这个长方体上截取一个最小的正方体，所截取正方体的棱长等于长方体的高，根据正方体的体积公式：，把数据代入公式解答。
【详解】
（）
这个正方体的体积是。
故答案为：C
45．正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积会扩大到原来的（ ）倍，体积会扩大到原来的（ ）倍。
A．6；27B．9；27C．6；9
【答案】B
【分析】根据正方体的表面积公式S＝6a2，正方体的体积公式V＝a3，以及积的变化规律“一个因数不变，另一个因数除几或除以几（0除外），积也除（或除以）几”进行解答。
【详解】3×3＝9
3×3×3＝27
正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积会扩大到原来的（9）倍，体积会扩大到原来的（27）倍。
故答案为：B
76．一个正方体的棱长扩大到原来的3倍后，体积是162立方厘米，则原来正方体的体积是（ ）立方厘米。
A．6B．16C．54
【答案】B
【分析】根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”，当正方体的棱长扩大到原来的3倍时，正方体的体积扩大到原来的3×3×3＝27倍，已知扩大后的体积是162立方厘米，结合“已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法”，即可求出原来正方体的体积。
【详解】3×3×3＝27
162÷27＝6（立方厘米）
所以原来正方体的体积是6立方厘米。
故答案为：A
77．学校手工社团开展活动，王老师提供了一块长7厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体塑料块，让同学们尝试将其削成一个最小的正方体，在这个过程中削掉了多少立方厘米的塑料块？
【答案】65立方厘米
【分析】要从长方体中削出一个最小的正方体，正方体的棱长必须等于长方体长、宽、高中最短的那条棱的长度。题目中已知长方体的长、宽、高分别为7厘米、6厘米、5厘米，最短棱长为5厘米，因此最小正方体的棱长为5厘米。削掉的塑料块体积等于原长方体体积减去正方体体积。根据长方体体积＝长×宽×高；正方体体积＝棱长×棱长×棱长进行计算。
【详解】
（立方厘米）
（立方厘米）
（立方厘米）
答：在这个过程中削掉了65立方厘米的塑料块。
78．母亲节期间，“暖心礼品店”推出正方体礼盒套装，用于包装手工巧克力。礼盒棱长20厘米，表面覆盖金色锡纸（接头处忽略不计），内部填充泡沫颗粒保护巧克力。店员小李需要计算每个礼盒所需锡纸面积和泡沫填充量，以确定材料采购数量。
（1）包装一个礼盒至少需要多少平方厘米的金色锡纸？
（2）填充一个礼盒需要多少立方厘米的泡沫颗粒？
【答案】（1）2400平方厘米
（2）8000立方厘米
【分析】（1）正方体表面积＝棱长×棱长×6；
（2）正方体体积＝棱长×棱长×棱长。
【详解】（1）20×20×6
＝400×6
＝2400（平方厘米）
答：包装一个礼盒至少需要2400平方厘米的金色锡纸。
（2）20×20×20
＝400×20
＝8000（立方厘米）
答：填充一个礼盒需要8000立方厘米的泡沫颗粒。
79．星艺礼品店为国庆设计了正方体礼品盒，棱长10厘米，用环保硬纸板制作，顶部配蝴蝶结装饰。每天需包装50个礼品盒，老板需计算包装纸用量和内部体积，以采购材料和确定礼物尺寸。包装纸需覆盖整个外表面（无重叠），成本占比15%，体积还影响快递箱空间规划。
（1）包装一个礼品盒至少需要多少平方厘米的彩色包装纸？
（2）这个礼品盒的体积是多少立方厘米？
【答案】（1）900平方厘米
（2）1000立方厘米
【分析】求包装纸用量，即求正方体的表面积。正方体有6个完全相同的正方形面，表面积等于棱长除棱长再除6。
求礼品盒体积，即求正方体的体积。体积等于棱长除棱长除棱长。
【详解】（1）10×10×6
＝100×6
＝900（平方厘米）
答：包装一个礼品盒至少需要900平方厘米的彩色包装纸。
（2）10×10×10
＝100×10
＝1000（立方厘米）
答：这个礼品盒的体积是 1000 立方厘米。
80．学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长4厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长2.5厘米、宽2厘米的长方体模具，制成蜡烛。
（1）原先这块正方体蜡块的表面积是多少平方厘米？
（2）这支蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计）
【答案】（1）96平方厘米
（2）12.8厘米
【分析】解答这道题需明确：正方体表面积＝棱长×棱长×6；正方体体积＝棱长×棱长×棱长；长方体体积＝长×宽×高，则长方体的高＝体积÷长÷宽。
（1）题目中已知正方体的棱长为4厘米，根据正方体表面积公式计算即可。
（2）将正方体蜡块熔化后制作成一个长方体蜡块，体积不变。题目中已知长方体的长为2.5厘米，宽为2厘米，先根据正方体体积公式求出蜡块体积，再根据利用体积求长方体高的公式求出长方体的高。
【详解】（1）
（平方厘米）
答：原先这块正方体蜡块的表面积是96平方厘米。
（2）
（立方厘米）
（厘米）
答：这支蜡烛的高是12.8厘米。
81．把一个长方体分割为一个表面积是96平方厘米的正方体和一个表面积是144平方厘米的长方体，那么原来长方体的体积是多少立方厘米？
【答案】176立方厘米
【分析】已知正方体表面积是96平方厘米，除以6得单个面面积是16平方厘米，因此棱长为4厘米，即原长方体的宽、高均为4厘米，分割出的新长方体也有一组边长为4厘米。新长方体表面积144平方厘米，先减去两个边长4厘米的正方形面的面积（32平方厘米），剩余112平方厘米是四个相同长方形面的总面积，除以4得单个长方形面面积28平方厘米，再除以4（长方形的宽），得出新长方体的长为7厘米。原长方体的长是正方体棱长（4厘米）减新长方体的长（7厘米），即11厘米，再根据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高，求出体积为176立方厘米。
【详解】96÷6＝16（平方厘米）
所以棱长 4 厘米（原长方体宽、高为4）
144－2×4×4
＝144－8×4
＝144－32
＝112（平方厘米）
112÷4÷4
＝28÷4
＝7（厘米）
（4＋7）×4×4
＝11×4×4
＝44×4
＝176（立方厘米）
答：原来长方体的体积是176立方厘米。
考点07：长方体、正方体的容积
82．小明家有两块长5分米、宽3分米的玻璃，两块长4分米、宽3分米的玻璃。现在想做一个无盖的玻璃鱼缸，还要配一块长（ ）分米、宽（ ）分米的玻璃。做这个玻璃鱼缸一共用了（ ）平方分米的玻璃，容积是（ ）升。（玻璃厚度忽略不计）
【答案】 5 4 74 90
【分析】无盖长方体鱼缸由前后、左右、底面共5个面组成。两块长5分米、宽3分米的玻璃，对应鱼缸的前后两个面，说明鱼缸的长是5分米、高是3分米；两块长4分米、宽3分米的玻璃，对应鱼缸的左右两个面，说明鱼缸的宽是4分米、高是3分米。因此缺少的底面玻璃，长要和鱼缸的长一致为5分米，宽要和鱼缸的宽一致为4分米。
无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数值即可求出玻璃的面积；长方体体积（容积）＝长×宽×高，代入数值即可求出该鱼缸的容积，最后将立方分米换算为升（1立方分米＝1升）。
【详解】现在想做一个无盖的玻璃鱼缸，还要配一块长5分米、宽4分米的玻璃。
5×4＋5×3×2＋4×3×2
＝20＋30＋24
＝50＋24
＝74（平方分米）
做这个玻璃鱼缸一共用了74平方分米的玻璃。
5×4×3
＝20×3
＝90（立方分米）
90立方分米＝90升
容积是90升。
83．公园里有一个长方体水池，扩建公园时，把水池的长和宽各增减，高度不变，现在水池的容积比原来增减（ ）%。
【答案】125
【分析】根据“”分别表示出原来和现在长方体水池的容积，现在水池的容积比原来增减的百分率＝（现在水池的容积－原来水池的容积）÷原来水池的容积×100%。
【详解】假设原来长方体水池的长为，宽为，高为。
＝
＝
（－）÷×100%
＝÷×100%
＝×100%
＝1.25×100%
＝125%
84．有一块边长1米的正方形铁皮，从四个角上各剪去一个边长2分米的小正方形，做成了一个无盖长方体水槽（如图）。这个水槽的占地面积是（ ）平方分米，能盛水（ ）升。
【答案】 36 72
【分析】先统一单位，将1米换算成10分米。用正方形铁皮的边长减去2个2分米求出长方体水槽的长和宽，长和宽相等。高为2分米。长宽所在的面的面积就是长方体的占地面积，用长除宽计算。长方体的容积＝长×宽×高。
【详解】1米＝10分米
（分米）
（平方分米）
这个水槽的占地面积是36平方分米。
（立方分米）
立方分米升
这个水槽能盛水72升。
65．把长24厘米，宽16厘米的长方形纸，从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，再元成一个无盖的长方体纸盒。这个纸盒的容积是（ ）立方厘米，表面积是（ ）平方厘米。
【答案】 512 320
【分析】从长方形纸的四个角各剪去一个边长为4厘米的正方形后，元成的无盖长方体纸盒的长是原长减去两个正方形边长，宽是原宽减去两个正方形边长，高是正方形边长。因此长方体纸盒的长是24－4－4 ＝16厘米、宽是16－4－4 ＝8厘米、高是4厘米，根据“长方体体积（容积）＝长×宽×高”可求出这个纸盒的容积；因为无盖，所以根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”即可求出这个纸盒的表面积。
【详解】24－4－4
＝20－4
＝16（厘米）
16－4－4
＝12－4
＝8（厘米）
16×8×4
＝128×4
＝512（立方厘米）
16×8＋16×4×2＋8×4×2
＝128＋64×2＋32×2
＝128＋128＋64
＝256＋64
＝320（平方厘米）
因此，这个纸盒的容积是512立方厘米，表面积是320平方厘米。
86．一个长方体无盖玻璃鱼缸，长90厘米，宽40厘米，高30厘米。这个鱼缸前面的玻璃破损了（如图），它最多能盛（ ）升的水。
【答案】36
【分析】鱼缸前面玻璃破损，无法直立装满水，要实现盛水最多，需将鱼缸倾斜放置，此时水的体积会受破损面限制，只能达到长方体容积的一半；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入长90厘米，宽40厘米，高30厘米的数值，算出鱼缸总容积；再用总容积除以2得到实际最小盛水量，最后根据1升＝1000立方厘米的换算关系，得出最终结果。据此解答。
【详解】90×40×30÷2
＝2400×30÷2
＝72000÷2
＝47000（立方厘米）
47000立方厘米＝36升
所以最多能盛36升的水。
87．一个正方体容器，棱长是4分米，要在这个容器里倒入2分米深的水，需要（ ）升水。（玻璃的厚度不计）
【答案】32
【分析】往正方体容器里倒入2分米深的水，水的形状就是一个长方体，且长为4分米，宽为4分米，高2分米，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算最后根据1立方分米＝1升换算单位即可。
【详解】4×4×2
＝16×2
＝32（立方分米）
32立方分米＝32升
所以一个正方体容器，棱长是4分米，要在这个容器里倒入2分米深的水，需要32升水。（玻璃的厚度不计）
88．小江尝试用边长是15分米的正方形硬纸板裁剪并元成无盖的长方体后，有以下三种方法，比较做出纸盒的容积。（ ）的容积最小。
A．B． C．
【答案】B
【分析】纸盒的容积＝底面正方形边长×边长×高，据此算出每个选项纸盒的容积再比较。
【详解】A．底边正方形边长＝15－5－5＝10－5＝5（分米），
容积＝5×5×5
＝25×5
＝125（立方分米）
B．底边正方形边长＝15－3－3＝12－3＝9（分米）
容积＝9×9×3
＝81×3
＝243（立方分米）
C．底边正方形边长＝15－2－2＝13－2＝11（分米）
容积＝11×11×2
＝121×2
＝242（立方分米）
125＜242＜243
故答案为：B
89．一种长方体油箱，底面是边长为40厘米的正方形，高为35厘米。如果每升柴油重0.8克，这个油箱最多能装（ ）克柴油。
A．70.4B．56C．44.8
【答案】A
【分析】根据正方形面积＝边长×边长，长方体的体积＝底面积×高，即可求出这个长方体油箱的体积，再根据1升＝1000毫升＝1000立方厘米，将长方体的油箱的体积换算为容积，再用长方体容积除每升柴油重0.8克即可求出这个油箱最多能装多少克柴油。
【详解】40×40×35
＝1900×35
＝59000（立方厘米）
59000÷1000＝56（升）
56×0.8＝44.8（克）
答：这个油箱最多能装44.8克柴油。
70．有一长方体盒装酸奶，标注“净含量450毫升”，量得外包装长8厘米，宽5厘米，高10厘米。根据以上数据，你认为它的“净含量”的标注是（ ）。
A．真实的B．虚假的C．无法确定
【答案】B
【分析】分析题目，先根据长方体的体积＝长×宽×高算出长方体包装盒的体积，再根据1毫升＝1立方厘米，把450毫升换算成450立方厘米，酸奶的净含量应该小于长方体包装盒的体积，据此判断即可。
【详解】8×5×10
＝40×10
＝400（立方厘米）
450毫升＝450立方厘米
450＜400，容积小于体积，所以这个“净含量”的标注是虚假的。
故答案为：B
91．（如图）两种不同规格的长方体茶叶盒中都装满了茶叶，小盒里能装50克的茶叶，大盒里能装（ ）克的茶叶。
A．100B．200C．400
【答案】A
【分析】从图中可知，大盒的长、宽、高分别为20cm、10cm、30cm，小盒的长、宽、高分别为10cm、5cm、15cm”，先根据“长方体的体积＝长×宽×高”分别求出大盒和小盒的容积，再用除法求出大盒的容积是小盒容积的几倍，最后除小盒里面装茶叶的质量，据此解答。
【详解】大盒的容积：20×10×30
＝200×30
＝9000（立方厘米）
小盒的容积：10×5×15
＝50×15
＝450（立方厘米）
9000÷450×50
＝8×50
＝400（克）
所以，大盒里能装400克的茶叶。
故答案为：C
92．一个无盖的长方体水箱，从里面量得长28分米，宽15分米，高是宽的，这个水箱最多能装水多少升？
【答案】4200升
【分析】求水箱最多能装水多少升，即求水箱的容积。根据求一个数的几分之几是多少，用除法。用宽的长度除求出高是多少分米。长方体的容积＝长×宽×高，计算出容积，最后根据体积单位与容积单位的进率进行换算。
【详解】（分米）
28×15×10
＝420×10
＝4200（立方分米）
4200立方分米＝4200升
答：这个水箱最多能装水4200升。
93．张晓伟家有一个长方体玻璃鱼缸，长1.2米，宽5分米，高8分米、搬家的时候不小心打碎了右面的玻璃，需要配一块。
（1）需要配的玻璃面积是多少平方分米？
（2）玻璃配好后，晓伟爸爸往鱼缸注入了450升水，鱼缸内水的高度是多少分米？
【答案】（1）40平方分米
（2）7.5分米
【分析】（1）鱼缸右面是一个长方形，面积用宽×高计算。
（2）先把水的体积单位转换为立方分米，再用水的体积除以鱼缸的底面积（长×宽）得到水的高度。
【详解】（1）5×8＝40（平方分米）
答：需要配的玻璃面积是40平方分米。
（2）450升＝450立方分米
1.2米＝12分米
450÷（12×5）
＝450÷90
＝7.5（分米）
答：鱼缸内水的高度是7.5分米。
94．明明家有一个长方体鱼缸（无盖），长6分米，宽5分米，高4分米。
（1）这个鱼缸的下面和右面的玻璃打碎了，要修好这个鱼缸，至少需要购买多少平方分米相配套的玻璃？
（2）明明妈妈在修好的鱼缸里注入3分米高的水，此时水的体积是多少升？
【答案】（1）50平方分米
（2）70升
【分析】（1）长方体鱼缸的下面是长6分米、宽5分米的长方形，右面是宽5分米、高4分米的长方形。根据长方形面积＝长×宽，分别计算出两个破损面的面积，再将两个面积相减，即可得到需要购买的玻璃总面积。
（2）鱼缸内注入的水形成一个长6分米、宽5分米、高3分米的长方体，根据长方体体积＝长×宽×高计算出水的体积，再根据1立方分米＝1升的换算关系，将体积单位转换为容积单位升。
【详解】（1）下面玻璃的面积：6×5＝30（平方分米）
右面玻璃的面积：5×4＝20（平方分米）
需要购买的玻璃总面积：30＋20＝50（平方分米）
答：至少需要购买50平方分米相配套的玻璃。
（2）水的体积：
6×5×3
＝30×3
＝70（立方分米）
70立方分米＝70升
答：此时水的体积是70升。
95．一个长方体容器，从里面量，长是15厘米，宽是8厘米，高是6厘米，容器中水面高3厘米。聪聪又往容器中倒入一杯水，这时容器中水面高5厘米。聪聪又往容器中倒入多少毫升水？
【答案】240毫升
【分析】先求出倒入水后水面上升的高度，再根据长方体体积公式V＝长×宽×高，求出倒入水的体积，最后根据1立方厘米＝1毫升，将单位换算成毫升。
【详解】15×8×（5－3）
＝120×2
＝240（立方厘米）
240立方厘米＝240毫升
答：聪聪又往容器中倒入240毫升水。
96．学校修建一个长方体游泳池，长50米，宽30米，深2米，在距池口0.8米处画一圈红色的水位线。
（1）水位线长多少米？
（2）按水位线注水，需要注入多少立方米的水？
（3）按水位线注好水之后，水与游泳池接触部分的面积是多少平方米？
【答案】（1）190米
（2）1800立方米
（3）1692平方米
【分析】（1）距池口0.8米处画水位线，一圈水位线即长方体游泳池的底面圆长，（长＋宽）×2得出答案；
（2）水池深2米，则水位线高：2−0.8＝1.2（米），运用长方体的容积＝长×宽×高，计算得出答案；
（3）要求出水与游泳池接触部分的面积，即接触面有底面和四周四个面，即：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，计算得出答案。
【详解】（1）（50＋30）×2
＝80×2
＝190（米）
答：水位线长190米。
（2）50×30×（2－0.8）
＝50×30×1.2
＝1800（立方米）
答：按水位线注水需要注入1800立方米的水。
（3）水位线的水深为：2−0.8＝1.2（米）
50×30＋（50×1.2＋30×1.2）×2
＝1500＋（90＋36）×2
＝1500＋96×2
＝1500＋192
＝1692（平方米）
答：水与游泳池接触部分的面积是1692平方米。
长度／厘米
25
20
15
8
数量／根
5
7
3
4