2026年小升初数学专题(通用版)讲义专题22：长方体和正方体(讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年小升初数学专题(通用版)讲义专题22：长方体和正方体(讲义)(学生版+解析)，共18页。学案主要包含了易错点拨，典型例题，变式训练1，变式训练2，变式训练等内容，欢迎下载使用。
（7大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练）
考点01：长方体、正方体有关棱长的应用
考点02：长方体、正方体的展开图
考点03：长方体的表面积
考点04：正方体的表面积
考点05：长方体的体积
考点06：正方体的体积
考点07：长方体、正方体的容积
知识点01：长方体
1.长方体的认识
（1）面：长方体有6个面，每个面一般是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形。相对的面完全相同。
（2）棱：两个面相交的边叫做棱，长方体有12条棱，相对的棱长度相等。
（3）顶点：三条棱相交的点叫做顶点，长方体有8个顶点。
2.长方体表面积
（1）长方体6个面的总面积叫做它的表面积。
（2）计算公式为S＝（ab＋ah＋bh）×2，其中a为长，b为宽，h为高。
3.长方体的体积
（1）体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。
（2）长方体体积公式：V＝abh，其中a为长，b为宽，h为高。
【易错点拨】
（1）无盖长方体（如鱼缸、抽屉）：表面积=长×宽+2×（长×高+宽×高）（少1个底面）。
（2）通风管/烟囱（无上下底面）：表面积=2×（长×高+宽×高）（少2个相对面）。
（2）占地面积：只求底面积（长×宽），不是表面积。
（3）切割长方体：每切一刀增减2个面，拼接则减少2个面。
知识点02：正方体
1.正方体的认识
正方体是特殊的长方体，它的6个面都是正方形，6个面完全相同，12 条棱的长度都相等。
2.正方体的表面积
（1）正方体 6 个面的总面积叫做它的表面积。
（2）计算公式为S＝6a2，其中a为正方体的棱长。
3.长方体和正方体的体积
（1）正方体体积公式：V＝a3，其中a为正方体的棱长。
（2）统一公式：长方体和正方体的体积都可以用底面积除高来计算，即V＝Sh，其中S为底面积，h为高。
【易错点拨】
（1）无盖正方体：表面积= 5a2。
（2）正方体涂色问题：
3面涂色：8个顶点；
2面涂色：棱中间部分；
1面涂色：面中间部分；
0面涂色：内部。
（3）切割小正方体：大正方体体积÷小正方体体积=个数
考点01：长方体、正方体有关棱长的应用
【典型例题】木工技艺传承人李叔叔现场制作了一个方凳，方法是先制作一个木框架（如图），然后在上面固定一块木块。请你帮他算一算，一个木框架要用多长的木条？（接口处忽略不计）
【变式训练1】王老师用一根48厘米长的铁丝做一个高6厘米的长方体模型，能做成（ ）种不同的长方体。（长、宽均为整厘米数）
A．2B．3C．4
【变式训练2】杭州某小学买来一些足球模型作为运动会奖品，奖品要按如图方式包装好。捆扎每个正方体礼品盒需要76厘米的丝带，其中打结部分是16厘米，正方体礼品盒棱长总和是多少厘米？
考点02：长方体、正方体的展开图
【典型例题】“仁、义、礼、智、信、孝”是我国的传统美德，强强将他们分别写在一个正方体的六个面上，下图是正方体的展开图，和“仁”相对的字是（ ）。
A．义B．礼C．智D．信
【变式训练】如图，一个底面是正方形的长方体，侧面展开后是一个正方形。这个长方体的侧面积是（ ）平方分米。
考点03：长方体的表面积
【典型例题】在海南自由贸易港建设中，吉祥村创建“美丽乡村”，为了进行垃圾分类，要制作一些长6分米，宽5分米，高10分米的无盖垃圾桶。制作一个垃圾桶至少需要多少平方分米的铁皮？
【变式训练1】《新华字典》的长、宽、高分别是10厘米、13厘米和3厘米，老师要用纸把2本《新华字典》包起来，要求包装方法最省纸，那么需要包装纸至少（ ）平方厘米。
【变式训练2】两个完全一样的长方体拼成一个更大的长方体，原长方体的长6分米，宽4分米，高3分米，则拼成的长方体的表面积最小是（ ）平方分米。
考点04：正方体的表面积
【典型例题】“二月二日，祀土地神，吃撑腰糕。”崇明有吃撑腰糕的习俗，下图是崇明的李师傅现场做的一块正方体的撑腰糕，将其竖切1刀分成2个相同的长方体，再横切2刀分成6个相同的小长方体。切开后6个小长方体的表面积总和是多少？
【变式训练1】一个正方体的棱长总和是36厘米，它的表面积是（ ）平方厘米。
A．27B．54C．36D．64
【变式训练2】一个横截面是正方形的长方体，其表面积是250平方厘米，它刚好分成两个同样大小的正方体，这两个正方体的表面积都是（ ）平方厘米。
考点05：长方体的体积
【典型例题】一根2米长的长方体木料，沿长把它锯成3段，表面积增减了12平方分米，这根木料原来的体积是（ ）立方分米。
A．6B．40C．90D．80
【变式训练1】一种香皂的包装盒如图所示，把这种香皂装在一个长80cm、宽48cm、高30cm的纸箱里，这个纸箱里最多能放（ ）盒香皂。
A．336B．352C．368D．384
【变式训练2】把一个底面直径是4dm，高10dm的圆柱体容器装满水，倒入一个长8dm，宽5dm，高4dm的长方体容器中，水面高（ ）dm。
考点06：正方体的体积
【典型例题】泥塑艺术是我国的民间艺术。聪聪在泥塑课上，把一个棱长为4厘米的正方体彩泥捏成了一个长8厘米、宽2厘米的长方体。捏成的长方体的高是多少厘米？
【变式训练1】一个长方体木块长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。如果用它锯成一个最小的正方体，那么体积要比原来减少百分之几？
【变式训练2】一个正方体的长增减3分米，表面积就比原来增减90平方分米，那么，原来正方体的棱长是（ ）分米，体积是（ ）立方分米。
考点07：长方体、正方体的容积
【典型例题】一个长方体水箱，从里面量长6分米、宽5分米、高4分米，装满水后倒入一个棱长为6分米的正方体水箱中，水深是（ ）分米。
【变式训练1】木桶理论又称“短板理论”，是一个经典的管理学理论。盛水的木桶是由许多块木板箍成的，盛水量也是由组成木板最短的那块木板决定的。一个底面是正方形的长方体，木桶底面边长为1.7dm。它最长的一块木板的长度为2.1dm，最短的一块木板的长度为1.7dm，（木板厚度忽略不计），这个木桶最多能盛水（ ）立方分米。
【变式训练2】计算说理：张明在超市发现一盒牛奶的长方体包装盒上标注“净含量250毫升”。他从外面量，长6厘米，宽4厘米，高10厘米。请用你学过的知识解释这个标注是否合理？
一、选择题
1．如图5种形状的硬纸各有若干张，选择其中的哪几种，每种选几张，正好可以围成一个长方体？（ ）
A．①号2张，③号4张 B．①号2张，⑤号4张
C．①号2张，②号2张，③号2张 D．①号2张，③号2张，④号2张
2．下面的四个展开图经过元叠，能围成如图所示正方体的是（ ）。
A． B． C． D．
3．用铁丝焊接一个棱长4厘米的正方体框架，至少需要铁丝（ ）厘米。
A．48B．64C．96D．32
4．一个长为20分米的方木的横截面是边长为m分米的正方形，将它锯掉8分米后，方木的体积比原来减少（ ）。
A．8m立方分米 B．12m立方分米 C．8m2立方分米 D．12m2立方分米
5．一个正方体的棱长扩大3倍，表面积扩大（ ）倍。
A．3B．6C．9D．27
6．一个长方体的底面是边长为5厘米的正方形，高是4厘米，它的体积是（ ）立方厘米。
A．125B．100C．45D．50
7．用两块长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米的小长方体木块，拼成了一个大长方体，表面积最多减少（ ）平方厘米。
A．4B．6C．12D．1
8．“度量衡”是我国古代计量长度、容积、重量的标准或器具的统称，“度”用以计量长短；“量”用以测量容积大小；“衡”用以测量物体轻重。“商鞅方升”的重要物证——商鞅方升（如图），就是“度量衡”中的“量”，用来测量容积大小。它全长18.7厘米，内口长约12.5厘米，宽约7厘米，深约2.3厘米，容积便是商鞅规定的“一升”。算一算，商鞅规定的“一升”大约相当于现在的（ ）升。
A．0.2B．1.5C．0.6D．2.3
9．如图是两个无盖长方体包装盒展开图，底面都是正方形。比较它们的容积，结果是（ ）。
A．甲的容积大 B．乙的容积大 C．容积相等 D．无法比较
二、填空题
10．妙妙把下面的展开图元成了一个长方体（字母在长方体的内侧），如果A面在底部，则（ ）面在上面，与C面相对的是（ ）面。
11．如图是一个长方体盒子的3条棱（数据从里面量得），这个盒子的容积是（ ）mL。根据相关数据和生活经验，我觉得它可能是一个装（ ）的盒子。
12．一个长方体的长是8分米，宽是6分米，高是4分米，如果把这个长方体的长、宽、高都缩小到原来的，那么现在的长方体的体积是原来长方体体积的（ ）。
13．一个长方体的棱长总和是40dm，长、宽、高的比是5∶3∶2，这个长方体的表面积是（ ），体积是（ ）。
14．如图长方体的棱长为整厘米，其三个不同面的面积分别为30平方厘米、35平方厘米、42平方厘米，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。
15．李师傅将一根长方体木料沿着长截成相同的3段，每小段长1.5米，表面积之和比原来增减了28平方分米，这根木料的体积是（ ）立方分米。
16．一个底面是正方形的长方体，侧面展开后也是正方形。如果它的底面积是6平方分米，那么它的表面积是（ ）平方分米；如果它的底面边长是6厘米，那么它的体积是（ ）立方厘米。
17．一个长方体的展开图如图所示（单位：厘米）。涂色部分的面积之和为35平方厘米。这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。
18．用一些长5cm、宽4cm、高3cm的小长方体木块，搭成一个正方体，这个正方体的体积最小是（ ）cm3。
19．如图，用厚度为的玻璃做一个长、宽、深的无盖长方体容器，如果向这个容器注入水，水的深度是（ ）。
20．如图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增减了80cm2，已知高是10cm，则长方体的体积是（ ）cm3。
21．一个正方体的棱长总和是48厘米，它的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。
22．一个棱长为3dm的正方体可以分成（ ）个棱长为1dm的小正方体，表面积会增减（ ）；把这些小正方体排成一行，长（ ）。
23．如图，用丝带捆扎一个长方体礼品盒，接头处长厘米，需要准备（ ）厘米长的丝带。
24．将正方体的棱长扩大到原来的3倍，则表面积扩大到原来的（ ）倍；体积扩大到原来的（ ）倍。
25．一个长方体的棱长之和是720分米，长、宽、高的比是9∶4∶5，这个长方体的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。
26．一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高都是以厘米为单位的质数。这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。
27．将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为（ ）平方厘米。
28．一个长、宽、高分别是4dm、1dm、2dm的长方体密封容器（相关数据从里面量得），水深1.5dm（如图），水与容器接触的面积是（ ）dm2。如果把这个容器的左侧面平放在桌面上，这时水深（ ）dm。
三、解答题
29．粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽90分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2克，每克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？
30．两个完全一样的长方体长10厘米，宽4厘米，高3厘米。把这两个长方体拼成一个表面积最小的长方体，拼成后的长方体表面积是多少平方米？
31．如图，把一张正方形铁皮沿虚线元叠，围成一个长方体的侧面，给这个长方体配一个底面，这个长方体的容积是多少毫升？
32．一个四周用木条围成的花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.8米。
（1）做这样一个花坛，四周大约需要多少平方米木条？
（2）用泥土填满这个花坛，大约需要多少立方米泥土？（木条厚度忽略不计）
33．环保社团的同学用铁丝制作长方体形状的垃圾分类宣传箱框架。宣传箱长80厘米、宽50厘米、高120厘米，已知制作过程中接头处共损耗铁丝15厘米，制作一个宣传箱框架至少需要铁丝多少厘米？
34．有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？
35．一个边长为24厘米的正方形纸片，把它的四个角各剪去一个小正方形可做一个无盖的长方体盒子，这个长方体盒子的体积最小是多少？（接头处忽略不计）
36．从一个长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米的长方体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？