第七章 第四节 空间直线、平面的平行-2027年高考数学一轮总复习课件（含解析版试题）

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1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理. 2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)直线与平面平行的判定定理与性质定理
2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)平面与平面平行的判定定理与性质定理
1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)平行于同一平面的两个平面平行.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行.
2.三种平行关系的转化
(1)平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题过程中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.(2)在应用判定定理与性质定理时，一定要写全定理满足的条件，否则可能是假命题.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(　　)(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(　　)
(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(　　)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(　　)
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.
2.(人教A必修二P143T1改编)如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的(　　)A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交
因为直线a∥平面α,直线a与平面α无公共点,因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交.
3.(人教A必修二P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为　　　　　　　. 
因为平面ABFE∥平面DCGH,又平面EFGH∩平面DCGH=HG,且平面EFGH∩平面ABFE=EF,所以EF ∥ HG,同理EH ∥ FG,所以四边形EFGH是平行四边形.
4.(人教B必修四P108T3改编)如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点,直线PA和PC分别与β相交于B和D,若PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,则PD=　　　　 cm. 
考点聚焦突破
角度1　直线与平面平行的判定
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点.
求证:BE∥平面PAD.
法一　如图，取PD的中点F，连接EF，FA.
法二　如图，延长DA，CB相交于点H，连接PH，
法三　如图，取CD的中点H，连接BH，HE，
∵E为PC的中点，∴EH∥PD，又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由题意知AB綉DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，
∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD.
角度2　直线与平面平行的性质例2 (2026·武汉联考)如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点.
因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC∥AD,又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD.
(1)求证:BC∥平面PAD;
(2)M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于HG,求证:AP∥HG.
如图,连接AC,交BD于点O,连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点,又M是PC的中点,所以MO∥PA.因为MO⊂平面BDM,PA⊄平面BDM,所以PA∥平面BDM.又PA⊂平面PAHG,平面PAHG∩平面BDM=HG,所以AP∥HG.
1.利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，即证明线线平行，一般利用中位线定理、线面平行的性质、构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.2.判定直线与平面平行，主要有三种方法:(1)线面平行的定义(无公共点);(2)线面平行的判定定理;(3)面面平行的性质定理.3.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.
训练1 如图,四边形ABCD为长方形,点E,F分别为AD,PC的中点.设平面PDC∩平面PBE=l.求证:(1)DF∥平面PBE;
取PB的中点G,连接FG,EG,
所以四边形DEGF为平行四边形,所以DF∥GE,因为DF⊄平面PBE,GE⊂平面PBE,所以DF∥平面PBE.
由(1)知DF∥平面PBE,又DF⊂平面PDC,平面PDC∩平面PBE=l,所以DF∥ l.
例3 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).
(1)求证:BC∥GH;
在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1,又平面BCHG∩平面ABC=BC,且平面BCHG∩平面A1B1C1=GH,∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)若E,F,G分别是AB,AC,A1B1的中点,求证:平面EFA1∥平面BCHG.
∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC,∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1綉AB,∴A1G綉EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF=E,A1E,EF⊂平面EFA1,∴平面EFA1∥平面BCHG.
1.证明面面平行可以通过线面平行来证明，而判定面面平行主要有四种方法:(1)定义(常与反证法结合);(2)面面平行的判定定理;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行.2.当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线.
训练2 (1)如图，在棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是棱B1C1，AC，BC的中点.证明:AD∥平面C1EF.
连接BD.因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以EF∥AB.因为EF⊂平面C1EF，AB⊄平面C1EF，
所以AB∥平面C1EF.因为D，F分别是棱B1C1，BC的中点，所以BF∥C1D，BF＝C1D，所以四边形BDC1F是平行四边形，则BD∥C1F.因为C1F⊂平面C1EF，BD⊄平面C1EF，所以BD∥平面C1EF.因为AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，所以平面ABD∥平面C1EF，因为AD⊂平面ABD，所以AD∥平面C1EF.
(2)如图所示，AA1，BB1为圆台的两条不同的母线，O1，O分别为圆台的上、下底面圆的圆心.求证:A1B1∥AB.
∵圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，∴圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.∴母线AA1与母线BB1的延长线必交于一点，∴A，A1，B，B1四点共面.∵圆O1∥圆O，且平面ABB1A1∩圆O1＝A1B1，平面ABB1A1∩圆O＝AB.∴A1B1∥AB.
例4 如图,在正三棱台ABC-A1B1C1中,BC=3B1C1,TB=2TC,E,F分别是BB1,CC1的中点,M为AC上一点.
(1)若M是AC的中点,求证:ME∥平面AB1C1;
如图,取AB的中点N,连接MN,NE,
若M是AC的中点,由N是AB的中点可得MN∥BC,又BC∥B1C1,所以MN∥B1C1,又MN⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,所以MN∥平面AB1C1.
又N,E分别是AB,BB1的中点,所以NE∥AB1,又NE⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以NE∥平面AB1C1.又MN∩NE=N,MN,NE⊂平面MNE,所以平面MNE∥平面AB1C1.又ME⊂平面MNE,所以ME∥平面AB1C1.
(2)若AB1∥平面TMF,求点M的位置,并说明理由.
在等腰梯形BCC1B1中,BC=3B1C1,TB=2TC,
所以TC=TP,即T是PC的中点,又F是CC1的中点,所以FT∥C1P,所以FT∥B1B,又B1B⊄平面TMF,FT⊂平面TMF,所以B1B∥平面TMF.因为AB1∥平面TMF,AB1∩B1B=B1,B1B⊂平面AB1B,AB1⊂平面AB1B,所以平面AB1B∥平面TMF,因为平面AB1B∩平面ABC=AB,平面TMF∩平面ABC=MT,所以AB∥MT.在△ABC中,TB=2TC,所以MA=2MC,即M在AC上靠近点C的三等分点处.
解决面面平行问题的关键点(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”;而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.
训练3 如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的三等分点(M靠近B,N靠近C).
(1)求证:MN∥平面PAD;
所以四边形AMNE为平行四边形,所以MN∥AE,又由MN⊄平面PAD,AE⊂平面PAD,所以MN∥平面PAD.
(2)在PB上确定一点Q,使平面MNQ∥平面PAD,并证明.
因为MQ⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,所以MQ∥平面PAD;又由(1)知MN∥平面PAD,且MN∩MQ=M,MN,MQ⊂平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PAD,即当点Q为PB上靠近点B的三等分点时,能使得平面MNQ∥平面PAD.
一、单选题1.(2026·南京模拟)在空间中,直线l∥平面α的一个充要条件是(　　)A.α内有一条直线与l平行B.α内有无数条直线与l平行C.任意一条与α垂直的直线都垂直于lD.存在一个与α平行的平面经过l
对于A,B,C,直线l都可能在α内.
2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,与平面AA1B1B平行的直线为(　　)
由题意,AB⊂平面AA1B1B,BC,AC与平面AA1B1B都相交,因为CC1∥AA1,CC1⊄平面AA1B1B,AA1⊂平面AA1B1B,所以CC1∥平面AA1B1B.
A.AB　　　　D.AC
3.下列命题中正确的是(　　)A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α
A中,a可以在过b的平面内;B中,a与α内的直线也可能异面;C中,两平面可能相交;D中,由直线与平面平行的判定定理知b∥α,故D正确.
4.(2026·抚顺六校协作体检测)在四棱锥P-ABCD中,E,F分别为侧棱PC,PD上一点(不含端点),则“CD∥EF”是“CD∥平面BEF”的(　　)A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
因为CD∥EF,CD⊄平面BEF,EF⊂平面BEF,所以CD∥平面BEF.由CD∥平面BEF,CD⊂平面PCD,平面PCD∩平面BEF=EF,得CD∥EF.故“CD∥EF”是“CD∥平面BEF”的充要条件.故选A.
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,作截面EFGH(如图)交C1D1,A1B1,AB,CD分别于E,F,G,H,则四边形EFGH的形状为(　　)
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面EFGH∩平面ABCD=GH,平面EFGH∩平面A1B1C1D1=EF,所以EF∥GH,同理可证EH∥FG,所以四边形EFGH的形状一定为平行四边形.
A.平行四边形B.菱形C.矩形D.梯形
6.如图,已知P为△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,且α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则S△A'B'C'∶S△ABC=(　　)
由题意知,平面α∥平面ABC,所以AB∥平面α,又平面α∩平面PAB=A'B',所以A'B'∥AB,
A.2∶3B.2∶5C.4∶9D.4∶25
二、多选题8.平面α与平面β平行的充分条件可以是(　 　)A.α内有无数条直线都与β平行B.α内的任何一条直线都与β平行C.两条相交直线同时与α,β平行D.两条异面直线同时与α,β平行
当α内有无数条直线与β平行时,α与β可能平行,也可能相交,故A不符合题意;当α内的任何直线与β平行时,必有两条相交直线与β平行,故B符合题意;
两条相交直线同时与α,β平行,设两相交直线确定平面γ,则γ∥α,γ∥β,可得α∥β,故C符合题意;两条异面直线同时与α,β平行,则可在一条直线上取一点作另一条直线的平行线,问题转化为C项的条件,故D符合题意.
9.(2026·温州调考)已知三棱台ABC－A'B'C'，上、下底面边长之比为1∶2，棱AB，BC，AC的中点分别为点M，P，N，则下列结论正确的有(　　)A.A'N∥PC'B.A'P与AC为异面直线C.AB∥平面A'C'PD.平面A'MN∥平面BCC'B'
对于A，因为A'N⊂平面A'C'CA，C'∈平面A'C'CA，P∉平面A'C'CA，且C'∉A'N，所以A'N，PC'是异面直线，故A错误;
三、填空题10.考查下列两个命题:“　　　　”处都缺少同一个条件,补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l,m为直线,α为平面),则此条件为　　　　. 
①由线面平行的判定定理知l⊄α;②由线面平行的判定定理知l⊄α.
11.如图，空间图形A1B1C1－ABC是三棱台，在点A1，B1，C1，A，B，C中取3个点确定平面α，α∩平面A1B1C1＝m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是____________________________. 
由空间图形A1B1C1－ABC是三棱台，可得平面ABC∥平面A1B1C1，当平面ABC1为平面α，平面α∩平面A1B1C1＝m时，又平面α∩平面ABC＝AB，所以由面面平行的性质定理可知m∥AB，所取的这3个点可以是A，B，C1.
A，B，C1(答案不唯一)
四、解答题13.由正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,O为AC与BD的交点.
(1)求证:A1O∥平面B1CD1;
取B1D1的中点E,连接A1E,CE,则A1E=OC,A1E∥OC.所以四边形COA1E为平行四边形,所以A1O∥EC.
因为EC⊂平面B1CD1,A1O不在平面B1CD1内,所以A1O∥平面B1CD1.
(2)求证:平面A1BD∥平面B1CD1.
因为BD∥B1D1,B1D1⊂平面B1CD1,BD不在平面B1CD1内,所以BD∥平面B1CD1.由(1)知,A1O∥平面B1CD1.因为A1O∩BD=O,A1O,BD⊂平面A1BD.所以平面A1BD∥平面B1CD1.
14.如图,在三棱柱BCF-ADE中,若G,H分别是线段AC,DF的中点.
(1)求证:GH∥BF;
∵四边形ABCD为平行四边形,由题意可得,G是线段BD的中点,则G,H分别是线段BD,DF的中点,故GH∥BF.
(2)在线段CD上是否存在一点P,使得平面GHP∥平面BCF?若存在,指出点P的具体位置并证明;若不存在,说明理由.
存在,P是线段CD的中点,理由如下:由(1)可知,GH∥BF,GH⊂平面GHP,BF⊄平面GHP,∴BF∥平面GHP,连接PG,PH,∵P,H分别是线段CD,DF的中点,则HP∥CF,HP⊂平面GHP,CF⊄平面GHP,∴CF∥平面GHP,BF∩CF=F,BF,CF⊂平面BCF,故平面GHP∥平面BCF.