第七章 第七节 向量法、几何法求空间角-2027年高考数学一轮总复习课件（含解析版试题）

这是一份第七章 第七节 向量法、几何法求空间角-2027年高考数学一轮总复习课件（含解析版试题），共6页。PPT课件主要包含了1求λ的值，如图连接AD1等内容，欢迎下载使用。
1.理解空间角的概念. 2.会用向量法、几何法求空间角.
3.平面与平面的夹角(1)定义:平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角.(2)两平面夹角的求法①几何法:找到二面角的棱的一个垂面，即可确定平面角(夹角与其相等或互补).②向量法:设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cs θ=|cs|=_______=____________.
2.方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.3.当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角.(　　)(2)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面所成的角.(　　)
(1)两直线的方向向量的夹角是两条直线所成的角或其补角;(2)直线的方向向量u，平面的法向量n，直线与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cs|;
(3)两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角或其补角.
2.(苏教选修二P39T1改编)若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则(　　)A.α∥βB.α⊥βC.α，β相交但不垂直D.以上均不正确
因为n1·n2=-6-3-20≠0,所以n1与n2不垂直,故两个平面不垂直.又n1与n2不共线,所以α与β不平行,所以α,β相交但不垂直.
考点聚焦突破
例1 (2025·新高考Ⅰ卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD.
(1)求证:平面PAB⊥平面PAD;
因为PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AD,又AD⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以AD⊥平面PAB,又AD⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB.
②求直线AC与PO所成角的余弦值.
因为CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，所以CD⊥BC，CD⊥AC，CD⊥AB.又AB⊥BC，且BC∩CD＝C，BC，CD⊂平面BCD，所以AB⊥平面BCD，又BD⊂平面BCD，则AB⊥BD，所以四面体ABCD的四个面都为直角三角形，则四面体ABCD为鳖臑.
(2)若直线MN⊥平面ABD，求直线BE与MN所成角的余弦值.
∵△ABC为正三角形,D为AC的中点,∴BD⊥AC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1⊥平面ABC,又平面ACC1A1∩平面ABC=AC,BD⊂平面ABC,
∴BD⊥平面ACC1A1,又A1E⊂平面ACC1A1,∴BD⊥A1E.∵BD∩DE=D,BD,DE⊂平面BDE,∴A1E⊥平面BDE.取A1C1的中点D1,连接DD1,
1.向量法求直线与平面所成角的方法是:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.2.几何法求线面角的方法一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.
(1)证明:平面A1C1B⊥平面BDD1B1;
因为四边形A1B1C1D1是菱形，所以A1C1⊥B1D1.因为BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1.又B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面BDD1B1，所以A1C1⊥平面BDD1B1，又A1C1⊂平面A1C1B，所以平面A1C1B⊥平面BDD1B1.
(2)求直线DC1与平面A1C1B所成角的正弦值.
连接BO1，OO1，过D点作DH⊥BO1于点H，连接HC1.由(1)知平面A1C1B⊥平面BDD1B1，因为平面A1C1B∩平面BDD1B1＝BO1，
例3 (2025·天津卷)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,E,F分别为A1D1,C1B1中点,点G在棱CC1上,且CG=3C1G.
(1)求证:GF⊥平面EBF;
法一　以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
(2)求平面EBF与平面EBG夹角的余弦值;
法二 　过点F作FH⊥BE于点H,连接HG,如图所示,
因为FG⊥平面EBF,BE⊂平面EBF,所以FG⊥BE,又FG∩FH=F,FG,FH⊂平面FGH,所以BE⊥平面FGH,又HG⊂平面FGH,所以BE⊥HG,所以∠FHG即为平面EBF与平面EBG的夹角.因为EF⊥平面BCC1B1,BF⊂平面BCC1B1,所以EF⊥BF,
(3)求三棱锥D-BEF的体积.
2.用几何法求解二面角的步骤(1)找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角);(2)证明所找的角就是要求的角;(3)把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀:点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定.
由于PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，所以PA⊥AD，又因为AD⊥PB，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB.
易知AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，因为A，B，C，D四点共面， 所以BC∥AD，又因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.
法二　如图所示，过点D作DE⊥AC于点E，再过点E作EF⊥CP于点F，连接DF，因为PA⊥平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，而平面PAC∩平面ABCD＝AC，所以DE⊥平面PAC，故DE⊥CP，又EF⊥CP，DE∩EF＝E，且DE，EF⊂平面DEF，所以CP⊥平面DEF，
典例 已知△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角A－BD－C的余弦值为____________. 
1.(2025·北京大兴区模拟)如图,矩形ACFE,AE=1,平面ACFE⊥平面ABCD,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=1,CD=2,AD=1,平面ADF与棱BE交于点G.
(1)求证:AG∥DF;
因为CD∥AB,CD⊂平面CDF,AB⊄平面CDF.所以AB∥平面CDF,又CF∥ AE,CF⊂平面CDF,AE⊄平面CDF,所以AE∥平面CDF,又AB∩AE=A,且AB,AE⊂平面ABE,所以平面ABE∥平面CDF,
因为平面ADF与棱BE交于点G,且BE⊂平面ABE,所以平面ADF∩平面ABE=AG,又平面ADF∩平面CFD=DF,且平面ABE∥平面CDF,所以DF∥AG,即AG∥DF.
(2)求直线CF与平面ADF所成角的正弦值.
由面面垂直的性质得AE⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,所以AE⊥AB,AE⊥AD.又AB⊥AD,如图,以A为原点,
分别以AB,AD,AE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1),F(2,1,1),
又在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO⊂平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1,又OD⊂平面BCC1B1,所以AO⊥OD,故OA,OD,BC两两垂直,以O为坐标原点,OC,OA,OD所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,
(2)求异面直线AF与CE所成角的余弦值;
(3)求平面α与平面BCC1B1夹角的正切值.
3.(2026·开封调研)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别是AD,DD1的中点.
(1)求证:BC1∥平面B1MN;
因为点M,N分别是AD,DD1的中点,所以MN∥AD1.又由长方体的性质知AB綉C1D1,所以四边形ABC1D1为平行四边形,所以BC1∥AD1,所以BC1∥MN,又MN⊂平面B1MN,BC1⊄平面B1MN,所以BC1∥平面B1MN.
(2)若AB=2,AA1=4,且底面ABCD为正方形,求平面B1MN与平面BCC1B1夹角的余弦值.
法二　因为平面BCC1B1∥平面ADD1A1,所以平面B1MN与平面BCC1B1所成的角即为平面B1MN与平面ADD1A1所成的角.取AA1的中点Q,连接NQ,分别延长NM,A1A交于点P,点N,P是平面B1MN与平面ADD1A1的公共点,所以平面B1MN∩平面ADD1A1=PN,在平面ADD1A1内,作A1H⊥PN交PN的延长线于点H,连接B1H.
因为B1A1⊥平面ADD1A1,又PH⊂平面ADD1A1,所以PH⊥B1A1.又A1H∩A1B1=A1,A1H,A1B1⊂平面A1B1H,所以PH⊥平面A1B1H,所以PH⊥B1H.所以∠B1HA1即为平面B1MN与平面BCC1B1所成二面角的平面角.
法三 (射影法)　设平面B1MN与平面BCC1B1所成的角为θ,
如图,过点N作NN'⊥CC1于点N',过点M作MM'⊥BC于点M',连接M'N',B1M',B1N',
因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD.又PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD.又因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.