第七章 第二节 与球有关的切、接问题-2027年高考数学一轮总复习课件（含解析版试题）

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研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心.
7.圆锥的外接球R2＝(h－R)2＋r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).
若球心O在三棱锥P-ABC内,设O1为△ABC的外接圆的圆心.连接PO1,AO1,AO.
到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.
角度2　补形法例2 (1)(2026·黄山模拟)已知三棱锥P-ABC的四个面均为直角三角形,PA⊥平面ABC,PA=AB=4,AC=6,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为(　　)A.12πB.24πC.32πD.52π
根据题意,构造如图所示的长方体,设其外接球的半径为R,
将三棱锥S-ABC放入长方体中,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,如图所示,
满足下列条件的可以补成长方体(1)(墙角模型)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，如图①.(2)三棱锥的四个面均是直角三角形，如图②.(3)(对棱模型)三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图③.
A.5πB.8πC.6πD.9π
设E是BC中点,连接AE,DE,
找两个三角形的外接圆的圆心，过圆心分别作这两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心.
设O1是BC的中点,连接O1A,O1P,由于∠BAC=90°,所以O1是△ABC的外心,O1A=O1B=O1C.由于PA=PB=PC=BC=2,O1是BC的中点,
由题意知,正三棱锥S-ABC是正方体的一个角,补成正方体如图所示.
例4 (1)(2026·天津模拟)正多面体也称柏拉图立体,被誉为最有规律的立体结构,其所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形,且每一个顶点所接的面数都一样,各相邻面所成二面角都相等),数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体,如图所示为正八面体,则该正八面体的外接球与内切球的表面积之比为(　　)
A.4∶3B.2∶1C.3∶1D.4∶1
(2)(2025·新高考Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为　　　　 cm. 
如图1所示,圆柱与两铁球的轴截面如图2所示 ,其中ABCD为圆柱的轴截面,O2P⊥AB,O1P⊥AD,则有O2P=9-2r,O1P=8-2r,O1O2=2r,
多面体内切球的球心与半径的确定(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.(4)体积分割是求内切球半径的通用做法.
(2)(2026·南京六校调研)已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角、半径为4的扇形,则此圆锥内切球的表面积为　　　　. 
解决棱切球问题的规律是:找切点，找球心，构造直角三角形.
训练3 (2026·丽水质检)我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则其棱切球的表面积是(　　)A.πB.2πC.8πD.12π
2.已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(　　)A.πB.3πC.6πD.8π
如图所示,将直三棱柱ABC-A1B1C1补成长方体,
7.已知三棱锥S－ABC，SA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，若三棱锥外接球的表面积为28π，则此三棱锥的体积为(　　)A.1B.2C.3D.4
如图，取AB的中点E，连接PE，CE，则PE⊥AB，CE⊥AB，由平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE⊂平面PAB，CE⊂平面ABC，得PE⊥平面ABC，CE⊥平面PAB.
画出圆台的轴截面,如图所示.
对于正四面体ABCD,其棱长为a,过A作AH⊥平面BCD,
11.(2026·兰州诊断)如图所示,长方体ABCD-EFGH的表面积为6,AE=1,则(　　)
对于A,当长方体的所有棱长都为1时,表面积为6,长方体为正方体,错误;对于B,设AD=a,AB=b,则2(ab+a+b)=6,ab+a+b=3,
因为ab+a+b=3,所以a+b=3-ab,则y=a2+b2+1=(a+b)2-2ab+1=(3-ab)2-2ab+1=(ab)2-8ab+10,=(ab-4)2-6,又0