第七章 第五节 空间直线、平面的垂直-2027年高考数学一轮总复习课件（含解析版试题）

这是一份第七章 第五节 空间直线、平面的垂直-2027年高考数学一轮总复习课件（含解析版试题），共6页。PPT课件主要包含了两个半平面，∠AOB，直二面角，如图连接A1C1，②或③等内容，欢迎下载使用。
1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，理解和掌握空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.
1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果直线l与平面α内的______一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理
2.直线和平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是_________;一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是______.(2)范围:__________.
3.二面角(1)定义:从一条直线出发的_______________所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角
若有①O∈l;②OA⊂α，OB⊂β;③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是________.(3)二面角的平面角α的范围:[0，π].
4.两个平面垂直(1)两个平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直.
(2)两个平面垂直的判定定理与性质定理
直线与平面垂直的常用结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面.(5)两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(　　)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(　　)(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)
(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.(4)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1⊥AB，所以BC1垂直于平面ABCD内所有与AB平行的直线，而平面ABC1D1过BC1，显然平面ABC1D1与平面ABCD不垂直，故(4)错误.
2.(人教A必修二P159T2改编)已知直线a,b与平面α,β,γ,能使α⊥β的充分条件是(　　)A.α⊥γ,β⊥γ　　　B.α∩β=a,b⊥a,b⊂βC.a∥β,a∥α　　　D.a∥α,a⊥β
α⊥γ,β⊥γ⇒α与β垂直、相交或平行,故A不正确;因为α∩β=a,b⊥a,b⊂β,所以β可以绕交线a任意旋转,所以不能得到α⊥β,故B不正确;a∥β,a∥α⇒α与β相交或平行,故C不正确;当a⊥β,a∥α,过直线a作平面与平面α交于直线b,所以a∥b,又a⊥β,所以b⊥β ,又b⊂α,所以α⊥β,故D正确.
3.(人教A必修二P150探究改编)如图,将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上,则折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于(　　)
由题意可知AD⊥BD,AD⊥CD,BD∩CD=D,BD,CD⊂平面α,所以AD⊥平面α,所以折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于90°.
A.150°B.135°C.90°D.60°
4.(苏教必修二P187T11改编)过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的　　　　心. (2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,垂足都为P,则点O是△ABC的　　　　心. 
(1)易证△POA≌△POB≌△POC,故OA=OB=OC,O是△ABC的外心.(2)易知PA⊥平面PBC,从而PA⊥BC.而PO⊥平面ABC,所以PO⊥BC,从而BC⊥平面PAO,所以BC⊥AO.同理AC⊥BO.所以O为△ABC的垂心.
考点聚焦突破
例1 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求证:B1D1⊥平面A1C1C;
因为CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形,所以A1C1⊥B1D1.又因为CC1∩A1C1=C1,A1C1,CC1⊂平面A1C1C,所以B1D1⊥平面A1C1C.
(2)M,N分别为B1D1与C1D上的点,且MN⊥B1D1,MN⊥C1D,求证:MN∥A1C.
如图,连接B1A,AD1.所以C1D∥AB1,因为MN⊥C1D,所以MN⊥AB1.又因为MN⊥B1D1,AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1⊂平面AB1D1,所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知B1D1⊥平面A1C1C,且A1C⊂平面A1C1C,所以A1C⊥B1D1.又A1C⊥AB1.且AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1⊂平面AB1D1,所以A1C⊥平面AB1D1.所以MN∥A1C.
1.证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线面垂直常需借助线面垂直的性质，若题中给出数据，则也可以应用勾股定理证明线线垂直.证明直线和平面垂直的常用方法:(1)判定定理;(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α);(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β);(4)面面垂直的性质.2.直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行.
训练1 如图,四棱锥P-ABCD中,平面ABCD是正方形.
(1)若BP⊥平面ADP,求证:AD⊥平面ABP;
∵BP⊥平面ADP,AD⊂平面ADP,∴BP⊥AD,∵AD⊥AB,AB∩BP=B,AB,BP⊂平面ABP,∴AD⊥平面ABP.
例2 (2023·全国甲卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°.
(1)求证:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;
因为A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以A1C⊥BC,因为∠ACB=90°,所以BC⊥AC,
又A1C∩AC=C,A1C,AC⊂平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1,又BC⊂平面BB1C1C,所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
(2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1C1C的高.
如图,过点A1作A1H⊥CC1,交CC1于点H,
由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C,又平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1,A1H⊂平面ACC1A1,所以A1H⊥平面BB1C1C,即四棱锥A1-BB1C1C的高为A1H.由题意知AB=A1B,BC=BC,∠A1CB=∠ACB=90°,
1.证明面面垂直首先要根据条件证明线面垂直，则所有经过平面垂线的平面都与已知平面垂直，而面面垂直判定的常用两种方法:(1)面面垂直的定义;(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).2.若条件中已知面面垂直，则通常会应用面面垂直证明线面垂直，即一个面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
训练2 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC.
(1)若AB⊥BC,求证:平面A1BC⊥平面A1ABB1;
∵AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴AA1⊥BC,又∵AB⊥BC,AA1∩AB=A,∴BC⊥平面AA1B1B,又∵BC⊂平面A1BC,∴平面A1BC⊥平面AA1B1B.
(2)若平面A1BC⊥平面A1ABB1,求证:AB⊥BC.
过A作AD⊥A1B于点D,
∵平面A1BC⊥平面AA1B1B,又平面A1BC∩平面AA1B1B=A1B,AD⊂平面AA1B1B,∴AD⊥平面A1BC,又BC⊂平面A1BC,∴AD⊥BC,又∵AA1⊥BC,AD⊂平面AA1B1B,AA1⊂平面AA1B1B,AA1∩AD=A,∴BC⊥平面AA1B1B,AB⊂平面AA1B1B,∴AB⊥BC.
例4 (2026·青岛模拟)如图所示,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在的平面互相垂直,AB=2AD=2,A1D∩AD1=O,E为线段AB上的一点.
(1)若OE∥平面D1BC,求证:E为AB的中点;
因为四边形AA1D1D为正方形,A1D∩AD1=O,所以O为AD1的中点.又因为OE∥平面D1BC,平面ABD1∩平面D1BC=BD1,OE⊂平面ABD1,所以OE∥BD1.又因为O为AD1的中点,所以E为AB的中点.
(2)在线段AB上是否存在点E,使得平面D1DE⊥平面AD1C?若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由.
所以∠ADE=∠BAC,又因为∠BAD=∠BAC+∠DAC=90°,所以∠ADE+∠DAC=90°,则∠AFD=90°,所以AC⊥DE,又因为DE∩DD1=D,DE,DD1⊂平面D1DE,所以AC⊥平面D1DE.又因为AC⊂平面AD1C,所以平面D1DE⊥平面AD1C.
1.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直性质及判定的综合应用.2.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.
训练3 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是BC,AA1的中点.
(1)求证:AE∥平面B1FC;
取B1C的中点D,连接DE,DF,
(2)若AB=AC,BC=BB1,在棱CC1上是否存在点P,使B1C⊥平面PAE.如果存在,求出点P的位置,如果不存在,请说明理由.
假设存在点P,使B1C⊥平面PAE,
因为AB=AC,且点E是BC的中点,所以AE⊥BC,因为BB1⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,所以BB1⊥AE,且BB1∩BC=B,BB1,BC⊂平面BCC1B1,
所以AE⊥平面BCC1B1,B1C⊂平面BCC1B1,所以AE⊥B1C,因为BC=BB1,所以四边形BCC1B1是正方形,则BC1⊥B1C;取CC1的中点P,连接PE,BC1,则PE∥BC1,则PE⊥B1C,AE∩PE=E,AE,PE⊂平面PAE,所以B1C⊥平面PAE,所以点P是CC1的中点时,B1C⊥平面PAE.
一、单选题1.(2025·天津卷)已知m,n为两条直线,α,β为两个平面,则下列结论中正确的是(　　)A.若m∥α,n⊂α,则m∥nB.若m⊥α,m⊥β,则α⊥βC.若m∥α,m⊥β,则α⊥βD.若m⊂α,α⊥β,则m⊥β
若m∥α,n⊂α,则m∥n或m,n异面,A错误;若m⊥α,m⊥β,则α∥β,B错误;若m∥α,m⊥β,则α⊥β,C正确;若m⊂α,α⊥β,则m∥β或m与β相交或m⊂β,D错误.
2.下列命题中正确的是(　　)A.如果直线a不垂直于平面α,那么平面α内一定不存在直线垂直于直线aB.如果平面α垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线平行于平面βC.如果直线a垂直于平面α,那么平面α内一定不存在直线平行于直线aD.如果平面α垂直于平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
若直线a垂直于平面α,则直线a垂直于平面α内的所有直线,故C正确,其他选项均不正确.
3.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面BDE.故选C.
4.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)
连接AC1(图略),由AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,AB,BC1⊂平面ABC1,得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上.
A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部
5.(2026·承德质检)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是矩形，且AD＝2AB，E是棱BC上的动点(包括端点)，则满足PE⊥DE的点E有(　　)A.0个B.1个C.2个D.3个
如图，连接AE.由已知可得PE⊥DE，PA⊥DE，又PA∩PE＝P，所以DE⊥平面PAE，所以DE⊥AE，所以点E在以AD为直径的圆上，又由几何关系可知，以AD为直径的圆与直线BC相切，故满足条件的点E只有1个.
6.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是(　　)
A.AC⊥SBB.AD⊥SCC.平面SAC⊥平面SBDD.BD⊥SA
由题意知SD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,故SD⊥AC,又四棱锥S-ABCD的底面为正方形,即AC⊥BD,
而SD∩BD=D,SD,BD⊂平面SBD,故AC⊥平面SBD,SB⊂平面SBD,故AC⊥SB,A正确;SD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,故SD⊥AD,又四棱锥S-ABCD的底面为正方形,即AD⊥CD,而SD∩CD=D,SD,CD⊂平面SCD,故AD⊥平面SCD,SC⊂平面SCD,故AD⊥SC,B正确;
由于AC⊥平面SBD,AC⊂平面SAC,故平面SAC⊥平面SBD,C正确;SD⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,故SD⊥BD,若BD⊥SA,而SD∩SA=S,SD,SA⊂平面SAD,故BD⊥平面SAD,又AD⊂平面SAD,故BD⊥AD,即∠BDA=90°,这与正方形ABCD中∠BDA=45°矛盾,D错误.
7.(2026·烟台调研)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和线段BC1上的动点,则满足与DD1垂直的直线MN(　　)
如图,过点N作NE⊥BC,垂足为E,
A.有且仅有1条B.有且仅有2条C.有且仅有3条D.有无数条
连接DE,当M,N高度一样,即MD=NE时,一定有DD1⊥MN,理由如下:
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,NE∥CC1∥MD,又MD=NE,所以四边形MDEN为平行四边形,所以MN∥DE.因为DD1⊥平面ABCD,且DE⊂平面ABCD,所以DD1⊥DE,则DD1⊥MN.所以当M,N高度一样,即MD=NE时,一定有DD1⊥MN,此时满足条件的直线MN有无数条.
二、多选题8.如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是(　　)
对于A,显然AB与CE不垂直,则直线AB与平面CDE不垂直;对于B,因为AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ ED=E,CE,ED⊂平面CDE,所以AB⊥平面CDE;对于C,显然AB与CE不垂直,所以直线AB与平面CDE不垂直;
对于D,因为ED⊥平面ABC,则ED⊥AB,同理CE⊥AB,因为ED∩CE=E,ED,CE⊂平面CDE,所以AB⊥平面CDE.
9.(2025·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,则(　　)A.AD⊥A1CB.BC⊥平面AA1DC.AD∥A1B1D.CC1∥平面AA1D
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,
三、填空题10.已知△ABC,若直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,且l,m为两条不同的直线,则l,m的位置关系是　　　　.  
依题意知l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,故l⊥平面ABC,又m⊥BC,m⊥AC,BC∩AC=C,BC,AC⊂平面ABC,故m⊥平面ABC,∴l∥m.
11.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足条件:①BM⊥DM,②DM⊥PC,③BM⊥PC中的　　　　时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可). 
连接AC(图略),∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD.∵底面各边都相等,∴AC⊥BD.
∵PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
取AB的中点为E，连接DE，CE(图略).由题意知DE⊥AB，当平面ADB⊥平面ABC时，平面ADB∩平面ABC＝AB，DE⊂平面ADB，
四、解答题13.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC.又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.
(2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE.
因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以PA⊥AE.因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,且E为CD的中点,所以AE⊥CD,所以AB⊥AE.又AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB,所以AE⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE.