问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 课件北师大版数学九年级上册

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1. 认识正八边形内接于正方形的两种情形，掌握正八边形的对称性与边角特征，能推导其与正方形的边长、对角线之间的数量关系。2.能运用尺规作图完成两种正八边形的绘制，体会数形结合与对称性在几何作图中的应用。
在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案。例如，图中的古建筑藻井图案就是一个正方形里面嵌套了正八边形。
如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形。
知识点 作内嵌于正方形的正八边形
能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗?
理解问题 (1)正八边形内嵌于正方形，可能有哪些情形，请画出相应的草图。有两种情形：一种是正八边形八个顶点均在正方形的边上，如图1；一种是正八边形的四个顶点在正方形的边上，如图2。
理解问题 (2)正八边形有哪些具体特征?
正八边形是轴对称图形和旋转对称图形(最小旋转角为45°)，正八边形的八条边相等，八个内角相等，均为135°，八个外角相等，均为45°，对角线互相平分且相等。
拟定计划 (1)观察画的草图，分析其中的正八边形满足哪些特定条件。例如，正八边形经过哪些特殊的点，图中的角、线段具有哪些确定的数量关系，具有哪些特殊的角，边长有哪些特点，等等。
②如图，当正八边形的四个顶点在正方形的边上时，此时令正八边形的四个顶点为正方形四边的中点，因为∠DOC=45°，所以另外四个顶点在正方形的对角线上，且OC=OD。
拟定计划 (2)根据分析，说说用尺规作这个正八边形的大致思路。当正八边形的八个顶点均在正方形的边上时，以正方形的各个顶点为圆心，对角线长的一半为半径画弧，与正方形的四条边相交，共八个交点，依次连接这八个交点即可得到所要作的正八边形。
实施计划 请你用尺规作一个内嵌于正方形的正八边形。①作八个顶点均在正方形的边上的正八边形。作法:如图，连接AC，BD交于点O；以点A为圆心，AO的长为半径画弧，分别交AD，AB于点E，F；同理可得点M，N，G，H，P，Q；依次连接E，Q，M，F，G，N，P，H，E。正八边形EQMFGNPH 即为所求。
拟定计划 (2)根据分析，说说用尺规作这个正八边形的大致思路。当正八边形的四个顶点在正方形的边上时，可取正方形四条边的中点，再以正方形对角线的交点为圆心，其边长的一半为半径画弧，与正方形的对角线相交，共四个交点，再依次连接这八个点即可得到所要作的正八边形。
实施计划 请你用尺规作一个内嵌于正方形的正八边形。②作四个顶点在正方形的边上的正八边形。作法:如图，连接AC，BD交于点O；作线段AD的垂直平分线EO，交AD于点E，交BC于点G；作线段AB的垂直平分线FO，交AB于点F，交CD于点H；以点O为圆心，OE长为半径画弧，分别交OA， OB， OC，OD于点M，N，P，Q；依次连接E，M，F，N，G，P，H，Q，E。正八边形EMFNGPHQ即为所求。
回顾反思 (1)通过探究，你得到了哪些作图方法?这些方法各有什么特点?②旋转对称作图：基于正方形与正八边形都是旋转对称图形，其中正方形的最小旋转角是90°，而正八边形的最小旋转角为45°，刚好是正方形最小旋转角的一半，故可借助正方形的四条对称轴进行作图。
回顾反思 (2)在探索作图方法的过程中，你积累了哪些经验?分析几何问题时，先明确关键数量关系(如线段、角等)，再将代数关系转化为尺规作图操作的依据。充分利用对称性简化作图步骤。同一问题可能有多种解法，根据需求选择合适的方法。
1.当一个矩形的四个顶点都在已知菱形的四条边上时，我们称这个矩形为菱形的内嵌矩形。如图，已知菱形ABCD，请用尺规作出它的一个内嵌矩形。
第一种作法：如图1，分别以点A，C为圆心，小于AD的长为半径作圆，分别与AD，AB，BC，CD相交于点E，F，G，H；顺次连接E，F，G，H，E。矩形EFGH即为所求作的图形。
E HF G
第二种作法：如图2，在菱形ABCD的边AB上任取两点E，F；分别过点E，F作AB的垂线，交DC于点H，G；连接EF，GH。
F
矩形EFGH即为所求作的图形。
2.尝试用一张正方形纸片折出一个正八边形。