2027届高三数学一轮复习试题规范练22利用导数证明不等式（Word版附解析）

这是一份2027届高三数学一轮复习试题规范练22利用导数证明不等式（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了已知函数f=a-ln x+1，已知函数f=ex·cs x，综上,a=1等内容，欢迎下载使用。
1.(15分)(2025·山西太原一模)已知函数f(x)=x-aln x,a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当x∈(0,+∞)时,若f(x)≥cs(x-1)恒成立,求a的值.
2.(12分)(2024·全国甲,文20)已知函数f(x)=a(x-1)-ln x+1.
(1)讨论f(x)的单调区间;
(2)若a≤2,证明:当x>1时,f(x)0时,令f'(x)0,则x>1,∴h(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,∴h(x)≥h(1)=0,∴x-ln x≥1,∴g(x)=x-ln x-cs(x-1)≥1-cs(x-1)≥0.综上,a=1.
2.(1)解 f(x)=a(x-1)-ln x+1,x>0,则f'(x)=ax-1x,x>0.若a≤0,则f'(x)0,则当00.所以f(x)的单调递减区间为(0,1a),单调递增区间为(1a,+∞).
综上,当a≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当a>0时,f(x)的单调递减区间为(0,1a),单调递增区间为(1a,+∞).
(2)证明 因为a≤2,所以当x>1时,ex-1-f(x)=ex-1-a(x-1)+ln x-1≥ex-1-2x+ln x+1.
令g(x)=ex-1-2x+ln x+1,x≥1,
则g'(x)=ex-1-2+1x.
令h(x)=g'(x),则h'(x)=ex-1-1x2在(1,+∞)上单调递增,则h'(x)≥h'(1)=0且等号不恒成立,所以h(x)=g'(x)在(1,+∞)上单调递增,g'(x)≥g'(1)=0且等号不恒成立,故g(x)在(1,+∞)上单调递增,g(x)≥g(1)=0,所以当x>1时,ex-1-f(x)≥ex-1-2x+ln x+1>0恒成立,即f(x)0,所以g(x)在区间(0,a)上单调递增,在区间(a,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(a)=ln a+ba.若g(x)≤0,当且仅当g(x)max≤0,即ln a+ba≤0,即b≤-aln a,所以ab≤-a2ln a.
设h(x)=-x2ln x,x>0,则h'(x)=-2xln x-x2·1x=-x(2ln x+1),
由h'(x)>0,得0