2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练43 直线与圆、圆与圆的位置关系（Word版附解析）

这是一份2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练43 直线与圆、圆与圆的位置关系（Word版附解析），共7页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。
1.(2022北京,3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=( )
A.12B.-12C.1D.-1
答案:A
解析:圆(x-a)2+y2=1的圆心为(a,0),由题意知直线经过圆心,所以2a+0-1=0,解得a=12,故选A.
2.(2023新高考Ⅰ,6)过(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=( )
A.1B.154C.104D.64
答案:B
解析:由x2+y2-4x-1=0,得(x-2)2+y2=5,故圆心C(2,0),半径R=5.
过点D(0,-2)作圆的切线,与圆的两个切点为A,B,连接AC,BC,CD,AB,则AB⊥CD,∠CAD=∠CBD=π2,∠ADC=∠BDC=α2,由几何知识得,BC=AC=5,CD=(0-2)2+(-2-0)2=22.
由勾股定理得,AD=BD=CD2-R2=3.
csα2=BDCD=322=64,sinα2=BCCD=522=104,sin α=2sinα2csα2=2×104×64=154.故选B.
3.过点P(1,-2)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为( )
A.y=-34B.y=-12
C.y=-32D.y=-14
答案:B
解析:圆C:(x-1)2+y2=1的圆心C为(1,0),半径为1,则以|PC|=(1-1)2+(-2-0)2=2为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y+1=0,即y=-12.
4.(多选)在同一平面直角坐标系中,直线ax-y+a=0与圆(x+a)2+y2=a2的位置可能是( )
答案:AD
解析:圆(x+a)2+y2=a2的圆心为(-a,0),半径为|a|,圆心到直线的距离为d=|-a2+a|a2+1,令|-a2+a|a2+10,所以m=3.
7.(多选)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则( )
A.圆O1和圆O2有两条公切线
B.直线AB的方程为x-y+1=0
C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|
D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+2
答案:ABD
解析:对于A,因为两圆相交,所以有两条公切线,故A正确.
对于B,将两圆方程相减,可得直线AB的方程为-2x+2y-2=0,即x-y+1=0,故B正确.
对于C,因为直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,所以圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误.
对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为|1+1|2=2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+2,故D正确.故选ABD.
8.过点P(1,3)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则PA·PB= .
答案:32
解析:由题意,得圆心为O(0,0),半径为1.如图所示,∵P(1,3),
∴PB⊥x轴,|PA|=|PB|=3.
又△POA为直角三角形,|OA|=1,|PA|=3,
∴∠OPA=30°,
∴∠APB=60°.
∴PA·PB=|PA||PB|·cs∠APB=3×3×cs 60°=32.
9.在平面直角坐标系Oxy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 .
答案:43
解析:圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为C(4,0),半径为1.
由题意知圆心C(4,0)到直线kx-y-2=0的距离应不大于2,
即|4k-2|k2+1≤2,
整理得3k2-4k≤0,解得0≤k≤43.
故k的最大值是43.
10.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过点P作圆C的切线l,切点为M.
(1)若点P的坐标为(1,3),求此时切线l的方程;
(2)求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程.
解:圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,
则圆心为C(-1,2),半径r=2.
(1)当l的斜率不存在时,l的方程为x=1,此时圆心C到l的距离d=2=r,满足题意.当l的斜率存在时,设斜率为k,得l的方程为y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,则|-k-2+3-k|1+k2=2,解得k=-34,
故l的方程为y-3=-34(x-1),
即3x+4y-15=0.
综上,切线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.
(2)设点P(x,y),则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,|PO|2=x2+y2,
因为|PM|=|PO|,所以(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,整理,得2x-4y+1=0,
所以点P的轨迹方程为2x-4y+1=0.
二、综合应用
11.已知圆C与两坐标轴及直线x+y-2=0都相切,且圆心在第二象限,则圆C的方程为( )
A.(x+2)2+(y-2)2=2
B.(x-2)2+(y+2)2=2
C.(x-2)2+(y+2)2=2
D.(x+2)2+(y-2)2=2
答案:D
解析:由题意设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(a0),
则|a|=|b|=r,|a+b-2|2=r,即b=-a=r,22=r,
解得b=-a=2,r=2,
所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=2.故选D.
12.设P为直线x-y=0上的动点,PA,PB为圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,A,B为切点,则四边形APBC的面积的最小值为( )
A.12B.2
C.22D.1
答案:D
解析:如图,由已知得圆C的圆心C的坐标为(2,0),半径为1,S四边形APBC=2S△PAC=2×12·|AC|·|PA|=|PC|2-1.
要使四边形APBC的面积最小,只需|PC|最小.
当PC垂直于直线x-y=0时,|PC|取得最小值,为|2-0|2=2.所以四边形APBC的面积的最小值为2-1=1.
13.(多选)已知圆M:(x-1-cs θ)2+(y-2-sin θ)2=1,直线l:kx-y-k+2=0,下列说法正确的是( )
A.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点
B.存在实数k与θ,直线l和圆M相离
C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切
D.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切
答案:AC
解析:对于A,根据题意知圆M的圆心坐标为(1+cs θ,2+sin θ),半径为1.无论θ取何值,都有(1-1-cs θ)2+(2-2-sin θ)2=1,从而圆M过定点(1,2).又因为kx-y-k+2=0可化为k(x-1)-y+2=0,所以直线l过定点(1,2),从而直线l和圆M有公共点.
对于B,圆心到直线l的距离
d=|k(1+csθ)-(2+sinθ)-k+2|k2+1=|kcsθ-sinθ|k2+1=|k2+1(sinβcsθ-csβsinθ)|k2+1=|sin(β-θ)|≤1=r(其中sin β=kk2+1,cs β=1k2+1),
从而不存在实数k与θ,使直线与圆M相离,所以不正确.
对于C,因为对任意实数k,tan β=k,所以必存在实数θ,使d=|sin(β-θ)|=|sin(π2+k0π)|=1=r,k0∈Z,即直线l与圆M相切,所以正确.
对于D,对任意实数θ,不一定存在实数k,使得直线l与圆M相切,如θ=0时,k不存在,所以不正确.
14.若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长是 .
答案:4
解析:如图,由题意可知O1A⊥OA,AB⊥OO1,|AB|=2|AC|.
∵|OA|=5,|O1A|=25,
∴|OO1|=5.
在Rt△OO1A中,|AC|=|OA||O1A||OO1|=2,
∴|AB|=2|AC|=2×2=4.
15.已知圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1,直线l:y=-x+2与x轴交于点A.若a=1,则直线l截圆C所得弦的长度为 ;若过l上一点P作圆C的切线,切点为Q,且|PA|=2|PQ|,则实数a的取值范围是 .
答案:2 [3-32,3+32]
解析:当a=1时,圆心C(1,0),r=1,
则圆心C到直线l的距离d=|1-2|1+1=22,
所以弦长=2r2-d2=21-12=2.
设P(m,-m+2),如图,过点P作PB⊥x轴,则有|PA|=2|PB|,又因为|PA|=2|PQ|,所以|PQ|=|PB|.因为|PQ|2=|PC|2-r2=(m-a)2+(-m+2-a+1)2-1,所以(-m+2)2=(m-a)2+(-m+2-a+1)2-1,整理得m2-2m+2a2-6a+4=0,由题意可知关于m的该方程有解,则Δ=4-4(2a2-6a+4)=-8a2+24a-12≥0,解得3-32≤a≤3+32.
16.已知点A(-2,0),B(2,0),若圆(x-a)2+(y-3)2=4上存在点P,使得∠APB=90°,则实数a的取值范围是 .
答案:[-7,7]
解析:因为直径所对的圆周角为90°,而∠APB=90°,所以以AB为直径的圆x2+y2=4与圆(x-a)2+(y-3)2=4存在公共点,故两圆相交或相切.
所以0≤a2+32≤4,解得-7≤a≤7.
17.如图,台风中心从A地以20千米/时的速度向北偏东45°方向移动,离台风中心不超过300千米的地区为危险区域.城市B在A地的正东400千米处.请建立恰当的平面直角坐标系,解决以下问题:
(1)求台风中心移动路径所在的直线方程;
(2)求城市B处于危险区域的时间是多少小时?
解:(1)如图,以B为原点,建立平面直角坐标系,由题意可知台风中心移动路径所在的直线的斜率为1,点A(-400,0),故台风中心移动路径所在的直线方程为y=x+400.
(2)以B为圆心,300为半径作圆,和直线y=x+400相交于A1,A2两点.
可以认为,当台风中心移到A1时,城市B开始处于危险区域,直到台风中心移到A2时解除影响.
因为点B到直线y=x+400的距离d=2002,
所以|A1A2|=23002-(2002)2=200,而20020=10(小时),所以城市B处于危险区域的时间是10小时.
18.如图,在平面直角坐标系Oxy中,已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0),在圆M上存在两点P,Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.
解:(1)圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,圆心为M(6,7),半径为r=5.由题意,设圆N的方程为(x-6)2+(y-b)2=b2(b>0),且(6-6)2+(b-7)2=b+5.解得b=1.故圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)因为kOA=2,所以可设l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0.
又|BC|=|OA|=22+42=25,由题意,圆M的圆心到直线l的距离为d=52-|BC|22=25-5=25,所以|2×6-7+m|22+(-1)2=25,解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为y=2x+5或y=2x-15.
(3)由TA+TP=TQ,可知TA=PQ,
因为P,Q为圆M上的两点,
所以|PQ|≤2r=10.
所以|TA|=|PQ|≤10,即(t-2)2+42≤10,解得2-221≤t≤2+221.
故实数t的取值范围为[2-221,2+221].
三、探究创新
19.已知圆O:x2+y2=9,点P为直线x+2y-9=0上一动点,过点P向圆O引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB过定点( )
A.49,89B.29,49
C.(1,2)D.(9,0)
答案:C
解析:因为P是直线x+2y-9=0上的任一点,所以设P(9-2m,m).因为PA,PB为圆O:x2+y2=9的两条切线,切点分别为A,B,所以OA⊥PA,OB⊥PB,所以点A,B在以OP为直径的圆C上,所以AB是圆O和圆C的公共弦.易知圆C的方程为x-9-2m22+y-m22=(9-2m)2+m24,
两圆的方程相减,得(2m-9)x-my+9=0,即公共弦AB所在直线的方程为(2m-9)x-my+9=0,可化为m(2x-y)+(-9x+9)=0,由2x-y=0,-9x+9=0得x=1,y=2.
所以直线AB恒过定点(1,2).故选C.
20.(多选)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,|AB|=|AC|=4,点B(-1,3),C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则下列说法正确的是( )
A.圆M上的点到直线x-y+3=0的最小距离为22
B.圆M上的点到直线x-y+3=0的最大距离为32
C.若点(x,y)在圆M上,则x+3y的最小值为3-22
D.若圆(x-a-1)2+(y-a)2=8与圆M有公共点,则a的取值范围为[1-22,1+22]
答案:ACD
解析:因为|AB|=|AC|,所以△ABC的“欧拉线”为线段BC的垂直平分线,由点B(-1,3),C(4,-2)可得线段BC的中点为(32,12),且kBC=3+2-1-4=-1,所以线段BC的垂直平分线的方程为y-12=x-32,即x-y-1=0.
因为△ABC的“欧拉线”与圆M:(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,所以圆心(3,0)到直线x-y-1=0的距离d=r=|3-1|12+(-1)2=2,所以圆M的方程为(x-3)2+y2=2,圆心(3,0)到直线x-y+3=0的距离为|3+3|2=32.
A中,圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为32-2=22,所以A正确.
B中,圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最大值为32+2=42,所以B不正确.
C中,令t=x+3y,即y=t-x3,代入圆M的方程(x-3)2+y2=2,可得(x-3)2+(t-x)23=2,整理可得4x2-(18+2t)x+t2+21=0,因为点(x,y)在圆M上,所以4x2-(18+2t)x+t2+21=0有根,所以Δ=(18+2t)2-4×4×(t2+21)≥0,整理可得t2-6t+1≤0,解得3-22≤t≤3+22,所以t的最小值为3-22,即x+3y的最小值为3-22,所以C正确.
D中,圆(x-a-1)2+(y-a)2=8的圆心坐标为(a+1,a),半径为22,
圆M的圆心坐标为(3,0),半径为2,要使圆(x-a-1)2+(y-a)2=8与圆M有公共点,则圆心距d∈[22-2,22+2],即圆心距d∈[2,32],所以2≤(a+1-3)2+a2≤32,解得1-22≤a≤1+22,所以D正确.