2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第04讲基本不等式(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第04讲基本不等式(学生版+解析)，共5页。学案主要包含了易错点一，举一反三等内容，欢迎下载使用。
知识清单
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤ (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P).
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
易错分析
【易错点一】忽视基本不等式成立的条件而致误
【例1】（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
【举一反三】【变式1】（多选）（2024·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：利用基本不等式运算求解即可.
【详解】对于选项A：例如，则，可得，
所以的最小值不为4，故A错误；
对于选项B：因为，
则，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4，故B正确；
对于选项C：因为，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4，故C正确；
对于选项D：因为，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4，故D正确；
故选：BCD.
【变式2】（多选）（2022·江苏南通·一模）下列函数中最小值为6的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.
【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故A不正确.
对于B选项，，当且仅当，即时取“”，故B正确.
对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确.
对于D选项，，
当且仅当，即无解，故D不正确.
故选：BC.
【变式3】（多选）（2022·海南·模拟预测）下列各式中，最小值为2的是（ ）
A．B．（为锐角）
C．D．
【答案】AB
【分析】利用基本不等式求最值的使用条件来加以判断，即可得到选项.
【详解】对于A，因为，所以，则由基本不等式得，
当且仅当，即时，此时取等号，即选项A正确；
对于B，因为为锐角，所以，则由基本不等式得，
当且仅当，即时，此时取等号，即选项B正确；
对于C，由于，则由基本不等式得，
当且仅当，而，此时等号不成立，即选项C错误；
对于D，因为，所以，即，所以它的最小值不可能是2，
即选项D是错误的；
故选:AB.
题型方法
【题型一】利用基本不等式求最值
【例1】（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【举一反三】【变式1】（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式求出的最小值，即可得出答案.
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当，，，即，时等号成立，
所以的最大值为．
故选：A.
【变式2】（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（ ）
A．12B．C．36D．
【答案】D
【分析】由条件得，代入再运用均值不等式即可求出的最大值.
【详解】由，得，则，
因为，，所以
当且仅当，时等号成立，
所以的最大值为，
故选：D.
【变式3】（2025·陕西安康·模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】将变形得，代入再根据基本不等式可求出结果.
【详解】由题意，知，.由，得，
两边同时除以，得.
因为，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
【题型二】重要不等式链
【例2】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于ABC由基本不等式逐项验证，对于D，利用代入消元，借助二次函数求解.
【详解】对于A：，当且仅当时取等号，正确；
对于B：因为，所以当且仅当时取等号
所以，当且仅当时取等号，正确；
对于C: ，当且仅当时取等号，错误；
对于D:因为，所以
又，所以成立，正确
故选：ABD
【举一反三】【变式1】（多选）（2023·云南昆明·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．当时，
C．D．
【答案】BCD
【分析】由作差法可判断AC，根据基本不等式可判断BD.
【详解】对于A，，由于，所以，故，因此，故A错误，
对于B, 当时，由于，所以，因此，故B正确，
对于C，由于，所以 ，所以，故C正确，
对于D, 由于 ，，故D正确，
故选：BCD
【变式2】（多选）（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A，由基本不等式建立不等式，可得其正误；对于B，由等量关系可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得其正误；对于C，利用基本不等式隐藏“1”的妙用，可得其正误；对于D，由等量关系可得函数解析式，利用基本不等式，可得其正误.
【详解】对于A，，当且仅当，等号成立，则，故A正确；
对于B，由，则，由，则，
所以，故B错误；
对于C，，当且仅当，等号成立，故C正确；
对于D，由B易知，当且仅当，等号成立，则，故D正确.
故选：ACD.
【变式3】（多选）（2022·湖南衡阳·三模）已知实数，，．则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于A、D利用换元整理，，，再结合基本不等式；对于B根据，代入整理；对于C，结合计算处理．
【详解】∵，则
∴，当且仅当即时等号成立
A正确；
令，则
，当且仅当即时等号成立
D正确；
∵，即，则，当且仅当时等号成立，B正确；
∵，当且仅当时等号成立
，C不正确；
故选：ABD．
【题型三】对勾函数的应用
【例3】（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对勾函数的单调性，即可求解.
【详解】当时，为单调递增函数，不符合题意，
当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意，
当时，在单调递增，在单调递减，
故在上单调递减，则，
故选：C
【举一反三】【变式1】（2025·山东青岛·一模）已知等比数列的公比，存在，满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据等比数列的性质可得，再根据基本不等式结合对勾函数性质求解即可．
【详解】在等比数列中，由，得，即，
则，则，
当且仅当，即时取等号，此时，而，
由对勾函数的性质知，当时，；
当时，，又，
所以当时，取得最小值为.
故答案为：
【变式2】（2024·四川成都·模拟预测）已知，且，若当取最小值时有，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先判断，当且仅当时等号成立，根据对勾函数的单调性可得，解不等式即可得答案.
【详解】由于，当且仅当时等号成立.
.
由于对勾函数在上单调递减，上单调递增，
若取最小值时有，则，即.
解得，
又由于，所以的取值范围是.
故答案为:.
【变式3】（2021·全国·模拟预测）已知等差数列满足，.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 若等差数列的前项和为，数列的前项和为，求的最大值.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】(1)根据已知等式及等差数列的通项公式求出数列的公差，即可得数列的通项公式；(2)根据(1)得到，进而得到数列的通项公式，并利用裂项相消法求出，进而得到，最后借助对勾函数的单调性求得的最大值.
【详解】(1) 设等差数列的公差为，.
因为，，
所以，解得，
所以，.
(2) 由(1)可知，，
于是，
所以，
则，
由对勾函数的图象与性质可知函数在上单调递增，
所以当时，取得最大值，且最大值为.
【题型四】柯西不等式
【例4】（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】由题意，设，
则，即，
又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.
【举一反三】【变式1】（2024·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】由柯西不等式求解即可.
【详解】，由，解得，
当时，，当，，
当，则，
此时且，
由柯西不等式可得，
当且仅当，即时取等号，此时，即，
所以函数的最大值为2.
故选：C.
【变式2】（2021·陕西西安·模拟预测）在直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为.若A，B是椭圆上任意两点，则的最大值是
【答案】
【分析】法一：设，，直接利用柯西不等式求解；法二：设，，则，，两式相乘得到，再由，利用柯西不等式求解；
【详解】法一：设，，由柯西不等式可知
.
法二：设，，则，.
，
所以，
则，
由柯西不等式可知，
所以，
所以，
的最大值是.
故答案为：
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知均为正实数，且．证明：
(1)；
(2)若，则．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用柯西不等式推理即得.
（2）利用（1）的结论，再作差比较推理即得.
【详解】（1）由均为正实数，得，又，
则
，当且仅当时取等号，
所以.
（2）当时，由（1）得：，
因此，当且仅当时取等号，
则，由，即得取等号，
所以.
好题必刷
一、单选题
1．（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．2
【答案】D
【分析】利用基本不等式即得.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，且，即时，取等号，
所以的最小值为2.
故选：D.
2．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值.
【详解】因为，所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值为.
故选：B
3．（2025·全国·模拟预测）若，则在的展开式中（ ）
A．x的系数有最小值B．的系数有最小值
C．的系数有最小值D．的系数有最小值
【答案】A
【分析】分别求出展开式中、、、的系数即可得出结果.
【详解】的展开式的通项公式为，，
展开式中的系数为 ，
因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的系数有最小值，
展开式中的系数为，
当时，，该系数趋近于，但无最小值.
展开式中的系数为，
当时，该系数趋近于，无最小值.
展开式中的系数，为，
当时，该系数趋近于，无最小值.
综上，的系数有最小值.
故选：A.
4．（2021·浙江·模拟预测）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意得，则，进而由柯西不等式可得最大值.
【详解】由可得，即.
由可知，所以.
由，可得，
由柯西不等式得
，
所以，当即时，取等号.
所以的最大值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：在得出之后，关键在于根据题目特点应用柯西不等式求最大值.
二、多选题
5．（2021·江苏南通·一模）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据基本不等式及其性质，结合“1”的妙用以及对勾函数的性质，逐项进行分析判断即可得解.
【详解】对于A，因为，所以，
从而，正确.
对于B，因为，所以，解得，
所以，正确.
对于C，令()，，在为增函数，
所以在上单调递增，从而，即，错误.
对于D，因为，所以，正确.
故选：ABD
6．（2022·辽宁鞍山·二模）已知函数，若f(x)=a有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且满足x1