2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第03讲不等关系与不等式(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第03讲不等关系与不等式(学生版+解析)，共5页。学案主要包含了易错点一，举一反三等内容，欢迎下载使用。
知识清单
1．两个实数比较大小的方法
作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a b，,a－b＝0⇔a b，,a－bb⇔ ；
性质2 传递性：a>b，b>c⇒ ；
性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ ；a>b，cb，c>d⇒ ；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ；
性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．若ab>0，且a>b⇔eq \f(1,a)b>0，m>0⇒eq \f(b,a)a>0，m>0⇒eq \f(b,a)>eq \f(b＋m,a＋m).
易错分析
【易错点一】比较大小时忽视0这个特殊值
【例1】（2024·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】【变式1】（2024·北京丰台·二模）若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（多选）（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（多选）（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型方法
【题型一】 比较数或式的大小
【例1】（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】【变式1】（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2020·山东·模拟预测）已知为实数，则 (填 “”、“”、“”或“”).
【变式3】（2023·全国·模拟预测）（1）设a，b为正实数，求证：．
（2）设a，b，c为正实数，求证：．
【题型二】利用不等式的性质求取值范围
【例2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】【变式1】（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2025·四川自贡·二模）已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是 .
【变式3】（2023·浙江·模拟预测）已知中，内角所对的边分别为，且满足.
(1)若，求；
(2)求的取值范围．
好题必刷
一、单选题
1．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京·三模）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山东潍坊·模拟预测）若正数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·湖北黄冈·二模）已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
6．（2023·全国·模拟预测）下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
8．（2025·河北廊坊·模拟预测）若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
10．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是 ．
11．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则 ．
12．（2024·浙江·模拟预测）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是 .
13．（2024·北京西城·二模）在数列中，，．给出下列三个结论：
①存在正整数，当时，；
②存在正整数，当时，；
③存在正整数，当时，．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
14．（2024·重庆·一模）已知函数，曲线与有公共点，且在该点处的切线相同.
(1)用表示，并求的最小值；
(2)求证：当时，；
(3)已知，若方程有两个不等实根，证明：.
15．（2025·河北·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数存在大于1的极值点，证明：函数的极小值小于.
16．（2024·四川乐山·三模）设不等式的解集为.
(1)证明：；
(2)比较与的大小.
17．（2024·四川德阳·三模）已知a、b、c、d均为正数，且．
(1)证明:若，则;
(2)若，求实数 t 的取值范围．
18．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数，．
(1)试比较与的大小；
(2)若恒成立，求的取值范围．
19．（2025·云南·一模）定义：若函数对于定义域内的任意，都有，则称函数为 “下凸函数”；反之，若，则称函数为 “上凸函数”.已知函数（）.
(1)当，，时，判断函数是 “上凸函数” 还是 “下凸函数”，并说明理由.
(2)若函数是 “下凸函数”，求的取值范围.
(3)若函数在区间上是 “下凸函数”， 在区间上不单调，且在区间上的最大值为，最小值为，求证：.
易错分析
易错点一 比较大小时忽视0这个特殊值
题型方法
题型一 比较数或式的大小
题型二 利用不等式的性质求取值范围
解题技巧
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
解题技巧
求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．