第4讲 基本不等式 - -2026年高考数学一轮复习基础梳理练习

这是一份第4讲 基本不等式 - -2026年高考数学一轮复习基础梳理练习，共27页。
知识点目录
\l "_bkmark0" 【知识点 1】基本不等式的理解及常见变形2
\l "_bkmark1" 【知识点 2】利用基本不等式求最值3
\l "_bkmark2" 【知识点 3】与基本不等式有关的恒(能)成立问题4
\l "_bkmark3" 【知识点 4】基本不等式的实际应用5
\l "_bkmark4" 【知识点 5】基本不等式与其他知识交汇的最值问题7
基础知识
a＋b
基本不等式： ab≤
2
基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立．
其中
a＋b
2
叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平均数．
利用基本不等式求最值
已知 x，y 都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 P.
已知 x，y 都是正数，如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值
1
S2. 4
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 常用结论
几个重要的不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
ba
＋≥2(a，b 同号)．
ab
(
a＋b
ab≤
2
)2(a，b∈R)．
(
)
a2＋b2a＋b
​
2
≥2 (a，b∈R)．
2
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
知识点 1
知识点
【知识点 1】基本不等式的理解及常见变形基本不等式的常见变形
)
a＋ba2＋b2
ab≤( 2
2≤.
2
a2＋b2
2
2 a＋b
(2)
1
≤ ab≤
1
≤
2
(a>0，b>0)．
＋
ab
典型例例题1：
【例 1】（2022 秋•射阳县校级月考）若ab  0 ，且a  b ，则下列不等式一定成立的是()
a2  b2
1  1
ab
b  a  2
ab
a  b 
ab
2
【例 2】（2024 秋•城西区校级月考）《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实
现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示， C 为线段 AB 上的点，且 AC  a ， BC  b ， O 为
AB 的中点，以 AB 为直径作半圆，过点C 作 AB 的垂线交半圆于点 D ，连接OD ， AD ， BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为点 E ，则该图形可以完成的无字证明为()
a  b „
2
ab (a  0, b  0)
a2  b2… 2ab(a  0, b  0)
ab…2(a  0, b  0) 1  1
ab
a2  b2
…
2
a  b
2
(a  0, b  0)
【例 3】（2021 秋•浙江月考）已知命题 p : a  b  0 ，命题q :
a2  b2
( a  b )2
，则 p 是q 成立的()
22
充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【例 4】（2022 秋•三水区校级月考）设a  0 ， b  0 ，则下列不等式中一定成立的是()
ab
2
A． a  b  1 … 2
B． ( a  b )2„
a2  b2
22
ab
C． 2ab …D． (a  b)( 1  1)… 4

a  bab
【例 5】（2025•河北模拟）已知a  0 ， b  0 ， 2a  b  1 ，则 1  a 的最小值为()
ab
A．2B． 7
2
C．4D．9
知识点 2
知识点
【知识点 2】利用基本不等式求最值 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
典型例例题1：
【例 6】（2025•五华区模拟）已知 x  0 ， y  0 ，且 x  y  xy  8  0 ，则 xy 的最小值为()
A．4B．8C．16D．32
【例 7】（2025•广东模拟）若 x  0 ， y  0 ，且 x  y  xy ，则 1 
x  1
2
y  1
的最小值为()
2
A．2B． 2
C．3D． 9
2
【例 8】（2024 秋•漯河期末）已知实数 x  0 ， y  0 ，且2x  y  1 ，则 1  2 的最小值为()
2
xy
2
4  4
8
C．8D．12
【例 9】（2025 春•深圳期中）函数 f (x)  x 
1
x  1
 1(x  1) 的最小值为()
A．2B．3C．4D．5
【例 10】（2025•新疆校级一模）已知 x (0, ) ，则 y  2x 
4
2x  1
的最小值为()
2
A．3B．4C． 3D．6
知识点 3
知识点
【知识点 3】与基本不等式有关的恒(能)成立问题
∃x∈M，使得 f(x)≥a，等价于 f(x)max≥a；
典型例题
∃x∈M，使得 f(x)≤a，等价于 f(x)min≤a.
例 1：
【例 11】（2024 秋•郑州期末）设正数a ， b 满足 1  2  1 ，若不等式a  2b…  x2  4x  9  m 对任
ab
意实数 x 恒成立，则实数m 的取值范围是()
m„ 4
m… 4
m„ 6
m… 2
【例 12】（2025•宜春校级开学）已知 x  0 ， y  0 ，且 x  2 y  xy  0 ，若 x  2 y  m 恒成立，则实数m 的取值范围为 (,8) ．
【例 13】（2024 秋•红河州期末）已知a ， b 为正实数，且满足 1 9 2 ，若对于任意1„ x„ 4 ，
ab  2
不等式a  b… x2  4x  m 恒成立，则实数m 的取值范围为 [6 ， ) ．
【例 14】（2024 秋•榆林期末）已知m  0 ， n  0 ，且m2  n2  1  mn ，则下列不等式恒成立的是
()
m2  n2… 2
1  1  2
mn
m  2 3
3
m3  n3„ 2
【例 15】（2024•湖南学业考试）已知m  1， n  0 ， m2  2m  n  0 ，若不等式 1
m  1
 m  λ恒成
n
立，则实数λ的最大值为()
A．2B．3C．4D．6
知识点 4
知识点
【知识点 4】基本不等式的实际应用
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象
出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
典型例例题1：
【例 16】（2024 秋•昌吉州期末）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元，
若每批生产 x 件，则平均仓储时间为 x 天，且每件产品每天的仓储费用为 2 元，为使平均每件
4
产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()
A．12 件B．24 件C．36 件D．40 件
【例 17】（2024 秋•成都期末）已知某糕点店制作一款面包的固定成本为 400 元，每次制作 x 个，每天每个面包的存留成本为 1 元，若每个面包的平均存留时间为0.25x 天，为了使每个面包的
总成本最小，则每天应制作()
A．20 个B．30 个C．40 个D．50 个
【例 18】（2024 秋•广州期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3 ，深为3m ．如果池底每平方米的造价为 100 元，池壁每平方米的造价为 80 元，那么贮水池的最低
总造价是()
A．160000 元B．179200 元C．198400 元D．297600 元
【例 19】（2024 秋•科尔沁区校级期末）一天，陶渊明采菊东篱下．想用一段长为36m 的篱笆
围成一个一边靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，问这个矩形菜园的最大面积是()m2 ．
A．289B．104C．162D．138
【例 20】（2024 秋•柳州期末）某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为 100 平方米的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为 x ，宽为 y ．则至少需要 40米棚栏．
知识点 5
知识点
【知识点 5】基本不等式与其他知识交汇的最值问题
基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题．
典型例例题1：
【例 21】（2025 春•吉林期中）在函数 f (x)  6x  x2 的图象与 x 轴围成的封闭图形内作一内接矩形 ABCD ，则可作矩形的最大面积为()
3
3
3
6
12
6  2
D．27
【例 22】（2025 春•莲湖区期中）已知复数 z  a  bi(a ， b  R ，且ab  0) ，若 z  2 是纯虚数，则
z  2
1  4
a2b2
的最小值是()
A．9B．4C．1D． 9 4
【例 23】（2025 春•太原期中）已知△ ABC 中，过 BC 中点 D 的直线分别与直线 AB ， AC 交于点
–––→–––→
E ， F ，且 AE  m AB(m  0) ，
–––→–––→
AF  n AC(n  0) ，则m  4n 的最小值为()
A．9B． 9
2
C．7D． 7
2
a
【例 24】（2024 秋•石嘴山期末）函数 y  lg x  ax1  2(a  0 且 a  1) 的图象恒过定点(k,b) ，若
m  n  b  k 且m  0 ， n  0 ，则 4  1 的最小值为()
mn
A．8B．9C． 9 2
D． 5
2
9x2  1
【例 25】（2024 秋•光明区校级期末）已知函数 f (x)  lg( 3x)  1 ，正实数 a ， b 满足
f (2a)  f (b  4)  2 ，则 4b 
a
a
2ab  b2
的最小值为()
A．1B．2C．3D．4
第 4 讲 基本不等式
知识点目录
\l "_bkmark5" 【知识点 1】基本不等式的理解及常见变形2
\l "_bkmark6" 【知识点 2】利用基本不等式求最值5
\l "_bkmark7" 【知识点 3】与基本不等式有关的恒(能)成立问题8
\l "_bkmark8" 【知识点 4】基本不等式的实际应用11
\l "_bkmark9" 【知识点 5】基本不等式与其他知识交汇的最值问题15
基础知识
a＋b
基本不等式： ab≤
2
基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立．
其中
a＋b
2
叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平均数．
利用基本不等式求最值
已知 x，y 都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 P.
已知 x，y 都是正数，如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值
1
S2. 4
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 常用结论
几个重要的不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
ba
＋≥2(a，b 同号)．
ab
(
a＋b
ab≤
2
)2(a，b∈R)．
(
)
a2＋b2a＋b
​
2
≥2 (a，b∈R)．
2
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
知识点 1
知识点
【知识点 1】基本不等式的理解及常见变形基本不等式的常见变形
)
a＋ba2＋b2
ab≤( 2
2≤.
2
a2＋b2
2
2 a＋b
(2)
1
≤ ab≤
1
≤
2
(a>0，b>0)．
＋
ab
典型例例题1：
【例 1】（2022 秋•射阳县校级月考）若ab  0 ，且a  b ，则下列不等式一定成立的是()
a2  b2
【答案】C
1  1
ab
b  a  2
ab
a  b 
ab
2
【分析】举反例a  1 ， b  2 可判断 ABD 错误，利用基本不等式可判断C 正确．
【解答】解：对于 A ，若a  1 ， b  2 ，则a2  b2 ，故 A 错误，
对于 B ，若a  1 ， b  2 ，则 1  1 ，故 B 错误，
ab
对于C ，Q ab  0 ， b  0 ， a  0 ，又a  b ，
ab
b  a a b
 b  a  2
ab
 2 ，故C 正确，
ab
对于 D ，若a  1 ， b  2 ，则 a  b ，故 D 错误，
2
故选： C ．
【例 2】（2024 秋•城西区校级月考）《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实
现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示， C 为线段 AB 上的点，且 AC  a ， BC  b ， O 为
AB 的中点，以 AB 为直径作半圆，过点C 作 AB 的垂线交半圆于点 D ，连接OD ， AD ， BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为点 E ，则该图形可以完成的无字证明为()
a  b „
2
ab (a  0, b  0)
a2  b2… 2ab(a  0, b  0)
ab…2(a  0, b  0) 1  1
ab
a2  b2
…
2
a  b
2
(a  0, b  0)
【答案】C
【分析】先明确 a  b ,
2
ab 的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相
应的比例式，结合不等关系，即可证明 A ， C 选项；由于a2  b2 在该图中没有相应的线段与之对应，可判断 B ， D 选项．
【解答】解：由C 为线段 AB 上的点，且 AC  a ，BC  b ，O 为 AB 的中点，以 AB 为直径作半圆，
可知 AB  a  b, OA  OB  OD  a  b ，
2
由 Rt △ ACD∽Rt △ DCB 可知 CD  AC ，即CD2  AC  BC  ab ，
BCCD
ab
所以CD ；在 Rt △ OCD 中， OD  CD ，即 a  b 
2
ab (a  0, b  0)
当OD  AB 时， O ， C 点重合， a  b ，此时 a  b 
2
ab (a  0, b  0) ，所以 A 错误；
在 Rt △ OCD 中， Rt △ DEC∽Rt △ DCO 可得 CD  DE ，
DOCD
所以CD2ab
2ab2
DE ，

ODa  ba  b11
2ab
由于CD  DE ，所以
1，
ab
1  1
ab
当a  b 时， CD  DE ，此时
1
ab
1  1
ab
，所以C 正确；
由于a2  b2 在该图中没有相应的线段与之对应，故 B ， D 中的不等式无法证明．故选： C ．
【例 3】（2021 秋•浙江月考）已知命题 p : a  b  0 ，命题q :
a2  b2
( a  b )2
，则 p 是q 成立的()
22
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】 A
a2  b2
a  b 222222
【分析】命题q :
()
22
 2a
 2b
a  2ab  b
 (a  b)
0 ，可解决此题．
a2  b2
a  b 222222
【解答】解：命题 q :
成立，
()
22
 2a
 2b
a  2ab  b
 (a  b)
0 ，对任意 a 、b  R 都
 p 是q 成立的充分不必要条件．故选： A ．
【例 4】（2022 秋•三水区校级月考）设a  0 ， b  0 ，则下列不等式中一定成立的是()
ab
2
a  b  1 … 2
( a  b )2„
a2  b2
22
ab
2ab …D． (a  b)( 1  1)… 4

a  bab
【答案】 ABD
【分析】利用基本不等式，分别判断 ACD ，再用作差法判断 B ．
ab
ab
2
【解答】解：Q a  0 ， b  0 ，
ab
ab
 a  b 
1 … 2
 1
… 2，
ab
当且仅当a  b ，且2
 1
，即a  b 
2 时取等号，故 A 正确；
2
a2  b2 
a  b 2(a  b)2
a  b 2
a2  b2
() … 0 ，() „，故 B 正确；
22422
Q a  b… 2
0 ， 2ab „
2ab
 ab ，
ab
ab
a  b
2 ab
当且仅当a  b 时取等号， 2ab
a  b

不一定成立，故C 错误；
Q(a  b)( 1  1)  2  b  a … 4 ，当且仅当a  b 时，取等号，故 D 正确．
abab
故选： ABD ．
【例 5】（2025•河北模拟）已知a  0 ， b  0 ， 2a  b  1 ，则 1  a 的最小值为()
ab
A．2B． 7
2
C．4D．9
【答案】C
【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值．
【解答】解：由2a  b  1 ， a  0 ， b  0 ，得 1  a  2a  b  a  2  b  a  4 ，
ababab
当且仅当a  b 且2a  b  1 ，即a  b  1 时取等号．
3
故选： C ．
知识点 2
知识点
【知识点 2】利用基本不等式求最值 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
典型例例题1：
【例 6】（2025•五华区模拟）已知 x  0 ， y  0 ，且 x  y  xy  8  0 ，则 xy 的最小值为()
A．4B．8C．16D．32
【答案】C
【分析】根据基本不等式的解法求解即可．
xy
【解答】解：由题意可知 xy  x  y  8  2 8 ，
xy
即 xy  2 8  0 ．
xy
令 t(t  0) ，则t2  2t  8… 0 ．
解得t… 4 或t„  2 （舍) ．
xy
即 4 ， xy… 16 ．
当且仅当 x  y  4 时，等号成立．故选： C ．
【例 7】（2025•广东模拟）若 x  0 ， y  0 ，且 x  y  xy ，则 1 
x  1
2
y  1
的最小值为()
2
A．2B． 2
【答案】 B
C．3D． 9
2
【分析】由题意可得 y 的表达式，由基本不等式可得 1 
x  1
2
y  1
的最小值．
【解答】解：因为 x  0 ， y  0 ，且 x  y  xy ，可得 y 
x
x  1
 0 ，可得 x  1 ，
所以 y  1 
x
x  1
 1 
1，
1
x  1
 2(x  1)
2
x  1
所以 1 
x  1
2
y  1
1
x  1
 2  (x  1)… 2
 2，
当且仅当 1
x  1
 2(x  1) ，即 x  1 
2 时取等号，
2
所以 1 
x  1
2
y  1
的最小值为2 2 ．
故选： B ．
【例 8】（2024 秋•漯河期末）已知实数 x  0 ， y  0 ，且2x  y  1 ，则 1  2 的最小值为()
2
xy
2
4  4
8
C．8D．12
【答案】C
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解： x  0 ， y  0 ，且2x  y  1 ，
y  4x xy
则 1  2  (2x  y)( 1  2 )  4  y  4x  4  2 8 ，当且仅当 y  2x ，集 x  1 ， y  1 时取等号．
xyxyxy42
故选： C ．
【例 9】（2025 春•深圳期中）函数 f (x)  x 
1
x  1
 1(x  1) 的最小值为()
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根据基本不等式求解即可．
(x  1) 
1
x  1
【解答】解：当 x  1 时， x  1  0 ，
则 f (x)  x 
1
x  1
 1  x  1 
1
x  1
 2  2
 2  4 ，
当且仅当 x  1 故选： C ．
1
x  1
，即 x  2 时等号成立．
【例 10】（2025•新疆校级一模）已知 x (0, ) ，则 y  2x 
4
2x  1
的最小值为()
2
A．3B．4C． 3D．6
【答案】 A
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值．
【解答】解：因为 x (0, ) ，
(2x  1) 
4
2x  1
y  2x 4 2x  1 4 1  2
 1  3 ，
2x  12x  1
当且仅当2x  1 故选： A ．
4
2x  1
，即 x  1 时取等号．
2
知识点 3
知识点
【知识点 3】与基本不等式有关的恒(能)成立问题
∃x∈M，使得 f(x)≥a，等价于 f(x)max≥a；
∃x∈M，使得 f(x)≤a，等价于 f(x)min≤a.
典型例例题1：
【例 11】（2024 秋•郑州期末）设正数a ， b 满足 1  2  1 ，若不等式a  2b…  x2  4x  9  m 对任
ab
意实数 x 恒成立，则实数m 的取值范围是()
m„ 4
m… 4
m„ 6
m… 2
【答案】 B
【分析】由已知结合基本不等式可求a  2b 的最小值，然后结合恒成立与最值关系的转化及二次函数性质即可求解．
【解答】解：因为正数a ， b 满足 1  2  1 ，
ab
2b  2a ab
所以a  2b  (a  2b)( 1  2)  5  2b  2a  5  2
abab
 9 ，当且仅当a  b  3 时取等号，
若不等式a  2b…  x2  4x  9  m 对任意实数 x 恒成立，则9…  x2  4x  9  m 恒成立，所以m…  x2  4x 恒成立，
根据二次函数的性质可知，当 x  2 时， x2  4x 取得最大值 4，
故m… 4 ．故选： B ．
【例 12】（2025•宜春校级开学）已知 x  0 ， y  0 ，且 x  2 y  xy  0 ，若 x  2 y  m 恒成立，则实数m 的取值范围为 (,8) ．
【答案】(,8) ．
【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出 x  2 y 的最小值，即可得解．
【解答】解：因为 x  0 ， y  0 ，且 x  2 y  xy  0 ，
所以 1  2  1，
yx
x  4 y yx
所以 x  2 y  (x  2 y)( 1  2)  4  x  4 y  4  2
yxyx
 8 ，
当且仅当 x  4 y 且 1  2  1，即 y  2 ， x  4 时取等号，
yxyx
又 x  2 y  m 恒成立，所以m  8 ．故答案为： (,8) ．
【例 13】（2024 秋•红河州期末）已知a ， b 为正实数，且满足 1 9 2 ，若对于任意1„ x„ 4 ，
ab  2
不等式a  b… x2  4x  m 恒成立，则实数m 的取值范围为 [6 ， ) ．
【答案】[6 ， ) ．
【分析】先利用基本不等式“1”的妙用求得a  b 的最小值，从而得到任意1„ x„ 4 ，不等式恒成立，再利用二次函数的性质与恒成立问题的解法即可得解．
【解答】解：因为a ， b 为正实数，且满足 1 9 2 ，
ab  2
所以a  b  a  (b  2)  2  [a  (b  2)]( 1 9)  2
 3  b  2 
2a
9a 2(b  2)
 3  2
2a2(b  2)
b  2 
9a
2a2(b  2)
 6 ，
当且仅当 b  2 
2a
9a 2(b  2)
，即a  2 ， b  4 时，等号成立，
max
则由题意可得6… x2  4x  m 在 x [1 ， 4] 上恒成立，即m… x2  4x  6 在 x [1 ， 4] 上恒成立，只需m… (x2  4x  6)，
设函数 f (x)  x2  4x  6 ，其在[1 ， 2] 上单调递减，在[2 ， 4] 上单调递增，所以 f (x)  x2  4x  6 在 x  4 处取得最大值 f （4）  42  4  4  6  6 ，
所以m…  6 ，故实数m 的取值范围为[6 ， ) ．故答案为：[6 ， ) ．
【例 14】（2024 秋•榆林期末）已知m  0 ， n  0 ，且m2  n2  1  mn ，则下列不等式恒成立的是
()
m2  n2… 2
【答案】 BCD
1  1  2
mn
m  2 3
3
m3  n3„ 2
【分析】由重要不等式可得出 m
2  n2
2  2
mn
1 ，可判断 A 选项；利用基本不等式可得出
2
mn„ 1 ，再利用基本不等式及不等式的性质可判断 B 选项；分析可知，关于 n 的二次方程
n2  mn  m2  1  0 有实根，由△… 0 可判断C 选项；由基本不等式可得出m  n„ 2 ，再利用立方和公式可判断 D 选项．
【解答】解：因为m  0 ， n  0 ，且m2  n2  1  mn ，
对于 A ，由重要不等式可得m
2  n2
m2  n2
 1  mn  1 ，则m2  n2„ 2 ，
2
当且仅当m  n  1时，等号成立，故 A 错；
对于 B ，由重要不等式可得1  mn  m2  n2… 2mn ，可得mn„ 1 ，当且仅当m  n  1时，等号成立，
1
mn
所以 1  1  2
mn
2 2 ，当且仅当m  n  1时，等号成立，故 B 对；
mn
对于C ，由题意可知，关于n 的二次方程n2  mn  m2  1  0 有实根，则△  m2  4(m2  1)  4  3m2… 0 ，即m2  4 ，解得 2 3  m  2 3 ，
2 3
3
333
又因为m  0 ，所以， 0  m ，故C 对；
对于 D ，由m2  n2  1  mn 可得(m  n)2  1  3mn ，
2m  n 23(m  n)2
由基本不等式可得(m  n)
 1  3mn  1  3  ()  1 ，
可得(m  n)2 
4
24
1 ，即(m  n)2„ 4 ，
因为m  0 ， n  0 ，则m  n  0 ，所以， m  n„ 2 ，当且仅当m  n  1时，等号成立，
所以， m3  n3  (m  n)(m2  mn  n2 )  m  n„ 2 ，故 D 对．
故选： BCD ．
【例 15】（2024•湖南学业考试）已知m  1， n  0 ， m2  2m  n  0 ，若不等式 1
m  1
 m  λ恒成
n
立，则实数λ的最大值为()
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】根据“1”的变形技巧，利用均值不等式求最值即可得解．
【解答】解：因为m2  2m  n  0 ， m  1，
m2  2m  n nn
所以m  2   0 ，即m  1   1 ，
mmm
所以 1 m  ( 1 m )(m  1  n )  1  1 n m(m  1)

m  1nm  1nmm(m  1)n
 2  2
 4 ，当且仅当n m(m  1) ，即m  3 , n  3 时等号成立，
m(m  1)n
n m(m  1)
m(m  1)n24
故λ„ 4 ． 故选： C ．
知识点 4
知识点
【知识点 4】基本不等式的实际应用
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
典型例例题1：
【例 16】（2024 秋•昌吉州期末）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元，
若每批生产 x 件，则平均仓储时间为 x 天，且每件产品每天的仓储费用为 2 元，为使平均每件
4
产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()
A．12 件B．24 件C．36 件D．40 件
【答案】 D
【分析】平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 y ，则 y  800  x ，利用基本不等式，
x2
即可求得 ymin 和此时 x 的值．
【解答】解：设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 y ，
800  x x2
则由题意可得 y  800  x  2  800  x  2
 40 ，当且仅当 x  40 时取得最小值，
x4x2
即当每批应生产产品 40 件时 y 最小．故选： D ．
【例 17】（2024 秋•成都期末）已知某糕点店制作一款面包的固定成本为 400 元，每次制作 x 个，每天每个面包的存留成本为 1 元，若每个面包的平均存留时间为0.25x 天，为了使每个面包的
总成本最小，则每天应制作()
A．20 个B．30 个C．40 个D．50 个
【答案】C
【分析】根据题设有每个面包的总成本 y  400  x ，应用基本不等式求结果．
x4
x
【解答】解：因为固定成本为 400 元，每次制作 x 个，每天每个面包的存留成本为 1 元，若每个面包的平均存留时间为0.25x 天，
所以总成本为400  0.25x2
2
400 ，
4
则每个面包的总成本 y  400  x … 2 400  x… 20 ，
x4x4
当且仅当 x  40 时取等号，故每个面包的总成本最小，每天应制作 40 个．故选： C ．
【例 18】（2024 秋•广州期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3 ，深为3m ．如果池底每平方米的造价为 100 元，池壁每平方米的造价为 80 元，那么贮水池的最低
总造价是()
A．160000 元B．179200 元C．198400 元D．297600 元
【答案】C
【分析】设池底的长为 x ，宽为 y ，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有 4 个面，池底一个面，计算出建造这个水池的总造价是100xy  2(x  y)  3  80 ，结合基本不等关系求得最小值．
【解答】解：设池底的长为 x ，宽为 y ，
则3xy  4800 ，即 y  1600 ，
x
因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有 4 个面，池底一个面，
建造这个水池的总造价是
x  1600
x
100xy  2(x  y)  3  80  160000  480(x  1600)  160000  480  2
x
当且仅当 x  1600 ，即 x  40 时，等号成立，
x
所以贮水池的最低总造价是 198400 元．故选： C ．
 198400 ，
【例 19】（2024 秋•科尔沁区校级期末）一天，陶渊明采菊东篱下．想用一段长为36m 的篱笆
围成一个一边靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，问这个矩形菜园的最大面积是()m2 ．
A．289B．104C．162D．138
【答案】C
【分析】设出矩形菜园的靠墙的一边长为 xm ，由已知表示出另一边长，再求出矩形面积的表达式，法(i) 利用基本不等式即可求出菜园的最大面积；法(ii) 由二次函数的性质可得函数的最
大值．
【解答】解：设矩形菜园的靠墙的一边长为 xm ， 0  x  36 ，
因为篱笆的长为36m ，则宽为 36  x m ，
2
法(i) 所以矩形菜园的面积为： S  x  36  x  1  x  (36  x)„ 1  ( x  36  x )2  162 ，
2222
当且仅当 x  36  x ，即 x  18 时等号成立，所以矩形菜园的最大面积是162m2 ．
法(ii)S  x  36  x   1 (x2  36x) ， (0  x  36) ，
22
开口向下，对称轴 x  18 ，而18 (0, 36) ，
所以 x  18 时，则S  1 (182  36 18)  162 ．
max2
即矩形的面积的最大值为162m2 ．故选： C ．
【例 20】（2024 秋•柳州期末）某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为 100 平方米的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为 x ，宽为 y ．则至少需要 40米棚栏．
【答案】40．
【分析】根据面积可得 xy  100 ，周长为2(x  y) ，然后根据基本不等式求最小值．
【解答】解：由题意可得 xy  100 ，且周长 L  2(x  y) ，
xy
x  0 ， y  0 ，则2(x  y)… 2  2
 2  2
 40 ，
100
当 x  y  10 取等号，
即至少需要 40 米棚栏．故答案为：40．
知识点 5
知识点
【知识点 5】基本不等式与其他知识交汇的最值问题
基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题．
典型例例题1：
【例 21】（2025 春•吉林期中）在函数 f (x)  6x  x2 的图象与 x 轴围成的封闭图形内作一内接矩形 ABCD ，则可作矩形的最大面积为()
3
6
12
6  2
D．27
3
3
【答案】 B
【分析】设 A 、 B 在抛物线上，若 A(x, 6x  x2 ) ，则点 B(6  x, 6x  x2 ) ，所以矩形 ABCD 的面积可表示为S (x)  (6  2x)(6x  x2 ) ， x (0, 3) ，再利用导数求出其最大值即可．
【解答】解：设 A 、 B 在抛物线上，若 A(x, 6x  x2 ) ，则点 B 的坐标为(6  x, 6x  x2 ) ，所以矩形 ABCD 的面积可表示为S (x)  (6  2x)(6x  x2 ) ， x (0, 3) ，
所以S (x)  2(6x  x2 )  (6  2x)2  6x2  36x  36 ，
3
3
令 S (x)  0 ，解得 x  3 或 x  3 （舍去），又因为 S (x) 在(0, 3  3) 上单调递增，在(3  3 ，
3) 上单调递减，
3
所以矩形的最大面积为S (3  3)  2 3  6  12．
故选： B ．
【例 22】（2025 春•莲湖区期中）已知复数 z  a  bi(a ， b  R ，且ab  0) ，若 z  2 是纯虚数，则
z  2
1  4
a2b2
的最小值是()
A．9B．4C．1D． 9 4
【答案】 D
【分析】结合复数的基本运算及概念先求出a ， b 的关系，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为复数 z  a  bi(a ， b  R ，且ab  0) ，
若 z  2  a  2  bi  (a  2  bi)(a  2  bi)  a2  b2  4  4bi 是纯虚数，
z  2a  2  bi(a  2  bi)(a  2  bi)(a  2)2  b2
则a2  b2  4 ，
1  4
 a2  b2  a2  b2  1  b2
 a2   5 
 9 ，
a2b2
4a2

b244a2
1
b24
2
4a2
b2  a2
b2
4
当且仅当b2  2a2 ，即a2  4 ， b2  8 时取等号．
33
故选： D ．
【例 23】（2025 春•太原期中）已知△ ABC 中，过 BC 中点 D 的直线分别与直线 AB ， AC 交于点
–––→–––→
E ， F ，且 AE  m AB(m  0) ，
–––→–––→
AF  n AC(n  0) ，则m  4n 的最小值为()
A．9B． 9
2
C．7D． 7
2
【答案】 B
【分析】结合向量的线性运算求出 1  1  2 ，然后结合基本不等式即可求解．
mn
–––→–––→–––→–––→
【解答】解：因为 D 为 BC 的中点，且 AE  m AB(m  0) ， AF  n AC(n  0) ，
则1
–––→
AD 
–––→–––→
( AB  AC)
1 1 –––→1 –––→
(，
AE AF )
22 mn
所以 1 ( 1  1 )  1，即 1  1  2 ，
2 mnmn
则m  4n  1 (m  4n)( 1  1 )  1 (5  4n  m )  1 (5  2 4n  m )  9 ，
2mn2mn2
mn2
当且仅当m  2n ，即m  3 ， n  3 时取等号．
24
故选： B ．
a
【例 24】（2024 秋•石嘴山期末）函数 y  lg x  ax1  2(a  0 且 a  1) 的图象恒过定点(k,b) ，若
m  n  b  k 且m  0 ， n  0 ，则 4  1 的最小值为()
mn
A．8B．9C． 9 2
5
2
【答案】C
【分析】首先要找到函数图象恒过的定点，得出k 和b 的值，进而得到m  n 的值．然后利用均
值不等式来求 4  1 的最小值．
mn
a
【解答】解：函数 y  lg x  ax1  2(a  0 且a  1) 的图象，令 x  1 时，则 y  3 ，
a
即函数 y  lg x  ax1  2 的图象恒过定点(1, 3) ，所以k  1， b  3 ，
已知m  n  b  k ，把k  1， b  3 代入可得m  n  3  1  2 ，即 1 (m  n)  1 ，
2
所以 4  1  ( 4  1 )  1 (m  n)  1 (4  1  4n  m )… 1 (5  2 4n  m )  9 ．
mnmn22
mn2
mn2
当且仅当 m  4n 时等号成立，
nm
即 4  1 的最小值为 9 ．
mn2
故选： C ．
9x2  1
【例 25】（2024 秋•光明区校级期末）已知函数 f (x)  lg( 3x)  1 ，正实数 a ， b 满足
f (2a)  f (b  4)  2 ，则 4b 
a
a
2ab  b2
的最小值为()
A．1B．2C．3D．4
【答案】 B
【分析】结合函数的对称性可得2a  b  4 ，然后结合基本不等式即可求解．
9x2  1
9x2  1
【解答】解：因为数 f (x)  lg( 3x)  1 ，
9x2  1
所以 f (x)  f (x)  lg(
 3x)  lg(
 3x)  2
 lg1  2  2 ，
所以 f (x) 关于(0,1) 对称，
4b  a a4b
正实数a ， b 满足 f (2a)  f (b  4)  2 ，则2a  b  4  0 ，即2a  b  4 ，
则 4b a
 4b a
 4b  a
 2
 2 ，
a2ab  b2
ab(2a  b)
a4b
当且仅当a  4b ，即b  4 ， a  16 时取等号．
99
故选： B ．