2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第06讲函数的概念及其表示(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第06讲函数的概念及其表示(学生版+解析)，共5页。学案主要包含了易错点一，举一反三等内容，欢迎下载使用。
知识清单
1．函数的概念
一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素： 、 、 ．
(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有 、图象法和 ．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
易错分析
【易错点一】对抽象函数定义域的理解不透彻
【例1】（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【举一反三】【变式1】（2021·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是
【变式3】（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
题型方法
【题型一】函数的定义域
【例1】（2025·江西·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．{0，1，3}B．C．{1，3}D．
【举一反三】【变式1】（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·广东惠州·模拟预测）若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ．
【变式3】（2023·江西九江·模拟预测）若的定义域为，求的定义域．
【题型二】判断相同函数
【例2】（2023·四川·模拟预测）与函数是相同函数的是（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】【变式1】（2023·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式2】（2020·广东中山·模拟预测）下列各组表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式3】（多选）（2021·江西·模拟预测）下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【题型三】函数的值域与最值
【例3】（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】【变式1】（2020·辽宁·模拟预测）已知函数是偶函数，则函数的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．3
【变式2】（2025·安徽·一模）函数的值域为 .
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)求的值域；
(2)求不等式的解集．
【题型四】分段函数问题
【例4】（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】【变式1】（2025·江西·模拟预测）已知函数满足若，则（ ）
A．1B．4C．5D．2024
【变式2】（2025·上海松江·三模）已知函数，则的值域为 .
【变式3】（2022·山东济南·二模）已知函数
(1)若，求m的值；
(2)若，求a的取值集合．
好题必刷
一、单选题
1．（2020·天津·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
2．（2024·云南曲靖·二模）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．（2025·福建福州·模拟预测）已知，，，，（ ）
A．B．0C．1D．2
5．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·青海海南·二模）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2025·黑龙江大庆·三模）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（ ）
A．2B．3C．6D．9
二、多选题
8．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（ ）
A．函数与表示同一函数
B．函数与是同一函数
C．函数的图象与直线的图象至多有一个交点
D．函数，则0
9．（2023·海南·模拟预测）已知定义在上的函数不恒等于零，同时满足，且当时，，那么当时，下列结论不正确的为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2025·辽宁辽阳·二模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．是奇函数D．在上单调递减
11．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．函数的值域为
三、填空题
12．（2023·广东佛山·模拟预测）写出一个同时具备下列性质①②③的函数 .
①定义城为，②导函数；③值域为
13．（2022·上海·模拟预测）若，则函数的值域为 .
14．（2025·上海静安·模拟预测）已知集合，则 ．
15．（2023·陕西西安·模拟预测）函数的最大值是 ；最小值是 .
16．（2022·上海·模拟预测）设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 .
四、解答题
17．（2024·西藏拉萨·二模）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)证明：当时，恒成立.
18．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，记的值域为集合，的值域为集合.
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
19．（2022·江西·二模）已知函数的定义域为M．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)求．
20．（2024·上海闵行·一模）已知
(1)若，求函数的值域；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围．
易错分析
易错点一 对抽象函数定义域的理解不透彻
题型方法
题型一 函数的定义域
题型二 判断相同函数
题型三 函数的值域与最值
题型四 分段函数问题
解题技巧
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；
(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
解题技巧
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．