2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第08讲基本初等函数(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第08讲基本初等函数(学生版+解析)，共5页。学案主要包含了易错点一，举一反三等内容，欢迎下载使用。
知识清单
一．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α1，且n∈N*.
(2)式子eq \r(n,a)叫做 ，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)(eq \r(n,a))n＝ .
当n为奇数时，eq \r(n,an)＝ ，
当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：＝ ＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂没有意义．
五．指数幂的运算性质
aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈Q)．
六．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是 .
(2)指数函数的图象与性质
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
七．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作 .
以e为底的对数叫做自然对数，记作 .
八．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：lga1＝ ，lgaa＝ ，＝ (a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝ ；
②lgaeq \f(M,N)＝ ；
③lgaMn＝ (n∈R)．
(3)对数换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
九．对数函数的图象与性质
十.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数 (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称．
常用结论
1．lgab·lgba＝1，＝eq \f(n,m)lgab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).
易错分析
【易错点一】忽略对含参数的底数的分类讨论
【例1】（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】【变式1】（2024·陕西西安·一模）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【变式2】（2024·贵州贵阳·二模）已知集合，集合且，若，则的取值范围是 .
【变式3】（2025·上海·三模）设且，已知函数．
(1)判断是否为偶函数，并说明理由；
(2)令函数，解关于的不等式．
题型方法
【题型一】指数幂与对数的运算
【例1】（2020·全国I卷·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】【变式1】（2025·山西临汾·三模）已知，，则（ ）
A．3B．1C．D．
【变式2】（2025·重庆九龙坡·三模）已知 ，则 .
【变式3】（2024·上海黄浦·二模）设，函数.
(1)求的值，使得为奇函数；
(2)若，求满足的实数的取值范围.
【题型二】幂函数的图象与性质
【例2】（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】【变式1】（2025·天津·二模）已知函数，则此函数是（ ）
A．偶函数，且在区间上单调递减B．偶函数，且在区间上单调递增
C．奇函数，且在区间上单调递减D．奇函数，且在区间上单调递增
【变式2】（2020·上海杨浦·一模）函数的定义域为 ．
【变式3】（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ．
【题型三】指数（型）函数的图象与性质
【例3】（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】【变式1】（2025·河南·三模）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数在R上单调递增，则的取值范围是 ．
【变式3】（2024·上海黄浦·二模）设，函数.
(1)求的值，使得为奇函数；
(2)若，求满足的实数的取值范围.
【题型四】对数（型）函数的图象与性质
【例4】（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【举一反三】【变式1】（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（ ）
A．一、二象限B．一、三象限C．二、四象限D．三、四象限
【变式2】（2025·海南·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【变式3】（2025·上海崇明·二模）已知．
(1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；
(2)若且，解关于x的不等式．
好题必刷
一、单选题
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·山东青岛·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
6．（2025·江苏苏州·三模）若，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·山东滨州·二模）（多选）若实数a，b满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
9．（2025·河南·模拟预测）已知函数，若，则的最大值为 .
10．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若，则的最大值为 .
11．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ．
四、解答题
12．（2023·江苏连云港·模拟预测）计算：
(1)；
(2).
13．（2024·河南·模拟预测）已知，函数.
(1)若，求的值；
(2)若分别为的零点，求的值.
14．（2025·上海黄浦·二模）已知．
(1)若，求的值；
(2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由．
15．（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的值；
(2)若，求函数的值域.
16．（2025·上海宝山·三模）已知，函数.
(1)若，求函数的表达式及定义域；
(2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围.
17．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且）
(1)若，求方程的解；
(2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值.
18．（2025·江苏苏州·三模）已知函数．
(1)若，解关于的不等式；
(2)证明：关于的方程有且仅有一个实根；
(3)证明：的充要条件是．
易错分析
易错点一 忽略对含参数的底数的分类讨论
题型方法
题型一 指数幂与对数的运算
题型二 幂函数的图象与性质
题型三 指数（型）函数的图象与性质
题型四 对数（型）函数的图象与性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a1
0