2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第02讲同角三角函数的基本关系及诱导公式(精练+相遇真题)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第02讲同角三角函数的基本关系及诱导公式(精练+相遇真题)(原卷版+解析)，共14页。试卷主要包含了若，则，已知角终边上一点，则，已知，则等内容，欢迎下载使用。
A夯实基础
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．1B．C．9D．
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．对于角θ，当分式有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子（ ）
A．B．
C．D．
8．（多选）已知，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
9．已知角终边上一点，则 ．
10．设为第二象限角，且，则 .
11．平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
(1)求和的值
(2)若，化简并求值
12．已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
B相遇高考
1．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ．
C素养提升
1．（24-25高一下·湖北恩施·期中）公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论．黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·广东汕尾·阶段练习）把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体（图1），若中间层旋转角（为锐角，如图2所示），记表面积增加量为，则 ，S的最大值是 ．
4．（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（）的池底水平铺设污水净化管道（Rt，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记．
(1)试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域；
(2)若，求此时管道的长度；
(3)当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
第02讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式
A夯实基础 B相遇高考 C素养提升
A夯实基础
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，平方即可得出的值.
【详解】由题意，，
∴，
解得：．
故选：C.
2．若，则（ ）
A．1B．C．9D．
【答案】D
【分析】切弦转化，将分子分母同时除以，从而将原式化为仅含有的表达式，再代入已知值计算.
【详解】．
故选：D.
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由诱导公式和二倍角的余弦公式计算可得.
【详解】.
故选：C.
4．已知角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义可得出的值，再利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值.
【详解】由题意，点为角终边上一点，由三角函数定义可得，
所以．
故选：B．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式可得出的值，再利用弦化切可得出所求代数式的值.
【详解】由得，则．
故选：B．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的除法公式化简齐次式，结合诱导公式可得解.
【详解】因为，所以，解得，
于是，
故选：A．
7．对于角θ，当分式有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将直接切化弦化简可得，选项中的分式利用同角间的关系切化弦化简，即可判断.
【详解】由题意知，
∵，∴A不符合题意；
∵，∴B不符合题意；
∵，∴C不符合题意；
∵，∴D符合题意．
故选：D．
8．（多选）已知，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据同角三角函数的平方式，结合题意可得角的取值范围，建立方程组可得正弦值与余弦值，由同角三角函数的商式关系，逐项检验，可得答案.
【详解】将两边同时平方，整理得，
所以．故D正确．
又，所以，
所以由解得故C正确，
所以，故A，B错误．
故选：CD.
9．已知角终边上一点，则 ．
【答案】
【分析】由三角函数的定义得，再应用诱导公式、齐次式法求值即可.
【详解】由题设，，则，
.
故答案为：
10．设为第二象限角，且，则 .
【答案】
【详解】由，即，解得或.又为第二象限角，故且，所以.
11．平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
(1)求和的值
(2)若，化简并求值
【答案】(1)，；
(2)，4.
【分析】（1）根据三角函数的定义及已知终边上的点求对应三角函数值；
（2）应用诱导公式化简函数式，由弦化切及（1）中结果求值即可.
【详解】（1）由题设，，
所以；
（2）由题设.
12．已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可求出；
（2）分子分母同时除以即可构造出关于的式子，即可求解；
（3）变形得出，再利用齐次式构造得出，即可求出.
【详解】（1）由题意得，，
即，
若，则，不符合，
故，则.
（2）.
（3）.
B相遇高考
1．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
C素养提升
1．（24-25高一下·湖北恩施·期中）公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论．黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式、诱导公式将所求式化简，结合条件代入计算可得结果.
【详解】由题意得，，
∵，∴，
∴.
故选：C．
2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二倍角公式与诱导公式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以
.
故选：D.
3．（24-25高三上·广东汕尾·阶段练习）把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体（图1），若中间层旋转角（为锐角，如图2所示），记表面积增加量为，则 ，S的最大值是 ．
【答案】
【分析】设三角形的斜边长为，则，表示出，代入求出，；由基本不等式得到，结合，求出，，即．
【详解】显然这些个三角形全等，且增加的三角形个数为16个，
设三角形的斜边长为，则①，
所以，
当时，由①式得，，
所以；
，
因为，当且仅当时，等号成立，
又由①可得，，
所以，
因为为锐角，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
即．
故答案为：，
【点睛】关键点点睛：设三角形的斜边长为，则，，在此基础上，进行求解，特别是求解面积的最大值，需用到基本不等式.
4．（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（）的池底水平铺设污水净化管道（Rt，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记．
(1)试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域；
(2)若，求此时管道的长度；
(3)当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
【答案】(1)，．
(2)（米）．
(3)或，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．
【分析】（1）首先用将线段表示出来，进而可得到长度的表达式，然后根据线段的长度求出的范围.
（2）根据已知条件先求出的值，进而可求出管道的长度.
（3）首先设，化简的表达式，然后求出的范围，根据函数的单调性即可求出的最大值.
【详解】（1）
根据题意，，，
．
由于，，
所以，
所以．
所以，．
（2）
当时，等式两边平方得.
所以.
所以（米）．
（3）
因为，设，
等式两边平方得，
则，所以．
由于，所以，．
由于在上单调递减，
所以当即或时，取得最大值米．
答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．