2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式(学生版+解析)

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\l "_Tc23062" 【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】 PAGEREF _Tc23062 \h 3
\l "_Tc19236" 【题型2 正、余弦齐次式的计算】 PAGEREF _Tc19236 \h 5
\l "_Tc19341" 【题型3 诱导公式的简单应用】 PAGEREF _Tc19341 \h 6
\l "_Tc20805" 【题型4 三角函数式的化简、求值】 PAGEREF _Tc20805 \h 7
\l "_Tc26167" 【题型5 三角恒等式的证明】 PAGEREF _Tc26167 \h 8
\l "_Tc17473" 【题型6 同角三角函数与诱导公式的综合】 PAGEREF _Tc17473 \h 10
1、同角三角函数基本关系式及诱导公式
知识点1 同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
2．基本关系式的变形公式
知识点2 同角三角函数基本关系式的应用技巧
1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧
(1)利用可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化.
(2)形如等类型可进行弦化切.
2．注意公式的逆用及变形应用：
.
3．应用公式时注意方程思想的应用：
对于这三个式子，利用，可以知一求二.
知识点3 诱导公式的应用的解题策略
1．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如.
知识点4 同角关系式和诱导公式的综合应用的解题策略
1．化简、求值
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2．用诱导公式求值
用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有与，与，与等，常见的互补关系与，与，与等.
【方法技巧与总结】
1．同角三角函数关系式的常用变形：
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3．同角三角函数关系式的注意事项
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】
【例1】（2025·河北·模拟预测）已知α∈0,π，sinα+csα=225，则sinα−csα=（ ）
A．425B．−425C．215D．−215
【答案】A
【解题思路】将题给等式两边同时平方得到2sinαcsα=−1725，结合α范围可判断sinα,csα的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得sinα−csα.
【解答过程】sinα+csα2=1+2sinαcsα=825⇒2sinαcsα=−1725，
故sinα−csα2=1−2sinαcsα=4225，
又∵sinαcsα0，故csα0，故sinα−csα=425.
故选：A.
【变式1-1】（2025·甘肃金昌·二模）若sinα=csα+35，则tanα+1tanα=（ ）
A．825B．1625C．258D．2516
【答案】C
【解题思路】应用同角三角函数关系结合切化弦计算求解.
【解答过程】因为sinα−csα=35，所以sin2α+cs2α−2sinαcsα=925,sinαcsα=825.
因为tanα+1tanα=sinαcsα+csαsinα=sin2α+cs2αsinαcsα=1sinαcsα，所以tanα+1tanα=258.
故选：C.
【变式1-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知sinα+csα=34sinαcsα，则sinα+csα=（ ）
A．33B．34C．−33D．−13
【答案】D
【解题思路】由题意得sinα+csα=34×(sinα+csα)2−12，解一元二次方程即可得解.
【解答过程】因为sinαcsα=(sinα+csα)2−12，所以sinα+csα=34×(sinα+csα)2−12，
化简得3(sinα+csα)2−8sinα+csα−3=0，
解得sinα+csα=−13或sinα+csα=3（舍去，因为sinα+csα≤1+1=2，且等号不能成立）．
故选：D．
【变式1-3】（2025·广东汕头·模拟预测）设1+sinxcsx=227，则1+csxsinx=（ ）
A．32B．322C．2915D．31317
【答案】C
【解题思路】依题意可得csx=71+sinx22 csx≠0，根据平方关系求出sinx，即可求出csx，再代入计算可得.
【解答过程】因为1+sinxcsx=227，显然csx≠0，则csx=71+sinx22，
又sin2x+cs2x=1，所以sin2x+491+sinx2484=1，
即533sin2x+98sinx−435=0，解得sinx=−1或sinx=435533；
当sinx=−1时csx=0，不符合题意；
所以sinx=435533，则csx=71+43553322=308533，
所以1+csxsinx=1+308533435533=2915.
故选：C.
【题型2 正、余弦齐次式的计算】
【例2】（2025·广东惠州·模拟预测）已知tanα=−2，则sinα−csα3csα+sinα=（ ）
A．−3B．−13C．13D．3
【答案】A
【解题思路】利用弦化切方法即可直接求解.
【解答过程】由tanα=−2得sinα−csα3csα+sinα=tanα−13+tanα=−2−13+(−2)=−3.
故选：A.
【变式2-1】（2025·贵州黔南·三模）若csαcsα−sinα=33，则tanα=（ ）
A．1−33B．1−3C．33D．1+3
【答案】B
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，解得即可.
【解答过程】因为csαcsα−sinα=33，所以11−tanα=33，解得tanα=1−3.
故选：B.
【变式2-2】（2025·吉林·模拟预测）已知tanα=12，则sinα−csαsinα+3csα=（ ）
A．23B．−17C．12D．−12
【答案】B
【解题思路】利用齐次式法求值，代入计算即可得答案.
【解答过程】由于tanα=12，故sinα−csαsinα+3csα=tanα−1tanα+3=12−112+3=−17.
故选：B.
【变式2-3】（24-25高三上·山西运城·期末）已知角α的始边为x轴非负半轴，终边经过点2,−1，则sinα+csαsinα−csα=（ ）
A．3B．13C．−13D．−3
【答案】C
【解题思路】根据三角函数的定义，求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系化弦为切，代入即可求解.
【解答过程】由三角函数的定义可得tanα=−12，
所以sin α+cs αsin α−cs α=tanα+1tanα−1 =−12+1−12−1=−13.
故选：C.
【题型3 诱导公式的简单应用】
【例3】（2025·甘肃·模拟预测）已知角α满足sinα−10∘=15，则csα+260∘=（ ）
A．−265B．265C．−15D．15
【答案】D
【解题思路】根据三角函数诱导公式计算即可.
【解答过程】因为sinα−10∘=15，
所以csα+260∘=csα−10∘+270∘=sinα−10∘=15.
故选：D.
【变式3-1】（2025·甘肃庆阳·模拟预测）sin990°cs660°tan330°=（ ）
A．36B．−36C．12D．−12
【答案】A
【解题思路】根据诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解.
【解答过程】sin990°cs660°tan330°=sin720°+270°cs720°−60°tan360°−30°
=sin270°cs−60°tan−30°=sin270°cs60°−tan30°=−1×12×−33=36.
故选：A.
【变式3-2】（2025·河南·三模）已知∀x∈R,cs2x+φ=sin2x−π3，则sinπ−φ=（ ）
A．−32B．−12C．12D．32
【答案】B
【解题思路】根据诱导公式化简sin2x−π3=cs2x−5π6，再根据∀x∈R,cs2x+φ=sin2x−π3，可得φ=−5π6+2kπk∈Z，从而得所求.
【解答过程】由诱导公式可知sin2x−π3=csπ2−2x+π3=cs−2x+5π6=cs2x−5π6，
又∀x∈R,cs2x+φ=sin2x−π3，
所以φ=−5π6+2kπk∈Z，
所以sinπ−φ=sinφ=sin−5π6=−12.
故选：B.
【变式3-3】（2025·贵州黔南·模拟预测）已知角α的终边经过点P−3,4，则csπ2+α=（ ）
A．−35B．−45C．35D．45
【答案】B
【解题思路】根据三角函数值的定义求sinα，再结合诱导公式运算求解.
【解答过程】因为角α的终边经过点P−3,4，则sinα=4−32+42=45，
所以csπ2+α=−sinα=−45.
故选：B.
【题型4 三角函数式的化简、求值】
【例4】（2025·山东烟台·一模）已知tanα=−2，则csπ2+αsinπ−α−sin3π2−α=（ ）
A．−23B．23C．−2D．2
【答案】C
【解题思路】由诱导公式和商数关系计算即可.
【解答过程】原式=−sinαsinα−−csα=−sinαsinα+csα=−tanαtanα+1=2−2+1=−2.
故选：C.
【变式4-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知sin2π7+α=15，那么tan3π14−α=（ ）
A．−15B．±26C．265D．26
【答案】B
【解题思路】根据题意，由诱导公式化简，结合同角三角函数的关系代入计算，即可得到结果.
【解答过程】因为sin2π7+α=15，
所以cs3π14−α=csπ2−27π+α=sin27π+α=15，
则sin3π14−α=±1−cs23π14−α=±265，
所以tan3π14−α=sin3π14−αcs3π14−α=±26.
故选：B.
【变式4-2】（2024·山东·一模）已知tan3π−α=3，且α是第二象限角，则sinα等于（ ）
A．1010B．−1010C．31010D．−31010
【答案】C
【解题思路】根据诱导公式和同角三角函数关系得到方程组，解出即可.
【解答过程】tan3π−α=−tanα=3，则tanα=sinαcsα=−3，
又因为sin2α+cs2α=1，且α是第二象限角，所以sinα=31010.
故选：C.
【变式4-3】（2025·全国·一模）已知tan2βsin2β=3，则tan2β−2sin2β−sin2βtan2β=（ ）
A．1B．2C．3D．43
【答案】B
【解题思路】应用同角三角函数关系得出sin4β+3sin2β=3，再代入计算求解即可.
【解答过程】因为tan2βsin2β=3，所以sin2β2=31−sin2β，
所以sin2β2+3sin2β−3=0，即sin4β+3sin2β=3，
则tan2β−2sin2β−sin2βtan2β=3sin2β−2sin2β−sin2β3sin2β
=3sin2β−2sin2β−sin4β3 =9−6sin4β−sin6β3sin2β
=3sin4β+9sin2β−6sin4β−sin6β3sin2β =−3sin2β+9−sin4β3
=−3sin2β+3sin4β+9sin2β−sin4β3 =2sin4β+6sin2β3 =2×33=2.
故选：B.
【题型5 三角恒等式的证明】
【例5】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：tan(2π−x)sin(−2π−x)cs(6π−x)cs(π−x)sinx+3π2csπ2−x=sinx．
【答案】证明见解析
【解题思路】利用诱导公式化简即可.
【解答过程】左边=−tanx−sinxcsx−csx−csxsinx=tanxcsx=sinx=右边，
所以tan(2π−x)sin(−2π−x)cs(6π−x)cs(π−x)sinx+3π2csπ2−x=sinx．
【变式5-1】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）求证：
(1)1−2sinxcsxcs2x−sin2x=1−tanx1+tanx；
(2)sin4x+cs4x=1−2sin2xcs2x.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解题思路】（1）利用平方关系和商关系可证结论；
（2）利用平方关系可证结论.
【解答过程】（1）证明：左边=cs2x+sin2x−2sinxcsxcs2x−sin2x =csx−sinx2csx−sinxsinx+csx
=csx−sinxsinx+csx=1−tanxtanx+1=右边.
（2）证明：左边= cs2x+sin2x2−2cs2xsin2x =1−2cs2xsin2x=右边.
【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）求证：tan(2π−α)sin(−2π−α)cs(6π−α)sin(α+3π2)cs(α+3π2)=−tanα；
（2）设tan(α+8π7)=m，求证sin(15π7+α)+3cs(α−13π7)sin(20π7−α)−cs(α+22π7)=m+3m+1.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解题思路】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.
【解答过程】（1）左边=tan(−α)sin(−α)cs(−α)sin[2π−(π2−α)]cs[2π−(π2−α)] =(−tanα)(−sinα)csαsin[−(π2−α)]cs[−(π2−α)]=sin2α−sin(π2−α)cs(π2−α)=sin2α−csαsinα =−sinαcsα=−tanα=右边，所以原等式成立.
（2）方法1：左边=sin[π+(8π7+α)]+3cs[(α+8π7)−3π]sin[4π−(α+8π7)]−cs[2π+(α+8π7)] =−sin(8π7+α)−3cs(α+8π7)−sin(α+8π7)−cs(α+8π7)=tan(α+8π7)+3tan(α+8π7)+1=m+3m+1=右边，所以原等式成立.
方法2：由tan(α+8π7)=m，得tan(α+π7)=m，
所以，等式左边=sin[2π+(π7+α)]+3cs[(α+π7)−2π]sin[2π+π−(α+π7)]−cs[2π+π+(α+π7)] =sin(π7+α)+3cs(α+π7)sin(α+π7)+cs(α+π7)=tan(α+π7)+3tan(α+π7)+1=m+3m+1=右边，等式成立.
【变式5-3】（24-25高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式：
(1)sin2α+sin2β−sin2αsin2β+cs2αcs2β=1；
(2)21−sinα1+csα=1−sinα+csα2．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【解题思路】（1）由左边，利用同角间正弦、余弦的关系，化简变形即可的证；
（2）由右边，展开，利用同角间正弦、余弦的关系，化简后分解因式，即可得到左边，恒等式的证.
【解答过程】（1）左边=sin2α1−sin2β+sin2β+cs2αcs2β
=sin2αcs2β+sin2β+cs2αcs2β
=cs2βsin2α+cs2α+sin2β
=cs2β+sin2β=1=右边.
则恒等式成立.
（2）右边=sin2α+cs2α+1−2sinα+2csα−2sinαcsα
=2−2sinα+2csα−2sinαcsα
=21−sinα+csα−sinαcsα
=21−sinα1+csα=左边.
则恒等式成立.
【题型6 同角三角函数与诱导公式的综合】
【例6】（2024·山东泰安·模拟预测）已知sin3π2+α=32且π2