初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）1 分式及其基本性质第2课时教学设计

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）1 分式及其基本性质第2课时教学设计，共15页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教学目标
1 .让学生初步掌握分式的基本性质．
2 .掌握分式约分方法，熟练进行约分．
3.了解什么是最简分式，能将分式化为最简分式．
4.通过研究解决问题的过程，培养学生合作交流意识与探究精神，形成勤奋学习的良好习惯.

二、教学重难点
重点：掌握分式的基本性质.
难点：掌握分式约分方法，熟练进行约分.

三、教学过程
复习回顾
教师活动：带领学生们复习分数的基本性质.
分数的基本性质是什么？
预设答案： 一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变.
用字母表示：一般地，对于任意一个分数ab，有ab=a⋅cb⋅c、ab=a÷cb÷c(c≠0) ，其中a，b，c是数.
设计意图：带领学生复习分数的基本性质，温故知新，为从分数过渡到分式作铺垫.
情境导入
问题1： 24=12吗？你的判断依据是什么？从左到右依次是怎样变化来的？谁是最简的分数？
预设答案： 24=12，其依据是分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变.其中12是最简的分数.
追问：分式也有这样的性质吗？
探究新知
活动一：分式的基本性质
教师活动：给学生充足的时间，让学生俩人一组，合作猜想分式有什么性质.并请同学回答猜想的结论，老师做鼓励评价.
思考：类比分数，你认为分式aa2与1a相等吗？n2mn与nm呢？
预设答案：aa2=a÷aa2÷a=1a，n2mn=n2÷nmn÷n=nm.
追问：类比分数的基本性质，试着总结出分式的基本性质.
设计意图：让学生通过类比、自己总结结论，实现学生主动参与、探究新知的目的.
总结：分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.
用式子表示：ba=b⋅ma⋅m,(m≠0)，其中a，b，m是整式.
注意：①分子、分母必须同乘(或除以)同一个整式.
②乘(或除以)的对象为非零整式.
教师活动：给出分析(解决分式的恒等变形有关的题目，一般从分子或分母的已知部分入手，先观察等号两边的分子（或分母）发生了怎样的变化，再通过对分母（或分子）作相同的变形求解).
练一练：填空：
(1)a−bab= a2b；(2)x2+xyx2=x+y( )；
(3)x−yx+y=( )(x+y)2；(4)m−nm+n=( )m2−n2(n≠n).
分析：解决分式的恒等变形有关的题目，一般从分子或分母的已知部分入手，先观察等号两边的分子（或分母）发生了怎样的变化，再通过对分母（或分子）作相同的变形求解.
预设答案：
设计意图：通过练一练，巩固学生利用分式基本性质解决分式恒等变形有关的问题.
活动二：分式的约分
思考：给下列分数约分.
(1)312；(2)924；(3)428；(4)1463.
预设答案：(1)312=3×13×4=3×1÷33×4÷3=14；(2)924=3×33×8=3×3÷33×8÷3=38；(3)428=4×14×7=4×1÷44×7÷4=17；
(4)1463=7×27×9=7×2÷77×9÷7=29.
分数的约分：把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值保持不变，这个过程叫作分数的约分.
思考：根据分式的基本性质填空.
教师活动：安排俩人一组讨论，并请同学展示讨论结果，强调要找分子、分母的公因式.
思考：联想分数的约分，根据分式的基本性质，你能想出如何对下列分式进行约分吗？
x3xy 3x2+3xy6x2
预设答案： x3xy=x∙x2x∙y=x⋅x2÷xx⋅y÷x=x2y
3x2+3xy6x2 =3x⋅(x+y)3x⋅2x=3x⋅(x+y)÷3x3x⋅2x÷3x=x+y2x
设计意图：类比分数的约分，过渡到分式的约分，培养学生类比的数学方法.
总结：分式的约分：
把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.
举例： x3xy=x∙x2x∙y=x⋅x2÷xx⋅y÷x=x2y；3x2+3xy6x2 =3x⋅(x+y)3x⋅2x=3x⋅(x+y)÷3x3x⋅2x÷3x=x+y2x .
设计意图：类比发现、自己总结结论，实现学生主动参与、探究新知的目的.
活动三：最简分式
操作·交流：(1)化简分式：5xy20x2y.
(2)在化简5xy20x2y时，小宇和小丽的做法分别如下：
谁做的对呢？
预设答案：小宇的分式化简完后，分式的分子和分母还存在公因式，小丽的分式化简完之后，分子和分母不存在公因式.
总结：最简分式：
分子和分母没有公因式的分式，称为最简分式.
练一练：判断分式哪些不是最简分式.
x2y,x+y2x, x2+y2x+y, a−ba2−b2, x2x2−x.
预设答案：不是最简分式的是：a−ba2−b2, x2x2−x.
设计意图：通过对错误方法的辨析，加深对约分的理解.
总结：分式约分的一般方法：
(1)若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式，即分子、分母系数的最大公约数和分子、分母中的相同字母的最低次幂的乘积，使所得结果成为最简分式或者整式.
(2)若分式的分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去. 使所得结果成为最简分式或者整式.
教师活动：带领学生一起解题，并给出提醒(约分前，要先找出分子和分母的公因式).并在(1)中给出提示（若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式，即分子、分母系数的最大公约数和分子、分母中的相同字母的最低次幂的乘积，使所得结果成为最简分式或者整式），在(2)中给出提示（若分式的分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去.使所得结果成为最简分式或者整式）.
练一练：约分：
(1) −25a2bc315ab2c；(2) a2+abb2+ab；(3) 6x2−12xy+6y23x−3y.
预设答案：
解：(1) −25a2bc315ab2c= −5abc⋅5ac25abc⋅3b= −5ac23b.
(2)a2+abb2+ab=a(a+b)b(a+b)=ab.
(3) 6x2−12xy+6y23x−3y= 6(x−y)23(x−y)= 2(x−y).
设计意图：及时练习，巩固知识.
总结：(1)约分的依据是分式的基本性质，约分的关键是确定分子和分母的公因式；
(2)约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积的形式；
(3)约分一定要彻底，要约到分子与分母没有公因式为止，即约分的结果必须是最简分式或整式.
思考：求3x2+3x6x中x的取值范围.小明是这样做的：3x2+3x6x =3x⋅(x+1)3x⋅2 =x+12.
所以x的取值范围是任意实数.小明这样做对吗？
预设答案：不对.3x2+3x6x中6x≠0，即x≠0.
注意：约分不改变分式的值，但可能改变分式中字母的取值范围，因此在确定分式中字母的范围时，不能进行约分.
活动四：分式的符号变化
观察·思考：(1) −xy与xy有什么关系？
(2) −xy，x−y与−xy有什么关系？
与同学合作探讨一下.
总结：分式的符号法则：
分式的分子、分母与分式本身这三处的正负号，同时改变两处，分式的值不变.
式子表示：xy=−xy=−x−y=−x−y，−xy=−xy=x−y=−x−y.
注意：当分式的分子、分母是多项式时，不要把分子或分母第一项的符号误认为是分子或分母的符号.例如：−a−2−b−2≠a−2b−2.
练一练：不改变分式的值，使下列分式的分子分母都不含“–”号.
(1) −3a7b； (2) y−3x； (3) −2m5n.
预设答案：(1)−3a−7b=(−1)×3a(−1)×7b=3a7b；(2)y−3x=y(−1)×3x=−y3x；(3)−2m5n=(−1)×2m5n=−2m5n.
提示：−x−y=xy；x−y=−xy；−xy=−xy.
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【教材例题】
例1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)b2x=by2xy(y≠0)；(2)axbx=ab．
解：(1)因为y≠0，所以b2x=b∙y2x∙y=by2xy；
(2)因为x≠0，所以axbx=a÷xb÷x=ab．
提示：在式子(2)中，因为左边的分式中，分母包含了x，因此隐含了x≠0这一条件，需要注意．
例2.化简下列分式：
(1)a2bcab；(2)x2−1x2−2x+1．
解：(1)a2bcab=ab∙acab=ac；
(2)x2−1x2−2x+1=(x+1)(x−1)(x−1)2=x+1x−1．
设计意图：通过例题的训练，让学生加深对分式基本性质的理解.
课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【教材练习】
1.填空：
(1)2xx−y=( )(x+y)(x−y)；(2)y+2y2−4=1( ).
答案：(1)2x(x+y) (2)y−2
2.化简下列分式：
(1)−14mnk4m2n；(2)x−y(x−y)3；(3)4−x2x2−2x.
解：(1)−14mnk4m2n=−2mn∙7nk2mn∙2m=−7nk2m；
(2)x−y(x−y)3=(x−y)(x−y)(x−y)2=1(x−y)2；
(3)4−x2x2−2x=(2−x)(2+x)x(x−2)=−2+xx.
【自选练习】
3.约分：
(1) 6a2b3c−8abc2； (2) mx2−my2nx+ny；(3) 4−a2a2b−4ab+4b.
解：(1) 6a2b3c−8abc2=−2abc⋅3ab22abc⋅4c=−3ab24c；
(2) mx2−my2nx+ny=m(x+y)(x−y)n(x+y)=m(x−y)n=mx−myn ；
(3) 4−a2a2b−4ab+4b=(2−a)(2+a)b(2−a)2=2+ab(2−a)=2+a2b−ab.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.