数学北师大版（2024）第五章 分式与分式方程1 分式及其基本性质第1课时教案

这是一份数学北师大版（2024）第五章 分式与分式方程1 分式及其基本性质第1课时教案，共15页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教学目标
1.理解分式的概念，会判断一个代数式是否为分式，掌握分式的基本特征.
2.明确分式有意义、无意义的条件，会判断分式在何时有意义.
3.掌握分式值为零的条件，能正确求解使分式值为零的字母取值.
4.培养严谨的代数思维，提升分类讨论与规范解题的数学素养.

二、教学重难点
重点：理解分式的概念，会判断一个代数式是否为分式，掌握分式的基本特征.
难点：明确分式有意义、无意义的条件，会判断分式在何时有意义；掌握分式值为零的条件，能正确求解使分式值为零的字母取值.

三、教学过程
情境导入
2019年12月30日，京张高速铁路开通运营，大大缩短了北京市到张家口市的旅程时间.京张高速铁路正线全长174km，在这条线路上，甲列车的平均行驶速度是乙列车的2倍.
设乙列车的平均行驶速度为 x km/h，请回答下列问题：
(1)乙列车从北京市到张家口市的行驶时间是多少？
(2)甲列车从北京市到张家口市的行驶时间是多少？
预设答案：(1)由路程速度=时间，得行驶时间为174xh.
(2)1742xh.
设计意图：通过问题情境的创设，引入本课的课题，激发学生的好奇心，同时使学生体会探索的过程是为了解决问题的实际需要.
探究新知
活动一：分式的认识
尝试·思考： (1)李叔叔计划用x元购买一批单价为a元/kg的苹果，由于购买量大，现每千克便宜了b元，那么李叔叔现在可以购买多少千克苹果？
(2)在2022年北京冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续转播.据统计，这项赛事前a天日均收看人数为m万，后b天日均收看人数为n万，那么这(a+b)天该赛事的日均收看人数为多少万?
预设答案：(1)由总价单价=总量得，购买苹果的数量为xa−bkg.
(2)由日均收看人数=总人数总天数得，日均收看人数为am+bna+b万.
观察·交流：上面问题中出现了代数式 174x，1742x，xa−b和am+bna+b，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？与同伴进行交流.
总结：分式的定义：
一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成AB的形式. 如果B中含有字母，那么称AB为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.对于任意一个分式，分母都不能为零.
注意：①分式是不同于整式的另一类式子，两类式子的区别是分母是否含有字母；②分式的分子A可以含有字母，也可以不含字母，分母B中必须含有字母；③由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性.
练一练：下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？
5x−7（整式） 1x（分式） x3（整式） 43b3+5（分式） 2a−53（整式）
xx2−y2（分式） m−nm+n（分式）x2+2x+1x2−2x+1（分式） 3π（整式） x+1x（分式） c3(a+b)（分式）
注意：判断时，注意含有π的式子，π是常数，不是字母．
设计意图：通过练习，巩固加深对分式概念的理解以及与整式的区别，并提炼判断式子是否是分式的注意事项.
尝试·交流：你能赋予分式ba，1a−b一些实际意义吗？与同伴进行交流.
预设答案：答案不唯一.
如小芳去文具店买了a本笔记本，共花费了b元，则笔记本的单价是ba元；
某工程队原计划需a天完成任务，实际比计划提前b天完成，若将工作总量视为1，则工程队实际每天的工作效率为1a−b.
活动二：分式有无意义的条件
思考：我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0．要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
预设答案：分数有意义的条件是分母不为0，类似地，分式有意义的条件是分母B≠0．
总结：分式有无意义的条件：分式中，当分母B≠0时，分式有意义；
当分母B=0时，分式无意义．（与分子无关）
练一练：当x是什么值时，分式x−1x+3有意义？
预设答案：要使分式x−1x+3有意义，则分母x+3≠0，即x≠−3.
活动三：分式值为0的条件
思考：在什么条件下，分式AB的值为0？
预设答案：类比分数为0的条件，可以得到当分式分子为０且分母不为０时，分式值为0．
总结：分式值为0的条件：
当AB=0时，A=0且B≠0．
练一练：当x是什么值时，分式x−1x+3的值是0？
预设答案：要使分式x−1x+3的值是0，则分子x−1=0且x+3≠0，即x=1.
设计意图：通过类比、思考，探索出分母B≠0时，分式才有意义；分母B=0，分式无意义；分子A=0且分母B≠0，分式的值为0，深化学生对概念的理解.
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【教材例题】
例1 (1)当a=1，2，−1时，分别求分式a+12a−1的值；
(2)当a取何值时，分式a+12a−1有意义？
解：(1)当a=1时，a+12a−1=1+12×1−1=2;
当a=2时，a+12a−1=2+12×2−1=1.
当a=−1时，a+12a−1=−1+12×(−1)−1=0.
(2)当分母的值等于零时，分式没有意义，
除此之外，分式都有意义.
由分母2a−1=0，得a=12.
所以，当a≠12时，分式a+12a−1有意义.
思考：当取何值时，分式a+12a−1的值为零？
预设答案：当分子的值为零，分母的值不为零时，分式的值为零．
由于a+1=0时，a=−1．此时分母2a−1≠0．所以，当a=−1时，分式a+12a−1的值为零．
设计意图：通过例题的训练，让学生进一步理解分式的概念，提高学生对所学知识的应用意识.
课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【自选练习】
1.下列各式：xπ+2,5p2q,a2b22,1+mm, 其中分式共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解： 5p2q,1+mm为分式，故选B．
2.在分式x+a2x−1中，如果x=–a，则下列结论中正确的是( )
A.不论a为何值，分式都无意义 B.不论a为何值，分式的值均为零
C.若a≠12，则分式的值是零 D.若a≠−12，则分式的值是零
答案：D
【教材练习】
3.当x=0，−2，12时，分别求分式2x−13x+2的值.
解：当x=0时，2x−13x+2=2×0−13×0+2=-12；
当x=−2时，2x−13x+2=2×(−2)−13×(−2)+2=54；
当x=12时，2x−13x+2=2×12−13×12+2=0.
4.当x取什么值时，下列分式有意义？
(1)8x−1；(2)1x2−9.
解：(1)当分母x−1≠0时，分式有意义，即x≠1.
(2)当分母x²−9≠0时，分式有意义，即x≠±3.
5.已知分式x2−4x+2，
(1)当x为何值时，分式无意义?
(2)当x为何值时，分式有意义?
(3)当x为何值时，分式的值为零?
解：(1)分式无意义，即分母 x+2=0，得 x= –2．即当x= –2时，分式x2−4x+2无意义．
(2)分式有意义，即分母x+2≠0，得x ≠ –2 ．即当x ≠–2时，分式x2−4x+2有意义．
(3)分式的值为零，即分母 x+2 ≠0 且分子x2−4=0，由x+2≠0，可知 x≠–2，由x2−4=0，得x=±2，综上所述：x=2． 即当x =2时，分式x2−4x+2的值为零．
6.把甲、乙两种饮料按质量比x∶y混合在一起，可以调制成一种混合饮料.调制1kg这种混合饮料需多少甲种饮料？
解：由题意得，混合饮料的总份数是x+y份.
甲种饮料占x份，所以甲种饮料在混合饮料中所占的比例为xx+y.
所以调制1kg这种混合饮料需要甲种饮料的质量为：1×xx+y=xx+y(kg).
答：调制1kg这种混合饮料需要xx+y甲种饮料.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.