初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）3 分式方程第2课时教案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）3 分式方程第2课时教案设计，共19页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教学目标
1.掌握分式方程的解法，理解增根的定义，明确分式方程验根的必要性.
2.会解可化为一元一次方程的分式方程，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系和区别.
3.经历解分式方程的必要步骤，使学生进一步了解数学学习中的“转化”思想，从而找到解分式方程的途径.
4.培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心.

二、教学重难点
重点：掌握分式方程的解法，理解增根的定义，明确分式方程验根的必要性.
难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，掌握解分式方程的一般步骤.

三、教学过程
复习回顾
教师活动：先提出问题，学生思考后回答.
问题1：解方程：3x−12+5x+23=2−4x−26.
预设答案：解：3x−12+5x+23=2−4x−26
3(3x−1)+2(5x+2)=12−(4x−2)
9x−3+10x+4=12−4x+2
9x+10x+4x=12+2+3−4
23x=13
x=1323.
追问：解一元一次方程的一般步骤是什么？
预设答案：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
问题2：什么是分式方程？
预设答案：分母含有未知数的方程是分式方程.
1 400x−1 4002.8x=9
提问：你会解这个方程吗？
设计意图：一方面通过解一元一次方程，引导学生回顾解一元一次方程的一般步骤，为新课的学习做准备，另一方面，回顾分式方程的概念，提出如何求分式方程的解，引出本节课要学习的内容.
探究新知
活动一：解分式方程
教师活动：通过尝试解分式方程，找到与解一元一次方程相通的地方，与不同的地方，从而得到解分式方程的基本思路.
思考：如何解分式方程：1 400x−1 4002.8x=9
鼓励学生尝试使用不同的方法.
预设答案：根据等式的性质，去分母，再利用乘法分配律去括号.
解： 1 400x−1 4002.8x=9
(1 400x−1 4002.8x)×2.8x=9×2.8x
1 400x×2.8x−1 4002.8x×2.8x=9×2.8x
1 400×2.8−1 400=9×2.8x
25.2x=2 520
x=100
设计意图：利用分式的基本性质、等式的基本性质将分式方程转化为一元一次方程，再求解，并体会两者的联系与区别.
提问：你还有别的解法吗？
预设答案：利用分式的基本性质，将分式中的分母都化简为x，再根据等式的性质去分母.
解： 1 400x−1 4002.8x=9
1 400x−500x=9
1 400x∙x−500x∙x=9x
1 400−500=9x
9x=900
x=10
思考：通过上述两种解法，你发现了什么？
预设答案：都是将分式方程转化为整式方程.
基本思路：先把分式方程化成整式方程，再对整式方程求解.
设计意图：通过观察类比，学生容易发现只要方程两边同时乘以相同的因式，可以去分母，使方程变为学过的一元一次方程，从而解决问题.
活动二：分式方程的增根
尝试·思考： 你会解1−xx−2=12−x−2吗？小亮的解法如下.
方程的两边都乘(x−2)，得
1−x=−1−2(x−2).
解这个方程，得x=2.
你认为x=2是原方程的根吗？与同伴交流．
预设答案：在这里，x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根．
设计意图：让学生经过讨论、交流后，理解分式方程具有增根，以及产生增根的原因，明确解分式方程一定要验根.
总结：产生增根的原因是：在方程两边同乘了一个可能使分母为零的整式.因此解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.
验根的方法：
(1)把解直接代入原方程进行检验；
(2)把解代入原方程中分式的分母，看分母的值是否等于零，若有等于零的分母，即为增根.
(3)把解代入分式的最简公分母，看最简公分母的值是否等于零，若等于零，即为增根.
思考·交流：你是怎样解分式方程的？解分式方程应注意什么？与同伴进行交流.
预设答案：解分式方程的一般步骤：
①去分母：先确定最简公分母，它是指方程两边所有分母的最简公分母，确定方法与通分时确定最简公分母的方法一致；
②解：解去分母后得到的整式方程；
③验根：验根是解分式方程的必要步骤，把整式方程的根代入最简公分母，值为零时，为增根，否则为原方程的根；
④结论：写出原分式方程的解.
一去二解三验四写.
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【教材例题】
例1. 解方程：1x−2=3x
分析：将分式方程转化为一元一次方程，再根据一元一次方程的解法求解.
解：方程两边都乘x(x-2)，得x＝3(x-2).
解这个方程，得x＝3.
检验：将x＝3代入原方程，得
左边＝1，右边＝1，左边＝右边.
所以，x＝3是原方程的根.
小结：一般地，解分式方程时，先将方程两边同乘一个适当的整式(通常是各分式的最简公分母)，约去分母，从而转化成整式方程，然后再解这个整式方程.
设计意图：通过例题的解答，给学生展示解题的步骤和格式.
例2.解方程：1x−1=2xx2−1.
分析：先找到最简公分母，再去分母化成整式方程，得到的解需要检验.（一去二解三验四写）
解：方程两边都乘x2-1，得 x+1＝2x.
解这个方程，得x＝1.
检验：当x＝1时，原方程中分式1x−1和2xx2−1的分母的值为零，所以x＝1是原方程的增根，舍去.
因此，原方程无解.
设计意图：通过例2的解答，让学生明确有增根的分式方程，如何求解.
课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【自选练习】
1.关于x的方程2ax+3a−x=34的解为x=1，则a=( )
A. 1B. 3 C. −1D. -3
答案：D
2.关于x的分式方程7xx−1+5=2m−1x−1有增根，则m的值为 ( )
A.5B.4C.3D.1
解：由题知，分式方程的增根为：x=1，
化简分式方程，得：7x+5(x-1)=2m-1，
因此，x=1是整式方程的解，代入解得：m=4.
答案：B
3.下列关于分式方程增根的说法正确的是( )
A．使所有的分母的值都为零的解是增根
B．分式方程的解为0就是增根
C．使最简公分母的值为0的解是增根
D．使分子的值为0的解就是增根
答案：C
4.解方程：(1)3x−1=4x；(2)x2x−3+53−2x4.
解：(1)方程两边都乘x(x-1)，得3x= 4(x-1)．
解这个方程，得x=4．
经检验，x=4是原方程的根．
(2)方程两边都乘2x-3，得x-5= 4(2x-3)．
解这个方程，得x=1．
经检验，x=1是原方程的根．
5.解方程：xx−1−1=3(x−1)(x+2).
解：方程两边乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得x=1.
检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0,
因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
【教材练习】
6.解方程：4 800x=5 000x+20.
解：方程两边乘x(x+20)，得
4 800(x+20)=5 000x.
解得x=480.
经检验：x=480是原分式方程的解.
所以，x=480.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.