数学八年级下册（2024）第五章 分式与分式方程2 分式的运算第1课时教案

这是一份数学八年级下册（2024）第五章 分式与分式方程2 分式的运算第1课时教案，共15页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教学目标
1.类比分数乘除法的运算法则，探索分式乘除法的运算法则．
2.理解分式乘方的运算法则．
3.在分式乘除运算过程中，体会因式分解在分式乘除法中的作用，发展有条理的思考和语言表达能力．
4.通过乘方以及分式乘、除、乘方混合的运算，使学生感受到数学的严谨，从而体会学习数学的价值．

二、教学重难点
重点：分式乘除法的运算法则，分式乘方的运算法则．
难点：乘方以及分式乘、除、乘方混合的运算．

三、教学过程
复习回顾
教师活动：引领学生们思考问题1，问题2，并给出答案，且让学生感知掌握分式的乘除运算的必要性，最后引导学生思考分式的乘除如何计算呢？
问题1：一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容器的mn时，水面的高度为多少？

答：长方体容器的高为Vab，水面的高度为Vab⋅mn.
问题2：大拖拉机 m 天耕地 a hm2，小拖拉机 n 天耕地 b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的多少倍？
答：大拖拉机的工作效率是am hm2/天；
小拖拉机的工作效率是bm hm2/天；
大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的(am÷bn)倍.
设计意图：通过联系实际引出分式乘除，使学生感受到学习分式乘除的必要性，感受到数学与实际生活有密不可分的联系.
探究新知
活动一：分式的乘除法
【思考】
教师活动：复习分数的乘除法，整理运算法则，从而类比到分式的乘除法，归纳出分式乘除法的运算法则.
思考：(1)两个分数如何相乘、如何相除？请举例说明.
答案预设：23×45=2×42×5，57×29=5×27×9，
23÷45=23×54=2×53×4，57÷29=57×92=5×97×2.
分数的乘法法则：
分数乘以分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母.
分数的除法法则：
除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.
思考：(2)你认为两个分式应该如何相乘、如何相除？与同伴进行交流.
23×45=2×43×5=815，23÷45=23×54=2×53×4=1012.
ba∙dc= ba÷dc=
答案预设：b∙da∙c=bdac ba∙cd=b∙ca∙d=bcad
【归纳】
教师活动：整理结论，带领学生朗读结论.
分式的乘法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
字母表示：ba∙dc=bdac.
分式的除法法则：
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
字母表示：ba÷dc=ba∙cd=bcad.
设计意图：总结分式的乘除运算法则，使学生明确本节课重点内容.
【合作】
教师活动：带领学生分析例子，给出运算方法和注意点，通过逐步运算，并根据法则强调每一步，强调重点，提醒易错点的方式进行演示，给学生空间参与进演示过程中.
合作演示1：
分式乘以分式（分子分母为单项式）：
若分子与分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，将结果化为最简分式或整式.
3xy⋅y36x2=3xy36x2y=y22x
合作演示2：
分式和分式相乘（分子分母含多项式）：
若分子(分母)是多项式，则先将分子(分母)分解因式，再相乘，且其结果要化简为最简分式或整式.
a2−4a+4a2−2a+1⋅a−1a2−4=a−22a−12⋅a−1a−2a+2
=a−22⋅a−1a−12a−2a+2=a−2a−1a+2
合作演示3：
分式和整式相乘：
只需要把整式（看作分母为1的式子）与分式的分子相乘，用其结果作为积的分子，分母不变；当整式是多项式时，同样要先分解因式.
3xy⋅y3=3xy⋅y31=3xy3y=3xy2
【归纳】
分式乘以分式(整式)
分式与分式相乘：
①若分子与分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，将结果化为最简分式或整式；
②若分子、分母是多项式，则先将分子、分母分解因式，再相乘，且其结果要化简为最简分式或整式.
分式和整式相乘：
只需要把整式（看作分母为1的式子）与分式的分子相乘，用其结果作为积的分子，分母不变；当整式是多项式时，同样要先分解因式.
合作演示4：
分式的除法运算
转化为分式的乘法运算，然后按分式的乘法法则运算.
xy÷2x3y2=xy⋅3y22x=3xy22xy=3y2
合作演示5：
分式的除法运算（分式和整式相除）
若除式（或被除式）是整式，可把它看作分母是1的“分式”，然后按分式的除法法则运算.
xy÷2x=xy÷2x1=xy⋅12x=x2xy=12y
设计意图：通过不同情况的逐步演示，强化学生对运算法则的理解和运用，同时给与学生不同情况的运算过程展示，使学生能更灵活且准确的运用法则进行运算.
活动二：分式的乘方
思考：ban与bnan有什么关系？与同伴交流．
教师活动：衔接分数乘方的回顾，引导学生根据分式的乘法运算写出运算过程，并设出疑问：多个相同分式的乘法，是否可以简写呢？
板书一：232 233 234 23n
答案预设：232 =23×23=2×23×3=49 =2232
233 =23×23×23=2×2×23×3×3=827 =2333
234 =23×23×23×23=2×2×2×23×3×3×3=1681 =2434
23n=23×23×23×⋯×23 =2n3n
n个
板书二：(ba)2 (ba)3 (ba)10 (ba)n
答案预设：(ba)2= ba⋅ba =b⋅ba⋅a =b2a2.
(ba)3=ba⋅ba⋅ba=b⋅b⋅ba⋅a⋅a=b3a3.
(ba)10=ba⋅ba⋅⋯⋅ba10个 =b⋅b⋅⋯⋅b10个a⋅a⋅⋯⋅a10个=b10a10.
(ba)n=ba⋅ba⋅⋯⋅ban个 =b⋅b⋅⋯⋅bn个a⋅a⋅⋯⋅an个 =bnan.
【归纳】
分式的乘方法则：
一般地，当n是正整数时，ban=ba∙ba∙⋯∙ba=b∙b∙⋯∙ba∙a∙⋯∙a=bnan，即ban=bnan.
分式乘方要把分子、分母分别乘方.
注意：a，b分别表示分母与分子，它们可以是单项式，也可以是多项式.
【合作】
教师活动：带领学生根据分式乘方的运算法则进行运算，以学生说为主，教师辅助且提醒易错点等.
合作演示1：
x2y2=x2(2y)2=x24y2.
提醒：分式乘方时，一定要将分式加上括号，并且要将分子、分母分别乘方(单字母或数字除外).
合作演示2：
(−x2+y)3=−x32+y3=−x32+y3=−x32+y3.
提醒：
①分式乘方时，若分式的分子或分母是多项式，应把分子、分母分别看作一个整体乘方.
②正分式的任何次幂都为正，负分式的偶次幂为正，奇次幂为负.
【归纳】
分式的乘方
（1）分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号的方法相同：正分式的任何次幂都为正，负分式的偶次幂为正，奇次幂为负；
（2）分式乘方时，一定要将分式加上括号，并且要将分子、分母分别乘方；
（3）分式乘方时，若分式的分子或分母是多项式，应把分子、分母分别看作一个整体乘方.
【回顾】
教师活动：回顾数的乘除、乘方混合运算顺序，过渡到式的乘除、乘方混合运算顺序.
数的乘除、乘方混合运算顺序
按照从左到右的顺序进行计算；
先乘方，再乘除；
有括号的先算括号里面的.
总结：分式的乘除、乘方混合运算顺序
①先乘方，再乘除；
②有括号的先算括号里面的；
③化成最简形式.
设计意图：通过回顾有理数乘除、乘方混合运算的顺序，直接类比到分式乘除、乘方混合运算的顺序.使学生感受到数学的一般性与特殊性.
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【教材例题】
例1 计算：
(1) 3a4y∙2y23a2； (2) 3xy2÷6y2x.
解：(1)3a4y∙2y23a2=3a∙2y24y∙3a2=y2a；
(2)3xy2÷6y2x=3xy2∙x6y2=3xy2∙x6y2=12x2.
注意：进行分式的乘除法运算时，运算结果应是最简分式或整式.
例2 计算：
(1) a+4a−4∙1a2+4a； (2) a−1a2−4a+4÷a2−1a2−4.
解：(1)a+4a−4∙1a2+4a=a+4(a−4)(a2+4a)=a+4(a−4)∙a(a+4)=1a(a−4)；
(2)a−1a2−4a+4÷a2−1a2−4=a−1a2−4a+4∙a2−4a2−1=(a−1)(a2−4)(a2−4a+4)(a2−1)
=(a−1)(a−2)(a+2)a−22(a−1)(a+1)=a+2(a−2)(a+1).
注意：式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除.乘除混合运算可以统一为乘法运算.
设计意图：通过例题，梳理分式乘除混合运算的解题步骤，使学生感受运算的规律性.
总结：分式乘除混合运算的一般步骤：
(1)先把除法统一成乘法运算；
(2)分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；
(3)确定分式的符号，然后约分；
(4)结果应是最简分式.
设计意图：总结概括分式乘除运算的步骤，培养学生的总结概括能力和语言表达能力.
合作·探究 购买西瓜时，人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球体，并且西瓜瓤的分布是均匀的，西瓜皮的厚度都是d，已知球的体积公式为V=43πR3(其中R为球的半径)，请回答下列问题：
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少？
(2)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？与同伴进行交流.
解：(1)设西瓜的半径为R，则有：V西瓜=43πR3，V西瓜瓤=43π(R–d)3；
西瓜瓤与整个西瓜的体积的比：V西瓜V西瓜瓤 = (1– dR) 3；
(2)由(1)的结果有：dR越小→ (1– dR)越大→(1– dR) 3越大.买大西瓜合算.
设计意图：学以致用，通过实际问题的解决，让学生体会数学在实际生活中的应用，提高他们学习数学知识的积极性.
课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【教材练习】
1.计算：
(1)ab⋅ba2； (2)y2x3÷y4x； (3)a2−a∙a−1a； (4)x2+2xx2−6x+9÷x2−4x2−3x.
答案：(1)ab⋅ba2=a∙bb∙a2=1a；
(2)y2x3÷y4x=y32x3⋅4xy=y3∙4x8x3∙y=y22x2；
(3)a2−a∙a−1a=a(a−1)∙a−1a=a(a−1)∙(a−1)a=a−12；
(4)x2+2xx2−6x+9÷x2−4x2−3x=x2+2xx2−6x+9∙x2−3xx2−4=(x2+2x)∙(x2−3x)(x2−6x+9)∙(x2−4)=xx+2⋅xx−3x−32⋅x−2x+2=x2x−3x−2.
【自选练习】
2.计算：
(1)3a2bb2c⋅b2c36ac； (2)a−2⋅a2−4a2−4a+4； (3)2x−64−4x+x2÷3−xx−2x+3 .
答案：(1)3a2bb2c⋅b2c36ac=3a2b3c36ab2c2=abc2；
(2)a−2⋅a2−4a2−4a+4=a−2⋅a−2a+2a−22=a−22a+2a−22=a+2；
(3)2x−64−4x+x2÷3−xx−2x+3=2x−3x−22⋅x−2x+33−x=-2x+6x−2.
3.计算：
(1)8xy9a2b÷2x3b⋅3ab22x3y； (2)a−ba4⋅ab−a5； (3)2xy23⋅2yx2÷−x2y.
答案：(1)8xy9a2b÷2x3b⋅3ab22x3y=8xy9a2b⋅3b2x⋅3ab22x3y=72ab3xy36a2bx4y=2b2ax3；
(2)a−ba4∙ab−a5=a−b4a4∙a5b−a5=b−a4a4∙a5b−a5=b−a4∙a5a4∙b−a5=ab−a；
(3)2xy23⋅2yx2÷−x2y=-2x3y23⋅2y2x2⋅2yx=−8x3y6⋅4y2x2⋅2yx=−64x3y3x3y6=−64y3.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.