重难点培优04 数列中的新文化、新定义问题（复习讲义）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

这是一份重难点培优04 数列中的新文化、新定义问题（复习讲义）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用），共22页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一 杨辉三角与数列（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二 裴波那契数列（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 5
\l "_Tc26803" 题型三 n阶数列（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 6
\l "_Tc13512" 题型四 数列中其他新文化问题（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 8
\l "_Tc3897" 题型五 数列其他新概念定义（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 9
\l "_Tc326" 题型六 数列其他新性质定义（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 11
\l "_Tc11957" 题型七 数列其他新运算定义（★★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 12
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 14
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 14
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 20
一、斐波那契数列
1、斐波那契数列概念
把这个数列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… 称为斐波那契数列 ，一般记为{Fn}。
2、斐波那契数列的递推公式
3、斐波那契数列的通项公式
4、斐波那契数列的性质（通项公式an,前n项和Sn）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
二、与数列有关的新定义问题的策略
1、通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
2、遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决.
3、类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.


题型一 杨辉三角与数列
【技巧通法·提分快招】
1．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角” ．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第项为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三下·海南·月考）如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（ ）

A．24B．26C．29D．36
3．（2024·福建宁德·模拟预测）（多选题）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（ ）
A．B．的前项和
C．D．
4．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记作数列，若数列的前n项和为，则 ．
5．如图是一个类似“杨辉三角”的图形，第行共有个数，且该行的第一个数和最后一个数都是，中间任意一个数都等于第行与之相邻的两个数的和，设，，，分别表示第行的第一个数，第二个数，，第个数，求，（且）的通项公式.
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
…………………………

题型二 裴波那契数列
【技巧通法·提分快招】
1．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·黑龙江绥化·月考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列为“斐波那契数列”，则（ ）
A．2023B．2024C．1D．2
3．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）（多选题）1202年，斐波那契从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ）
A．B．为奇数
C．D．
4．（2024·山东·模拟预测）（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·河南·二模）数列称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多･斐波那契（Lenard Fibnacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，则数55是该数列的第 项；是斐波那契数列的第 项.
6．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列可以用如下方法定义：，则的个位数字是 ．

题型三 n阶数列
1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了关于一阶等差数列的问题：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列，即一阶等比数列满足从第二项开始，每一项与前一项的比值构成等比数列．设数列是一阶等比数列，，则 ； ．
2．对于数列，记，对于，记，规定：，，称为数列的阶差数列．若的一阶差数列为等比数列，，，，的二阶差数列为常数列，常数为4，，，则数列的通项公式为 ，数列的前项和为 ．
3．设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：
①；
②.
(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
(2)若某21阶“期待数列”是递增等差数列，求该数列的通项公式；
(3)记阶“期待数列”的前项和为，试证：.
4．对于给定的数列，令，则数列称为的一阶和数列，再令，则数列是的二阶和数列，以此类推，可得的p阶和数列．
(1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求；
(2)若，求的二阶和数列的前n项和；
(3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差．
5．（24-25高三上·山西吕梁·月考）对于给定的数列以及正整数，若，使得成立，则称为“阶可分拆数列”.
(1)设，证明：为“3阶可分拆数列”；
(2)设的前项和为，若为“1阶可分拆数列”，求实数的值；
(3)设，是否存在，使得为“阶可分拆数列”？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由.

题型四 数列中其他新文化问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ）
A．15B．16C．17D．18
2．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，……）．若一“落一形”三角锥垛有20层，则该堆垛总共球的个数为（ ）

A．1540个B．1760个C．1250个D．1980个
3．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．已知数列满足则（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（ ）
A．B．C．D．
5．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为.若由小球堆成的某个长方台形垛积有8层，小球总个数是460，则该垛积的第一层小球个数可以是（ ）
A．5B．8C．12D．19
6．如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME－7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，设，其前项和为，则（ ）
A．63B．8C．7D．64

题型五 数列其他新概念定义
1．（2025·河南·模拟预测）若对于任意的，为数列中小于的项的个数，则称数列是的“生成数列”.
(1)分别写出数列1，0，3，4及，，2，的“生成数列”的前4项；
(2)若数列满足，且的“生成数列”为，求；
(3)若为等比数列，且，公比，的“生成数列”为，的“生成数列”为，求.
2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知是项正整数数列，令，其中.若对任意的中均无相同的项，则称数列为“和差单值”数列.
(1)判断8，4，2，1，2，4，8是否为“和差单值”数列.
(2)已知，其中为两两不同的正整数，问：是否为“和差单值”数列？请说明理由．
(3)证明：若的最大值不超过，则一定不是“和差单值数列”.
3．（2025·浙江·三模）定义：若对，，都有（j为常数，且），则称数列为“绝对等差数列”，常数j为数列的“绝对公差”．已知“绝对公差”数列所有项的和为E．
(1)若，，，请写出有序实数对的所有取值；
(2)若数列共有259项，且，，，求数列的通项公式；
(3)若j为奇数，数列共有2k（，）项，且，．证明：k为偶数，并写出一个符合条件的数列．
4．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知为正整数，数列是公差为的等差数列.若从中随机取出若干项后，对于剩余项始终有，则称取出的项按从小到大顺序排成的数列为的“间子列”.
(1)直接写出数列所有的间子列；
(2)证明：存在数列的一个间子列，其也为数列的间子列；
(3)从数列中随机取出项，记将这项按从小到大顺序排成的新数列为的间子列的概率为，证明：.
5．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若对，都有，则称与为“级相邻数列”．
(1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由；
(2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围；
(3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的组数（用数字作答）．

题型六 数列其他新性质定义
1．（2025·河北·二模）已知是公差不为0的无穷等差数列.若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质.
(1)已知，，判断数列，是否具有性质；
(2)若数列具有性质，证明：的各项均为整数；
(3)若，求具有性质的数列的个数.
2．（2024·浙江台州·一模）对于无穷数列和如下的两条性质：：存在实数，使得且，都有；：任意且，都存在，使得．
(1)若，判断数列是否满足性质，并说明理由；
(2)若，且数列满足任意，则称为数列的一个子数列．设数列同时满足性质和性质．
①若，求的取值范围；
②求证：存在的子数列为等差数列．
3．（2025·辽宁·模拟预测）设为正整数，数列，，…，的各项均为正整数，若该数列满足下列性质：①，，，都有且，②，则称该数列是—特性数列．
(1)若数列是－特性数列，求与的最小值；
(2)若数列是—特性数列，是否存在数列是—特性数列？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由；
(3)从，，，…，中一次任取四个不同的数，记抽取的四个数组成的数列是—特性数列的概率为，求．
4．（24-25高三上·北京朝阳·期中）若有穷正整数数列A：，，，…，满足如下两个性质，则称数列A为T数列：①；②对任意的，都存在正整数，使得.
(1)判断数列A：1，1，1，3，3，5和数列B：1，1，2，2，4，4，4，12是否为T数列，说明理由；
(2)已知数列A：，，，…，是T数列.
（i）证明：对任意的，与不能同时成立；
（ii）若n为奇数，求的最大值.
5．（2024·河南·模拟预测）已知和是无穷的非常数数列．给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意一项，在中都存在两项，使得．
(1)若，证明：数列满足性质①②；
(2)若是单调数列，且满足性质①②，判断是否为等差数列，并说明理由；
(3)若数列和满足（2）的条件，记（表示x，y，z，…中的最大者），证明：下列两个结论必有一个成立．
（ⅰ）对任意的正数M，存在正整数m，当时，；
（ⅱ）存在正整数m，使得，，，…是等差数列．

题型七 数列其他新运算定义
1．（2025·辽宁·三模）已知正数的整数部分记为，例如.
(1)若，求数列的前项和.
(2)设.
①求；
②求数列的通项公式；
③求数列的前100项和.
2．角谷猜想，也称为“”猜想，其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以；如果是奇数，则将它乘以再加上，如此反复运算，该数最终将变为；这就是对一个正整数运算时“万数归”现象的猜想，假如对任意正整数，按照上述规则实施第次运算后的结果记，实施第2次运算后的结果记为，…实施第次运算后的结果记为，实施第次运算后得到数，则停止运算，即可以得到有穷数（其中）其递推关系式为，称作数列的原始项；将此递推公式推广为：，其它规则不变，得到的数列记作，试解答以下问题：
(1)若，求数列的项数；
(2)若数列满足，求原始项的所有可能取值构成的集合；
(3)对任意的数列，求证：．
3．（2025·广东揭阳·二模）已知数列中每一项（其中，）构成数组.定义运算如下：，其中当时，，；当时，，；用表示层嵌套运算，.现取，记中相邻两项组成的数对满足的数对个数为.
(1)写出，，以及，；
(2)证明：数列是等比数列；
(3)若，证明：对任意的都有.
4．（2024·山东青岛·一模）记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，．
(1)若，用表示；
(2)证明：；
(3)若，，，证明：．
5．（2025·甘肃白银·二模）定义新运算.对于给定的正项数列，若，且，都有，其中分别为数列中的第项和第项，则称该数列为“方型数列”.
(1)若为各项均为正数的等比数列，请判断数列是否为“方型数列”，并说明理由.
(2)已知数列既是“2方型数列”，又是“3方型数列”，记数列的前项和为.
①证明：为等比数列；
②设，若，记满足成立的数组的概率为，求的最大值.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·北京东城·模拟预测）月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且，均为正整数，则（ ）．
A．80B．96C．100D．112
2．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A．26B．36C．38D．46
3．（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
4．（23-24高三下·云南·月考）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25高三上·上海·期中）已知数列为无穷数列，若正整数满足：对任意的正整数，均有，则称数列 为“阶弱减数列”. 现有以下两个命题：
①数列为无穷数列且（为正整数），则是数列是“阶弱减数列”的充分条件；
②数列为无穷数列且（为正整数），则存在，使得数列是“阶弱减数列”的充要条件是.
那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题
6．（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序排列，构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．D．
7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）（多选题）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．第项为
D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则
8．（多选题）已知数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前6项依次为4，8，10，10，8，4，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列的公差为2B．
C．数列的前7项和最大D．
9．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第14项为 .
10．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，记作数列，则 ；若数列的前项和为，则 .
11．《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则 .
12．历史上有一个著名的“伯努利装错信笺问题”，它讲的是某人想邀请朋友来家中聚会，写好了n封请柬，需要装入n个写好友人名字的信封，结果因为粗心把请柬全部装错了信封，求装错的可能会有多少种的问题．瑞士著名数学家欧拉按一般情况给出解答：用A，B，C，……表示写着n位友人名字的信封，a，b，c，……表示n份对应的写好的请柬，把装错的情况总数记作，假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：第一类：b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A，B，a，b无关，应有种错装法；第二类：b装入A，B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）份请柬b，c，……装入（除B以外的）个信封A，C，……，显然这时装错的情况有种，总之在a装入B的错误之下，共有错装法种．a装入C，装入D……的种错误之下，同样都有种错装法，因此可得到的关系式为 ；通过枚举法，容易求出，于是可以迅速用多种方法求出 ．
13．（2024·四川·模拟预测）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Lenard Fibnacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，（，），则是斐波那契数列的第 项.
14．如果数列对任意的，则称为“中值偏大数列”
(1)若数列为“中值偏大数列”，求正实数的取值范围；
(2)若数列为“中值偏大数列”，且任意项，求整数的最大值．
15．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知数列具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于．
(1)分别判断数集和是否具有性质；
(2)证明：当时，，，，不可能成等差数列；
(3)证明：当时，，，，，是等比数列．
16．（24-25高三下·甘肃平凉·月考）对一个给定的数列的相邻两项作差，得到一个新数列，，…，，…这个数列称为的一阶差数列．如果记该数列为，其中，再求的相邻两项之差，那么称所得数列，，…，，…为数列的二阶差数列．依此类推，对任意，可以定义数列的p阶差数列．如果的p阶差数列是一个非零常数列，那么称它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列．
(1)若，证明：数列是二阶等差数列；
(2)若，证明：数列的前n项和公式为；
(3)设数列是一个三阶等差数列，其从前往后连续的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列的通项公式．
17．任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为3，则称数列具有性质.已知具有性质的数列共有项，且所有的项之和为.
(1)若，且，求的所有可能值；
(2)若，且恒成立，求；
(3)若，证明：.
18．（2025·甘肃甘南·模拟预测）抽屉原理也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出并用来证明数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．其内容为：如果把个物体放进个抽屉里，那么至少有一个抽屉要放进个或更多个物体．已知数列与数列满足，若数列是递增数列，则称数列具有性质．
(1)当，且数列具有性质时，
①写出一个满足，项数为6的数列；
②若，数列的前项和为，证明：当时，至少存在两个不同的数列，使得这两个数列的前项和相等．
(2)从项数为的数列中选取一部分元素构成新的数列，判断是否存在项数为的数列具有性质，并说明理由．
（参考数据：）
19．（2025·北京门头沟·一模）已知有限数列，其中，.在中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为的一个子列，对某一给定正整数，若对任意的，均存在的相应子列，使得该子列的各项之和为，则称具有性质.
(1)判断：，，，，，，是否具有性质？说明理由；
(2)若，是否存在具有性质？若存在，写出一个，若不存在，说明理由；
(3)若，且存在具有性质，求的取值范围.
20．（2025·河南·模拟预测）若，则称是和的减比中项.
(1)若是和的减比中项，求的取值范围.
(2)已知数列满足，，数列满足，，存在正数，使是和的等比中项，且是和的减比中项，.
（i）证明：是和的减比中项；
（ii）记数列的前项和为，证明：.
21．（2025·湖北·模拟预测）定义：若对任意，，，数列的第项都等于数列的第项，则称数列为数列的“分段反序数列”.已知数列的“分段反序数列”为，数列的前项和为.
(1)若，求，的值；
(2)若，求；
(3)若，证明：数列为常数列.
22．如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”.若数列还满足：数列项数有限为；则称数列为“阶可控摇摆数列”.
(1)若某6阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项；
(2)若某13阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，其前项和为，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
23．（2025·湖北·三模）已知数列，其中，且.若数列满足，当时，或，则称数列为数列的“调节数列”.例如，数列的所有“调节数列”为；或者；或者；或者.
(1)直接写出数列的所有“调节数列”；
(2)若数列满足通项，将数列的“调节数列”中的递增数列记为，数列中的各项和为，求所有的和；
(3)已知数列满足：，若数列的所有“调节数列”均为递增数列，求所有符合条件的数列的个数.
24．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）数阵，又称矩阵，是数学中的一个重要概念，它是一种特殊的数组，由数字或符号按照特定的规则排列而成.数阵的元素按照一定的顺序排列，通常用矩阵的行和列来表示.将阶数阵记作（其中）.已知，且满足，
(1)求和的值；
(2)求的表达式；
(3)是否存在，使得，，成等比数列，如存在，请求出，如不存在，请说明理由.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2024·广东·一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（24-25高三上·江西·月考）若项数有限的数列满足，且，则称数列为“n阶上进数列”.
(1)若等比数列是“2024阶上进数列”，求的通项公式；
(2)若数列是“n阶上进数列”，其前n项和记为.
（i）证明：；
（ii）若存在，使得，且的前m项均为非负数，其他项均为非正数，判断数列是否是“n阶上进数列”，并说明理由.
参考公式：.
3．（2025·北京东城·一模）已知有限数列满足.对于给定的，若中存在项满足，则称有项递增子列；若中存在项满足，则称有项递减子列.当既有项递增子列又有项递减子列时，称具有性质.
(1)判断下列数列是否具有性质；
①；
②.
(2)若数列中有，证明：数列不具有性质；
(3)当数列具有性质时，若中任意连续的项中都包含项递增子列，求的最大值.
4．（2024·河北邢台·二模）若数列若满足递推关系其中为常数，我们称该数列为k阶常系数齐次线性递推数列，并称方程为递推关系式（*）的特征方程，该方程的根称为数列的特征根.我们有以下结论：对于k阶常系数齐次线性递推数列，若其不同的特征根为，，…，，且特征根的重数为，则数列的通项公式为
其中，，这里都是常数，它们由数列初始值可以确定.
(1)若数列满足，且，，，求数列的通项公式；
(2)若数列满足对于所有非负整数m，n（），都成立，且，求数列的通项公式；
(3)设边长为1的正六边形ABCDEF，O是六边形的中心，除了六边形的每一条边，我们还从点O到每个顶点连一条线段，共得到12条长度为1的线段，一条路径是指动点沿着上述线段（全部或部分）移动，始点终点均为点O的一条移动路线.求长度为2024的路径共有多少条？（注：根的重数就是方程中同样根的数量）
5．（2024·浙江杭州·三模）卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列，，定义无穷数列，记作，称为与的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律．
(1)若，，，求，，，；
(2)对，定义如下：①当时，；②当时，为满足通项的数列，即将的每一项向后平移项，前项都取为0．试找到数列，使得；
(3)若，，证明：当时，．
1、第二层是自然数列
2、第三层是三角数列
这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形．
3、每一层的数字之和是一个2倍增长的数列
1、数列表示
（1）逐项罗列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，….
（2）递推公式：a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3).
（3）通项公式：an＝15［(1+52)n－(1－52)n］.
2、常考性质
性质1.前n项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an＝an＋2－1.
性质2.奇数项和：a1＋a3＋…＋a2n－1＝a2n；偶数项和：a2＋a4＋…＋a2n＝a2n＋1－1.
性质3.平方性质：an2＝anan＋1－anan－1；平方和性质：a12＋a22＋…＋an2＝anan＋1.
性质4.中项性质：anan＋2－an+12＝(－1)n＋1；3an＝an－2＋an＋2.
性质5.余数列周期性：
被2除的余数列周期为3：1，1，0，…；
被3除的余数列周期为8：1，1，2，0，2，2，1，0，…；
被4除的余数列周期为6：1，1，2，3，1，0，….
1、解决数列与数学文化相交汇问题的关键