2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第01讲数列的基本知识与概念(高效培优讲义)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第01讲数列的基本知识与概念(高效培优讲义)(原卷版+解析)，共62页。试卷主要包含了数列的概念，递增数列与递减数列，累加法求数列的通项公式，累乘法求数列的通项公式，构造法求数列的通项公式，递推数列等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc206598830" 考情探究 PAGEREF _Tc206598830 \h 2
\l "_Tc206598831" 知识梳理 PAGEREF _Tc206598831 \h 2
\l "_Tc206598832" 探究核心考点 PAGEREF _Tc206598832 \h 3
\l "_Tc206598833" 考点一 数列的概念 PAGEREF _Tc206598833 \h 3
\l "_Tc206598834" 考点二 递增数列与递减数列 PAGEREF _Tc206598834 \h 4
\l "_Tc206598835" 考点三 累加法求数列的通项公式 PAGEREF _Tc206598835 \h 5
\l "_Tc206598836" 考点四 累乘法求数列的通项公式 PAGEREF _Tc206598836 \h 5
\l "_Tc206598837" 考点五 构造法求数列的通项公式 PAGEREF _Tc206598837 \h 6
\l "_Tc206598838" 考点六 利用an与Sn的关系求通项公式或项 PAGEREF _Tc206598838 \h 6
\l "_Tc206598839" 考点七 递推数列 PAGEREF _Tc206598839 \h 7
\l "_Tc206598840" 三阶突破训练 PAGEREF _Tc206598840 \h 8
\l "_Tc206598841" 基础过关 PAGEREF _Tc206598841 \h 8
\l "_Tc206598842" 能力提升 PAGEREF _Tc206598842 \h 9
\l "_Tc206598843" 真题感知 PAGEREF _Tc206598843 \h 11
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，会单独考察，也会结合其它板块考察，难度覆盖各个梯度，小题分值为5-6分，大题13-17分
【备考策略】1.掌握数列的有关概念和表示方法
2.能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式
3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，解答题第一小问经常考数列的通项公式，需熟悉递推公式求通项公式的基本方法。
1．数列的定义
按照 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
4．数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
考点一 数列的概念
典例1．在数列中，若，则 （ ）
A．B．C．D．
典例2．大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，则数列的前2024项和是 ．
跟踪训练1．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．已知数列满足则（ ）
A．1B．2C．4D．8
跟踪训练2．设数列满足：，，那么等于（ ）
A．B．2C．D．
跟踪训练3．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，，则第7行第4个数（从左往右数）为（ ）




A．B．C．D．
考点二 递增数列与递减数列
典例1．已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
典例2．（多选）设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，则（ ）
A．的通项公式为
B．是递增数列
C．的最大项为1
D．
跟踪训练1．已知数列满足，则（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
跟踪训练2．若在数列中，对于，，都有（t为常数），则称数列具有性质.已知数列的通项公式为，且具有性质，则的取值范围是 ．
跟踪训练3．数列中，，且满足，则实数的取值范围是 ．
考点三 累加法求数列的通项公式
典例1．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
典例2．设数列满足，且，则数列的前10项和为 ．
跟踪训练1．已知数列满足，，则 ．
跟踪训练2．在数列中，，，求数列的通项公式.
考点四 累乘法求数列的通项公式
典例1．已知数列满足，．若，则 ．
典例2．已知，，求数列的通项．
跟踪训练1．（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
跟踪训练2．已知首项为1的数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练3．已知，，求数列的通项．
考点五 构造法求数列的通项公式
典例1．已知数列中，，求．
典例2．（2025·山东泰安·模拟预测）数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 .
跟踪训练1．已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 .
跟踪训练2．已知在数列中，，，则通项 ．
跟踪训练3．已知在数列中，，且满足，求证：．
考点六 利用an与Sn的关系求通项公式或项
典例1．已知正项数列中，且，其中为数列的前项和，则数列的通项公式为 ．
典例2．已知数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
跟踪训练1．记为数列的前项和，已知．
(1)求；
(2)设，求数列的前项和．
跟踪训练2．记是数列的前项和，，，且数列是等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设若，求数列的前项和
考点七 递推数列
典例1．已知数列满足，若，则（ ）
A．B．
C．D．
典例2．已知数列满足：（为正整数），，若，则所有可能的取值为 ．
跟踪训练1．如图所示，在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移动到另一根针上：①每次只能移动一根金属片；②在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将个金属片从1号针移动到3号针最少需要移动的次数记为，则（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2．（24-25高三下·河南开封·阶段练习）（多选）已知数列满足，则（ ）
A．当时，对任意都有
B．当时，对任意都有
C．当时，存在正整数，当时，
D．当时，存在正整数，当时，
跟踪训练3．已知数列满足，，则 ．
1．已知数列满足，，则（ ）
A．B．3C．4D．
2．设为数列的前n项积，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第27项为（ ）
A．676B．678C．731D．733
4．（多选）在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，有一种图形后人称之为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…..设各层球数构成一个数列，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列的通项公式为
D．数列的一个递推公式为
5．若数列满足，则
6．（2025·浙江宁波·模拟预测）数列是正项数列，若，且，，则 ．
7．已知数列满足，则 ．
8．若数列满足，则称为“对奇数列”．已知为“对奇数列”，且，则 ．
9．1202年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那契数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列，则数列的前2025项的和为 .
10．根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式 .
11．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式．
1.已知数列满足，若，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2.如果，，，就称表示的整数部分，表示的小数部分．已知数列满足，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3.已知数列的前项和为，且，若对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4.设为实数，为不超过实数的最大整数，如，．记，则的取值范围为，现定义无穷数列如下：，当时，；当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
5.甲、乙、丙、丁4人做传球游戏，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余3人之一．第次传球后，球在甲手中的概率为，在乙手中的概率为，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
6.已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）（多选）已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．为等比数列B．
C．的前n项和D．的前n项和
8．（多选）在数列中，下列结论正确的是（ ）
A．若数列的前项和，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，，且，则
9.已知，．则通项公式 ．
10.若，已知数列中，首项，则 ．
11.已知数列满足，，．
(1)判断数列是否为等比数列；
(2)求数列的通项公式．
1．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112B．48C．80D．64
2．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
5．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
全国一卷，16题（1）小问，6分
累加法求通项公式
无
2024年新Ⅱ卷，第19题,17分
由递推关系证明等比数列
求直线与双曲线的交点坐标
向量夹角的坐标表示
2024年全国甲卷，第18题,12分
利用与关系求通项或项
错位相减法求和
2023年全国甲卷（理科），
第17题,10分
利用与关系求通项或项
错位相减法求和
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数
无穷数列
项数
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1 an
其中n∈N*
递减数列
an＋1 an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
第01讲 数列的基本知识与概念
目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc206598743" 考情探究 PAGEREF _Tc206598743 \h 2
\l "_Tc206598744" 知识梳理 PAGEREF _Tc206598744 \h 2
\l "_Tc206598745" 探究核心考点 PAGEREF _Tc206598745 \h 3
\l "_Tc206598746" 考点一 数列的概念 PAGEREF _Tc206598746 \h 3
\l "_Tc206598747" 考点二 递增数列与递减数列 PAGEREF _Tc206598747 \h 6
\l "_Tc206598748" 考点三 累加法求数列的通项公式 PAGEREF _Tc206598748 \h 9
\l "_Tc206598749" 考点四 累乘法求数列的通项公式 PAGEREF _Tc206598749 \h 11
\l "_Tc206598750" 考点五 构造法求数列的通项公式 PAGEREF _Tc206598750 \h 13
\l "_Tc206598751" 考点六 利用an与Sn的关系求通项公式或项 PAGEREF _Tc206598751 \h 15
\l "_Tc206598752" 考点七 递推数列 PAGEREF _Tc206598752 \h 18
\l "_Tc206598753" 三阶突破训练 PAGEREF _Tc206598753 \h 22
\l "_Tc206598754" 基础过关 PAGEREF _Tc206598754 \h 22
\l "_Tc206598755" 能力提升 PAGEREF _Tc206598755 \h 28
\l "_Tc206598756" 真题感知 PAGEREF _Tc206598756 \h 36
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，会单独考察，也会结合其它板块考察，难度覆盖各个梯度，小题分值为5-6分，大题13-17分
【备考策略】1.掌握数列的有关概念和表示方法
2.能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式
3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，解答题第一小问经常考数列的通项公式，需熟悉递推公式求通项公式的基本方法。
1．数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
4．数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
考点一 数列的概念
典例1．在数列中，若，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合递推关系和首项，求出数列得前几项，归纳出数列周期为4，结合周期性求解.
【详解】因为且，
所以，
，
，
，
，
所以是以4为周期的周期数列，
所以.
故选：A.
典例2．大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，则数列的前2024项和是 ．
【答案】
【分析】解法1观察数列得：当为偶数时，，当为奇数时，，进而得，最后利用等差数列前项求和公式即可求解；
解法2由数列的前10项推出数列的前10项，观察得，，最后利用等差数列前项求和公式即可求解.
【详解】解法1：
可知，当为偶数时，，当为奇数时，，
因为，
所以数列的前2024项和为
．
故答案为：.
解法2：
已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，
则数列的前10项依次是0，2，，所以，
，，
可得数列的前2024项和为．
故答案为: .
跟踪训练1．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．已知数列满足则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】根据分段数列的表达式，先写出前几项得出规律，得出数列是周期数列从而得解.
【详解】由题意可得，，
所以数列是以3为周期的数列，又，所以.
故选：B
跟踪训练2．设数列满足：，，那么等于（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据递推数列的规律可求出数列的周期，进而根据求出.
【详解】因为，设，
所以，，，
.
所以数列是以4为周期的周期数列.
所以，所以.
故选：A.
跟踪训练3．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，，则第7行第4个数（从左往右数）为（ ）




A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知的条件，利用每个数是它下一行左右相邻两数的和这一规律进行逐步推导.
【详解】第6行从左到右各数依次为，，，，，，
第7行从左到右各数依次为，，，，，，，
故选：A.
考点二 递增数列与递减数列
典例1．已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数列的单调性结合分段函数性质列不等式计算求解.
【详解】因为数列是单调递增数列，则函数在上为增函数，可得，
函数在上为增函数，可得，可得，
且有，即，即，解得或.
综上所述，.
故选：C.
典例2．（多选）设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，则（ ）
A．的通项公式为
B．是递增数列
C．的最大项为1
D．
【答案】ABD
【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，即可得，进而判断AD，利用作差法可判断数列的单调性，即可求解BC.
【详解】由得，，
则曲线在点处的切线方程为，令，得，A正确；
由，得，即，B正确；
恒成立，C错误；
，D正确.
故选：ABD
跟踪训练1．已知数列满足，则（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【答案】A
【分析】，令，利用函数的单调性来研究数列的单调性即可得到答案.
【详解】，令，则，易知在上单调递增，在
上单调递减，
当为奇数时，，故当且为奇数时，单调递减，且，此时的最大值，
当为偶数时，，
记函数，
由于当，，所以，
故，
故当时，单调递减，即当且为偶数时，单调递减，故，
又，，
且当时，，，
故的最大值为，
而最小值为，
故选：A
跟踪训练2．若在数列中，对于，，都有（t为常数），则称数列具有性质.已知数列的通项公式为，且具有性质，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合新定义及数列得到关于的不等式，构造数列，求解其最值，最后求解的取值范围；
【详解】由题得，故只需考虑时，，，
即，因此．
令，则，所以为递增数列，
则．
所以，即的取值范围为．
故答案为：.
跟踪训练3．数列中，，且满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意知数列是单调递增数列，则，得对任意恒成立，分离参数得，即求即可.
【详解】由有，所以，
由题知数列是单调递增数列，所以，
即对任意恒成立，所以，
即，当时，的最大值为，即.
故答案为：.
考点三 累加法求数列的通项公式
典例1．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由累加法及等比数列前和公式可得，即可得到.
【详解】由，知，
所以，即，
故，又适合上式，故．
故选：C.
典例2．设数列满足，且，则数列的前10项和为 ．
【答案】
【分析】利用“累加求和”可得的通项公式，再利用“裂项求和”即可得出.
【详解】因为数列满足，且，
所以当时，，
当时，上式也成立，
所以，所以，
则的前项和，
所以数列的前10项和为．
故答案为：.
跟踪训练1．已知数列满足，，则 ．
【答案】
【分析】整理数列的递推公式，利用累加法求得其通项公式，再赋值计算即得.
【详解】因为，所以，
所以时，，
则
，
故.
故答案为：.
跟踪训练2．在数列中，，，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】将已知条件中的递推公式进行变形，再利用累加法即可求解.
【详解】，，
当时，
，
当时，，与相符，
数列的通项公式为.
考点四 累乘法求数列的通项公式
典例1．已知数列满足，．若，则 ．
【答案】2010
【分析】通过数列的递推关系求出数列的通项公式，进而根据已知的数列值求出对应的项数.
【详解】由已知得，，所以有，
因为①，
所以②，
用②-①可得：，移项得到：，
于是有：，
上述个式子相乘得到，，所以，
由，可得.
故答案为：2010.
典例2．已知，，求数列的通项．
【答案】．
【分析】利用累乘法来求通项公式，即的关系，逐步化简得出通项公式.
【详解】，
，
，
得．
跟踪训练1．（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
【答案】B
【分析】根据题意，利用与的关系，推得，结合累乘法，即可求得的值，得到答案.
【详解】数列中，满足，当时，可得，
两式相减，可得，即，所以，
又由，则.
故选：B.
跟踪训练2．已知首项为1的数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用累乘法求解.
【详解】依题意，.
故选：A.
跟踪训练3．已知，，求数列的通项．
【答案】
【分析】通过累乘法来求数列的通项公式.
【详解】已知，
则，
，
已知，由，
故数列的通项为：.
考点五 构造法求数列的通项公式
典例1．已知数列中，，求．
【答案】
【分析】通过递推关系寻找规律，然后构造新数列转化成等差数列形式，即可求得.
【详解】，
所以，
又，则是首项为公差为的等差数列，
得，故．
典例2．（2025·山东泰安·模拟预测）数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 .
【答案】5
【分析】构造等比数列计算得出通项公式，再应用等比数列求和公式计算求出参数的最大值.
【详解】，，且，
是以为首项, 为公比的等比数列.
, .
,
，即，
, ,
的最大值是.
故答案为：5.
跟踪训练1．已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】法一：设、，结合递推关系得到，再根据已知得，进一步有，利用等比数列的定义写出通项公式；法二：由递推关系得，讨论的奇偶性写出通项公式即可.
【详解】法一：因为，所以.
设，则，所以.
设，则.
因为，，所以，，
所以，即，即，所以.
因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，.
法二：因为，所以，
由，，得，，
所以数列的奇数项是首项为2，公比为4的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4的等比数列，
当为奇数时，，即；
当为偶数时，，即.
综上，.
故答案为：
跟踪训练2．已知在数列中，，，则通项 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法构造新数列，得到，从而利用等比数列性质求出答案.
【详解】利用待定系数法构造新数列，
，
又，则，
所以．
令，是以为首项，公比的等比数列．
．即，．
当时成立，所以．
故答案为：
跟踪训练3．已知在数列中，，且满足，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】等式两边同除，构造等比数列求出，带入求和公式利用放缩法裂项相消证明即可.
【详解】因为，且满足，显然对任意，，
等式两边同除以得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，解得，
所以
．
考点六 利用an与Sn的关系求通项公式或项
典例1．已知正项数列中，且，其中为数列的前项和，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】利用代入已知条件求得即得，然后再求出．
【详解】在数列中，①，又②，，
所以①除以②得．
又，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
则，所以．
当时，，当时，，也满足上式，
所以数列的通项公式为．
故答案为：．
典例2．已知数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令求得；当时，由求解，再检验适合，即可得解；
（2）采用分组求和的方式，分为偶数和为奇数两个部分，结合等比数列求和公式和并项求和思想分别求和.
【详解】（1）因为数列的前项和，，所以；
当时，，
又适合上式，所以；
（2），
所以数列的前项和，
当为偶数时，，
当为奇数时，
.
综上，.
跟踪训练1．记为数列的前项和，已知．
(1)求；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用即可得，构造等比数列即可求解；
（2）由（1）得代入，进而得，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）令时，，即得，
时，①，②，
由①-②得，，
又由，
又，
所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列，
所以；
（2）因为．
所以
．
跟踪训练2．记是数列的前项和，，，且数列是等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设若，求数列的前项和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据等差数列的通项公式求出，再利用与的关系求解即可；
（2）利用分组求和，其中奇数部分利用等差数列的前项和公式，偶数部分利用裂项相消求解即可.
【详解】（1）因为，，设等差数列的公差为，则，解得，
所以，即，
当时，，当时，成立，故．
（2）由题意可得
.
考点七 递推数列
典例1．已知数列满足，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知因式分解可判断数列单调性，将条件变形为，可化简得，然后结合基本不等式求解可得.
【详解】因为，
所以，数列为正项递增数列．
因为，所以，
所以，
即．
由，得，
故必有，所以，
所以，
所以，
所以．
因为，所以．
故选：A．
典例2．已知数列满足：（为正整数），，若，则所有可能的取值为 ．
【答案】，，
【分析】根据递推数列，由反推出即得.
【详解】由题可知，
所以，或5或32．
故答案为：.
跟踪训练1．如图所示，在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移动到另一根针上：①每次只能移动一根金属片；②在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将个金属片从1号针移动到3号针最少需要移动的次数记为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将第个金属片从1号针移动到3号针，需先将前n个金属片移到2号针，需移动次，由题可得，据此可得答案.
【详解】将第个金属片从1号针移动到3号针，需先将前n个金属片移到2号针，需移动次，
然后移动1号针的第个金属片至3号针，需移动一次，
最后将2号针的n个金属片移到3号针，需次，则.
令，结合则可得，则，，
即，则为以2为首项，公比为2的等比数列.
则，所以.
故选：C．
跟踪训练2．（24-25高三下·河南开封·阶段练习）（多选）已知数列满足，则（ ）
A．当时，对任意都有
B．当时，对任意都有
C．当时，存在正整数，当时，
D．当时，存在正整数，当时，
【答案】BD
【分析】需要根据给定的值，分析数列的性质.通过对递推式的分析和一些特殊情况的探讨，结合二次函数的性质来判断每个选项的正确性.
【详解】对于A，当时，.
令，.
对于二次函数，其对称轴为，最大值为.
因为，由递推关系可知，对任意都有，A选项错误.
对于B，当时，.
令，.
因为的值域为，且，所以由递推关系可知，
对任意都有，B选项正确.
对于C，当时，.
令，.
设.
令，，的对称轴为，
在上递增，在上递减.
当时，的值不是恒大于的，
所以不存在正整数，当时，，C选项错误.
对于D，当时，.
设.
因为，在上递增，在上递减.
当足够大时，会趋近于某个值（），此时会趋近于.
所以存在正整数，当时，，D选项正确.
故选：BD.
跟踪训练3．已知数列满足，，则 ．
【答案】
【分析】根据递推数列得数列是首项为3，公差为2的等差数列，即，代入即可得解.
【详解】因为，若，则；若，则，
又，所以，，
所以，又，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，即，
所以，所以．
故答案为：.
1．已知数列满足，，则（ ）
A．B．3C．4D．
【答案】C
【分析】根据与的关系，先得到数列的递推关系式，再根据累加法求的值.
【详解】由，
得，
所以，
所以，
，…，
，
各式两端相加得，
故．
故选：C.
2．设为数列的前n项积，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合前n项积的意义求出通项公式.
【详解】数列中，，当时，，
两式相除得，由，得，
则当时，，即，因此，
满足上式，所以.
故选：B
3．南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第27项为（ ）
A．676B．678C．731D．733
【答案】B
【分析】记该二阶等差数列为，，计算出，利用累加法结合等差数列求和能求出的值.
【详解】记该二阶等差数列为，且该数列满足，记，
由题意可知，数列为等差数列，且，
所以等差数列的公差为，所以，
所以，则，
所以，
故选：B
4．（多选）在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，有一种图形后人称之为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…..设各层球数构成一个数列，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列的通项公式为
D．数列的一个递推公式为
【答案】BC
【分析】由题可得数列递推公式，从而可得数列通项公式，即可判断各选项正误.
【详解】对于D，由题可得，则可得的一个递推公式为，
从而.故D错误；
对于C，由D分析可知：，
又符合上式，则的通项公式为，故C正确；
对于AB，由C可知：，，故A错误，B正确.
故选：BC
5．若数列满足，则
【答案】
【分析】根据并项求和,结合等差数列求和公式即可求解.
【详解】由可得，
，
，解得，
故答案为：
6．（2025·浙江宁波·模拟预测）数列是正项数列，若，且，，则 ．
【答案】3
【分析】首先求得，，结合得即可求解.
【详解】因为，，所以，，
即，，
又因为，所以，，
因为，，所以，
所以，
所以.
故答案为：3.
7．已知数列满足，则 ．
【答案】
【分析】解法一，由待定系数法可得答案；解法二，由得，两式相减再利用待定系数法构造可得答案；解法三，由得再递推可得答案．
【详解】解法一 由，可设，
其中为常数，整理得，
故，得，
所以．
又，所以是各项均为0的常数列，
故，即；
解法二 由，得，
两式相减得．
令，则，
则，又，
所以，即，又，
所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以；
解法三 由得，
即，，…，
，
所以，
所以，所以．
当时也符合上式．
综上所述，．
故答案为：.
8．若数列满足，则称为“对奇数列”．已知为“对奇数列”，且，则 ．
【答案】
【分析】根据“对奇数列”和等比数列的定义求解即可.
【详解】因为为“对奇数列”，根据定义可得，即，
又，所以是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，则，
故答案为：
9．1202年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那契数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列，则数列的前2025项的和为 .
【答案】2278
【分析】根据题意，列出数列，得到为周期数列，根据周期数列求和即可.
【详解】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以3的余数，
可得数列为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，…，
所以数列是周期为8的数列，
一个周期中8项和为，
又因为，
所以数列的前2025项的和.
故答案为：2278.
10．根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式 .
【答案】/
【分析】观察图形的点数，找出规律进行归纳总结即可.
【详解】，，，，，
归纳得.
故答案为：.
11．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）当时,求出，写出当时与的表达式，两式相比得出的表达式，求出的表达式，即可证明结论；
（2）求出的表达式，当时求出的表达式，验证当时是否为，即可求出的通项公式.
【详解】（1）由题意证明如下，，
当时，，解得，
当时，因为①，则②，
由得，
整理得，
所以，
∴数列是首项为，公比为2的等比数列．
（2）由题意及（1）得，，
在等比数列中，首项为，公比为2，
，则，
当时，，
当时，，
∴的通项公式为.
1.已知数列满足，若，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据建立不等式，不等式转化为对一切恒成立，求出即可.
【详解】据题设知，对一切恒成立，
所以对一切恒成立，
即对一切恒成立．
又当时，，
所以，所以所求实数k的取值范围是．
故选:．
2.如果，，，就称表示的整数部分，表示的小数部分．已知数列满足，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用不完全归纳法来得到相邻两项之差的规律，从而可得结论.
【详解】因为，，
．
同理可得，．
所以，；，．
所以当为奇数时，当为偶数时．
所以．
故选：C．
3.已知数列的前项和为，且，若对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据的关系得，从而，利用作差法求得的单调性、最值即可求解.
【详解】，，，
当时，，．
又且，
，得，
因为，
所以当时，取得最大值，最大值为，，
故选：D．
4.设为实数，为不超过实数的最大整数，如，．记，则的取值范围为，现定义无穷数列如下：，当时，；当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，计算数列的前几项，观察得出无穷数列呈周期性变化，即可求出的值．
【详解】当时，，，
，，…，
无穷数列周期性变化，周期为2，
所以．
故选：B．
5.甲、乙、丙、丁4人做传球游戏，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余3人之一．第次传球后，球在甲手中的概率为，在乙手中的概率为，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，构造等比数列，求出，同理求出，CD正确，再判断出AB，得到答案.
【详解】由题意得，
故，其中，所以，
所以，，C正确；
，A正确；
同理可得，，
其中，故，
所以，，D正确；
，，
，
，B错误.
故选：B
6.已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分段情况下，对任意，都有，只需保证每一段递增，且，结合数列的单调性求解.
【详解】当时，，
由，得，即，
∵且，，∴，解得.
当时，单调递增，
若对任意，都有，则且，
即且，解得，
则实数的取值范围是.
故选：B.
7．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）（多选）已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．为等比数列B．
C．的前n项和D．的前n项和
【答案】ACD
【分析】对于A，由已知可得，结合等比数列的定义即可求解判断；对于B，求出，作差得，即可判断；对于C，结合等比数列求和公式利用分组求和思想求解即可判断；对于D，根据裂项相消法求和即可判断.
【详解】对于A，由题意，数列满足，可得，
可得，即，又，
所以数列为首项为，公比为的等比数列，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，即，故B错误；
对于C，因为，所以的前n项和，故C正确；
对于D，因为，
所以的前n项和，故D正确.
故选：ACD.
8．（多选）在数列中，下列结论正确的是（ ）
A．若数列的前项和，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，，且，则
【答案】BCD
【分析】利用退一相减法求得，可判断A选项，根据数列的周期性可判断B选项，利用累乘法求得通项公式，可判断C选项，利用构造法，结合累加法与等比数列求和公式可得通项，即可判断D选项.
【详解】A选项：由已知，当时，，
当时，，
综上所述，A选项错误；
B选项：由已知，则，即，
又，，即，
所以当为奇数时，，当为偶数时，，
综上所述，B选项正确；
C选项：由，即，，，，
等式左右分别相乘可得，
又，所以，C选项正确；
D选项：由已知，
可知数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，即，，，，
等式左右分别相加可得，
又，则，D选项正确；
故选：BCD.
9.已知，．则通项公式 ．
【答案】
【分析】设，其中为常数，根据条件得到，令，得出为等比数列，求出，即可求解.
【详解】，①
设，其中A、B、C为常数．
代入①知：，
则，②
令，
将A，B，C的值代入，
所以为等比数列，且公比为2，首项为，
，
故，
．
故答案为：.
10.若，已知数列中，首项，则 ．
【答案】158
【分析】根据函数解析式得，应用作差法及已知得，则，最后利用对称性及倒序相加求和即可.
【详解】，
，即，
，
时，，两式相减得，
时，，故，
又时也符合上式，故，
，
．
记，
则，
两式相加得，，即，则．
故答案为：158
11.已知数列满足，，．
(1)判断数列是否为等比数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)是
(2)
【分析】（1）计算，则根据等比数列的定义得证；
（2）利用累加法求数列的通项公式．
【详解】（1）由题意得，
且，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
于是．
（2）由于，
把，，，，代入，得
，
，
，
…
，
把以上各式相加，得
．
所以．
1．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112B．48C．80D．64
【答案】C
【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解.
【详解】因为，
所以当时，，
当时，，
经检验，满足上式，
所以，令，，
设数列的前n项和为，
则数列的前项和为
数列的前项和为
.
故选：C
2．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
【答案】B
【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.
法2：构造，利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项所在区间，从而判断的单调性；对于A，构造，判断得，进而取推得不恒成立；对于B，证明所在区间同时证得后续结论；对于C，记，取推得不恒成立；对于D，构造，判断得，进而取推得不恒成立.
【详解】法1：因为，故，
对于A ，若，可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立，
由数学归纳法可得成立.
而，
，，故，故，
故为减数列，注意
故，结合，
所以，故，故，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，故恒成立仅对部分成立，
故A不成立.
对于B，若可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立.
而，
，，故，故，故为增数列，
若，则恒成立，故B正确.
对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立.
而，故，故为减数列，
又，结合可得：，所以，
若，若存在常数，使得恒成立，
则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误.
对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立
由数学归纳法可得成立.
而，故，故为增数列，
又，结合可得：，所以，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误.
故选：B.
法2：因为，
令，则，
令，得或；
令，得；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
令，则，即，解得或或，
注意到，，
所以结合的单调性可知在和上，在和上，
对于A，因为，则，
当时，，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，即，
因为在上，所以，则为递减数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，故，
所以在上单调递增，故，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故A错误；
对于B，因为，
当时，，，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
又当时，，即，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
此时，取，满足题意，故B正确；
对于C，因为，则，
注意到当时，，，
猜想当时，，
当与时，与满足，
假设当时，，
当时，所以，
综上：，
易知，则，故，
所以，
因为在上，所以，则为递减数列，
假设存在常数，使得恒成立，
记，取，其中，
则，
故，所以，即，
所以，故不恒成立，故C错误；
对于D，因为，
当时，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，故，
所以，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故D错误.
故选：B.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通项公式．
（2）利用错位相减法可求.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
5．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
全国一卷，16题（1）小问，6分
累加法求通项公式
无
2024年新Ⅱ卷，第19题,17分
由递推关系证明等比数列
求直线与双曲线的交点坐标
向量夹角的坐标表示
2024年全国甲卷，第18题,12分
利用与关系求通项或项
错位相减法求和
2023年全国甲卷（理科），
第17题,10分
利用与关系求通项或项
错位相减法求和
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列