2026年高考数学一轮复第04讲解三角形(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复第04讲解三角形(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共10页。学案主要包含了易错分析，方法技巧，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3等内容，欢迎下载使用。

01 TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc202915773" \l "_Tc202915774" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc202915774 \h 2
\l "_Tc202915775" 02 体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc202915775 \h 3
\l "_Tc202915776" 03 核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc202915776 \h 3
\l "_Tc202915777" 知能解码 PAGEREF _Tc202915777 \h 3
\l "_Tc202915778" 知识点1 正弦定理 PAGEREF _Tc202915778 \h 3
\l "_Tc202915779" 知识点2 余弦定理 PAGEREF _Tc202915779 \h 4
\l "_Tc202915780" 知识点3 解三角形中常用结论 PAGEREF _Tc202915780 \h 5
\l "_Tc202915781" 知识点4 实际应用问题中的专用名词与术语 PAGEREF _Tc202915781 \h 5
\l "_Tc202915782" 题型破译 PAGEREF _Tc202915782 \h 6
\l "_Tc202915783" 题型1 正弦定理解三角形 PAGEREF _Tc202915783 \h 6
【易错分析】易忽视三角形解的个数
\l "_Tc202915784" 题型2 余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc202915784 \h 9
\l "_Tc202915785" 题型3 多边形解三角形（含一个确定三角形） PAGEREF _Tc202915785 \h 10
【方法技巧】多边形解三角形（含确定三角形）技巧
\l "_Tc202915786" 题型4 多边形解三角形（不含一个确定三角形） PAGEREF _Tc202915786 \h 14
【方法技巧】多边形解三角形（无确定三角形）技巧
\l "_Tc202915787" 题型5 解三角形的实际应用 PAGEREF _Tc202915787 \h 19
\l "_Tc202915788" 题型6 边角互化 PAGEREF _Tc202915788 \h 24
【方法技巧】边角互化常用原则
\l "_Tc202915789" 题型7 三角函数与解三角形的综合应用 PAGEREF _Tc202915789 \h 27
\l "_Tc202915790" 题型8 最值问题（基本不等式法） PAGEREF _Tc202915790 \h 31
【方法技巧】基本不等式求最值
\l "_Tc202915791" 题型9 最值问题（三角函数法） PAGEREF _Tc202915791 \h 34
【方法技巧】三角函数法求最值
\l "_Tc202915792" 题型10 切弦互化求最值问题 PAGEREF _Tc202915792 \h 40
\l "_Tc202915793" 04 真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc202915793 \h 42
\l "_Tc202915794" 05 课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc202915794 \h 48
知识点1 正弦定理
1.正弦定理的内容
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
2.三角形的面积公式
设的三边为，对应的三个角分别为，其面积为S.
①(h为BC边上的高)；
②；
3.判断三角形的解的个数
已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：
自主检测在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则 .
【答案】2
【详解】由正弦定理得：，则.
故答案为：2.
知识点2 余弦定理
在中，若角所对的边分别是，则
自主检测已知的内角，，的对边分别为，，，且，则
【答案】
【详解】，
故答案为：
知识点3 解三角形中常用结论
1. 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边：
2. 大边对大角，大角对大边：
3.，故有①；②；
③；④，⑤
自主检测在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【详解】设所求为，由题意，
在三角形中，解得.
故选：A.
知识点4 实际应用问题中的专用名词与术语
1.基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
2.仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①).
3.方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②).
4.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.
自主检测某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得，千米，千米，则，间的直线距离约为（ ）

A．6千米B．7千米C．8千米D．5千米
【答案】B
【详解】由余弦定理，，解得.
故选：B.
题型1 正弦定理解三角形
例1-1在中，，则的值是 .
【答案】
【详解】由正弦定理，所以，
又，所以，所以，
即，即，
即，所以.
故答案为：
例1-2在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为在中，，，且该三角形有两个解，如下图所示：
则，即，即，
因此，边的长的取值范围为.
故答案为：.
易错分析 易忽视三角形解的个数
两边和其中一边的对角，若用正弦定理求角,会有多解的情况。这是由于正弦函数在在区间内不严格单调，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。
【变式1-1】在中，，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【详解】由，，则，
由正弦定理，，
又，则，故.
故选：A.
【变式1-2】（ 2025·浙江金华·三模）在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由正弦定理可得，
由于,故或，故AB错误，
若时，则,
此时，
若时，则,此时为三角形中最小的内角，故，故C错误，D正确，
故选:D
【变式1-3】（ 2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，
得，所以．
又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径），
所以，解得，
则的外接圆的面积为．
故选：B
题型2 余弦定理解三角形
例2-1在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由余弦定理可得，可得，故，
故
故选：C
例2-2已知一个三角形的三边分别是，，，则此三角形中的最大角为（ ）
A．B．C．D．150°
【答案】D
【详解】一个三角形的三边分别是，为最大边．
设最大角为，由余弦定理可得，
，又，故此三角形中的最大角．
故选：D.
【变式2-1】已知的角所对的边分别为，若，，，则的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【详解】因为中，，
所以由余弦定理可得，
因为，所以，解得或（舍去），
所以的面积为，
故选：B
【变式2-2】已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵，且为钝角三角形，∴C为钝角.
由余弦定理，得，
∴，解得.
又中，两边之和大于第三边，即，∴.
综上，实数k的取值范围是.
故选：C
【变式2-3】在中，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由余弦定理得，又，
所以，
则的范围是.
故选：D.
题型3 多边形解三角形（含一个确定三角形）
例3-1（多选）如图，在中，已知点在边上，，，，.则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【详解】在中，，，所以．
同理可得，，
所以
，故A正确；
在中，由正弦定理得：，
又，所以，
在中，由余弦定理得，
，故B正确，C不正确；
因为，所以，
则，故D不正确.
故选：AB.
例3-2如图，在四边形中，.
(1)求的长；
(2)求四边形的面积.
【答案】(1)3
(2)
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
即，所以.
（2）在中，由正弦定理，得，则.
而，于是，
又，则，，，
因此，
所以四边形的面积
.
方法技巧 多边形解三角形（含确定三角形）技巧
解此类题需先锁定确定三角形，用正弦定理或余弦定理求出其边角。再分析与其他多边形的连接关系（如公共边、等角），将已知量传递到未知三角形，逐步拆解。
【变式3-1】（ 2025·福建龙岩·二模）在中，，为边上的点，且满足，，则 ．
【答案】
【详解】在中，，
由余弦定理得出，
在中，，
所以，则．
故答案为：
【变式3-2】如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求的长度；
(2)若与交于点，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
，，，，
在中，，，
，
在中，，
．
（2）解法一：如图，以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，，，
，，过点作于点，
，即，
整理得，
，，，，
，，，
∴，
为与的夹角，，，
∴．
解法二：，在中，，，，
则，
，
则
．
【变式3-3】已知内角的对边分别为，点是的内心，若,.
(1)求角；
(2)延长AM交BC于点，若，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得，由正弦定理可得 ，
故可得，即，而，故
（2）因为点是的内心，，，
因，，则
从而，.
又，所以，即.
由余弦定理可得.
将代入上式化简得.
解得，因为，所以.
所以的周长为.
题型4 多边形解三角形（不含一个确定三角形）
例4-1在中，已知，，，点为边的中点， ．
【答案】/
【详解】由余弦定理，得，
即，则．
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
由与互补，则，
所以，解得．
在中，由余弦定理，得，
因为，所以，
所以．
故答案为：
例4-2如图，在中，是的中点，是上的点，，，，，则 .
【答案】/0.75
【详解】设在三角形与三角形中，
解得：

作的四等分点，且,由题意知，，
又因为，所以,,
又，所以,
在三角形与三角形中，
化简得: ,代入解得：,
从而解得：
故答案为：.
方法技巧 多边形解三角形（无确定三角形）技巧
解此类题需寻找多边形中隐含的边角关系，如公共边、等角、互补角或内角和定理，设未知量（边长或角度），利用正弦定理在多个三角形中建立边角比例关系，形成方程组。通过消元转化为单变量问题，结合几何约束（如边长为正）求解，注重整体关联与方程思想的运用。
【变式4-1】在中，点满足，，，则 ．
【答案】
【详解】设，
由正弦定理得，，
即，
所以
，
即，
同除得，
解得舍去，或，
所以．
故答案为：．
【变式4-2】记的内角的对边分别为．已知，点在边上，．
(1)证明：；
(2)若，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在中，①，
②，
联立①②得，即，
，．
（2）若，则，
又，
，
化简得：，又，即或，
若时，，
则，
若，则（舍）．
综上：．
【变式4-3】如图，四边形中，，，，且四点共圆．

(1)求的值；
(2)若点为上一点，的面积为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为四点共圆，所以，
则．
如图所示：

连接，在中，，
在中，，
两式作差得，解得．
（2）由（1）可知，所以．
由的面积为，得，
即，解得，
则．
易知，所以，
连接，
在中，，
在中，，
两式作差得，，解得，
则．
在中，，
则．
由正弦定理，得．
题型5 解三角形的实际应用
例5-1如图，某观察站B在城A的南偏西的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B处的C处有一人正沿公路向A城走去，走了之后到达D处，此时B，D间的距离为．要达到A城，这个人还要走（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意有：，在中，由余弦定理有：，
又，所以，
所以，
所以，
又，
在中，由正弦定理有：，所以.
故选：A.
例5-2如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，.
(1)求观测点到树干底部点的距离的长度；
(2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理可得，
因为，所以.
又两处相距米，故，所以的长为米.
（2）在中，由在处测得树干顶端处的仰角为，
可得，则.
由（1）知，由，得，
由，得.
在中，由，得.
在中，由余弦定理得.
故在处观测到、两点的夹角的余弦值为.
【变式5-1】如图两点在河的同侧，且、两点均不可到达．现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，，，则、两点间的距离为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意有，
在中由正弦定理有，
又，所以为等边三角形，所以，
又因为，在中，由余弦定理有：
，
所以，
故选：B.
【变式5-2】如图，某东西走向的河道上建有两个水文观测站、，在某时刻站观测到水位异常，将信号同时发给河流北面的市与市．已知市收到信号的时间是市的倍，，，，则观测站到市的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，，则、均为锐角，
所以，
，
所以
，
由题意可知，由余弦定理可得，
即，解得.
故选：B.
【变式5-3】如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ）
A．300mB．600mC．D．
【答案】D
【详解】在中，，
在中，，
在中，
．
故选：D.
【变式5-4】无人机在城市管理、农业、地质、气象、电力、抢险救灾、视频拍摄、快递配送等行业应用广泛.在一次城市宣传的取景拍摄中，一架无人机从A处出发，沿北偏东70°的方向航行后到达B处，然后从B出发，沿北偏东10°的方向航行2到达C处.
(1)求A与C的距离；
(2)如果下次航行直接从A出发到达Ｃ，应沿什么方向航行？
【答案】(1)
(2)应沿北偏东的方向航方向航行
【详解】（1）由题意知，在中，，
，，
根据余弦定理，得，
所以．
（2）根据正弦定理可得，
即
又，所以．
所以应沿北偏东的方向航方向航行即可到达C处.
题型6 边角互化
例6-1在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ）
A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【详解】由，则，
所以，可得，不能确定是否成立，
所以一定是直角三角形.
故选：B
例6-2已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ，的最小值为 ．
【答案】 3 /
【详解】在中，由及余弦定理，得
，因此；
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：3；
方法技巧 边角互化常用原则
选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有，可考虑余弦定理，“角化边”；
（4）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
【变式6-1】在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，由正弦定理得，
，
，即，
，，，
，，.
故选：A.
【变式6-2】在中，角，，的对边分别为，，，面积为S.若，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，，且，所以，
即，
由正弦定理得：,
又因为三角形中,,
，
因为,所以.
故选：C.
【变式6-3】（多选）锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，，则下列正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】A：由，结合余弦定理得，
即，又因为为锐角三角形，所以，则，故A项正确；
B：，由正弦定理得，
即
，
再结合，可得，即，从而得，故B项错误；
C：由，，可得，故C项错误；
D：由三角形面积公式可得，故D项正确.
故选：AD.
【变式6-4】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求C；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，可得，
由余弦定理，
可得.
因为，所以.
（2）因为，所以由正弦定理得，即.
因为，所以，即.
故的面积.
题型7 三角函数与解三角形的综合应用
例7-1已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求的周长.
【答案】(1)
(2)3
【详解】（1）
.
令，解得.
所以的单调递增区间为.；
（2），即.
因为，所以，所以，即.
由余弦定理，可得，即，所以.
于是，所以.
所以的周长为.
例7-2已知，.
(1)若函数的最小正周期为，求的值；
(2)已知中，角、、所对的边分别为、、.若，，，的面积为，求边的长.
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）依题意，，
由函数的最小正周期为，得，
所以；
（2）由（1）及，得，
由，得，
在中，，则，
解得，即，
由，的面积为，得，
解得，
由余弦定理得
.
【变式7-1】函数的的部分图象如图，且经过点，.

(1)求函数的解析式；
(2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为图像经过，，
所以得周期，由得.
又得，，又因为，
所以，所以.
（2）因为，又，
结合图像可知：，，
又，，由余弦定理可得.
在中，易求得，
由平方关系可得：.
所以.
【变式7-2】平面向量，函数．
(1)求函数的最小正周期与零点；
(2)在三角形中，内角的对边分别为，已知，，求三角形的面积．
【答案】(1)最小正周期为；函数的零点为
(2)
【详解】（1）因为，
所以
，
所以最小正周期为，
由，可得，解得，
所以函数的零点为.
（2）因为，所以，所以，
因为为三角形内角，所以，所以，即，
因为，所以，
整理得，解得或(舍去），
所以的面积为.
【变式7-3】已知函数，若先将其图象向右平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.
(1)求函数在上的值域；
(2)在中，角的对边分别为，若，且，求.
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）将图象向右平移个单位长度，
得的图象，
再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得的图象，
由，得，所以，
故函数在上的值域为；
（2）由（1）得，
因为，所以，
由余弦定理得，又，所以，
由正弦定理得，又，
故.
题型8 最值问题（基本不等式法）
例8-1如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】连接，
在中，，，
由余弦定理可得，
在中，，由余弦定理可得
，即，
当且仅当时，等号成立，
所以，，
即面积的最大值为.
故选：A.
例8-2在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，当的周长取最大值时，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
因为，所以，
又因为，且，所以，
又因为，，
所以，即.
（2）在中，由余弦定理，
得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为，
此时面积.
方法技巧 基本不等式求最值
利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”
【变式8-1】（ 2025·河南·二模）记的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)若边上的中线长为，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【详解】（1）由余弦定理，得，
故，即，当且仅当时等号成立，
由正弦定理可得，
又，故，即.
（2）
设为的中点，则有，
两边平方得，，
即，
故，即，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为4.
【变式8-2】在中，角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于点，且，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以
，
所以，
由于，则，所以，即，
又，所以.
（2）因为的角平分线交于点，且，，
根据三角形面积公式可得，
又，得，得，当时等号成立，
所以，
即的面积最小值为．
【变式8-3】已知、、分别为斜中角、、的对边，．
(1)求；
(2)已知的面积为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
即，
因为为斜三角形，所以，故，
由正弦定理可得．
（2）由（1）知，，所以，
所以，
即，
因为，则，故，所以，
所以，则，
所以，
当且仅当，即时，取最小值．
题型9 最值问题（三角函数法）
例9-1已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为 .
【答案】
【详解】因为，由正弦定理得，
所以，
可得，
因为为的内角，所以，则，
又因为，可得，所以，
因为，由正弦定理得，
又因为，
所以，
则，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：.
例9-2已知三角形，角、、所对的边分别为、、，且，.
(1)求角；
(2)求的最大值，并求出此时的周长.
【答案】(1)
(2)的最大值为，此时的周长为
【详解】（1）由可得，
由正弦定理可得，
所以，
因为、，所以，则，故.
（2）由正弦定理可得，
所以
，
设锐角满足，，
所以，
因为，则，
故当时，即时，取最大值，
此时，，，
此时，的周长为.
方法技巧 三角函数法求最值
先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围
【变式9-1】（ 2025·辽宁鞍山·一模）在锐角中，内角所对的边分别为，为的面积，，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由，则，故,
由是的内角，则,
所以,
由正弦定理，,
由是锐角三角形，
所以且,
解得或(舍去),
令,设,
当时，单调递增，故,
而,故.
故答案为：.
【变式9-2】已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若，D为BC边的中点，求AD长的最大值；
(3)若，求面积的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由题设及正弦边角关系知，
所以，
由，则，且，可得；
（2）由（1）及余弦定理有，
所以，当且仅当时取等号，
D为BC边的中点，则，
所以，
综上，AD长的最大值；
（3）由，，
由（1）易知，则，
由为锐角三角形，则，则，
所以.
【变式9-3】设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆圆心为O，且，．
(1)求的取值范围；
(2)求和面积之差的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
可化为，
由余弦定理知，，
又,所以，
由,
因为为锐角外接圆圆心，
所以
由余弦定理得，
，
所以，
由正弦定理得，，
则
，
由,解得，
所以，
则，
所以.
（2）设的外接圆半径为，
则,
且,即,
因为,
所以,
,
所以
,
所以当即时，
和面积之差的最大值
【变式9-4】的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，求内切圆的半径；
(3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）因为，
所以.
由正弦定理得，所以，
因为，所以.
（2）由（1）知，代入数据得.
因为的面积，
所以内切圆的半径.
（3）如图，设，，则，且.
因为，所以.
由正弦定理得，所以，
所以，其中，
故的最大值为.
题型10 切弦互化求最值问题
例10-1已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据正弦定理的边化角公式以及两角和的正弦公式，得出，再将化简为，利用换元法以及导数，即可得出的取值范围.
【详解】由，得
整理得
，
又，
令，因为，所以
则
令，则
；
即函数在上单调递减，在上单调递增，即
故选B
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，涉及了导数的应用，属于较难题.
【变式10-1】已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，且
，
由正弦定理得：，
即
又，
，
，
（当且仅当，即，取“=”）.
故选：A
【点睛】本题主要考查正弦定理和基本不等式，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养，属于中档题.
【变式10-2】在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，根据正弦定理得，
因为，
所以，
因为三角形为锐角三角形，
所以，即，
，
由题，则，
所以，
故选：A
1．（2023·北京·高考真题）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
2．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，
则.
故选：C.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故选：C.
4．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得，
又，所以.
故选：A
5．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式， ，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为
7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
8．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）已知，由正弦定理，
得，显然，
得，由，
故；
（2）由（1）知，且，，
由余弦定理，
则，
解得（舍去），
故；
（3）由正弦定理，且，
得，且，则为锐角，
故，故，
且；
故.
9．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
2．在中，求证：.
【答案】证明见解析
【详解】根据余弦定理的推论，得左边右边，故等式成立.
【点睛】本题考查了余弦定理的推理的应用，考查了证明等式的方法及推理论证能力，属于基础题.
3．已知、、分别为三个内角、、的对边，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求、.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据正弦定理，
变为，即，
也即，
所以．
整理，得，即，所以，
所以，则．
（2）由，，得．
由余弦定理，得，
则，所以．则．
4．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.
【答案】
【详解】在△BCD中，
.
由正弦定理得
所以
在Rt△ABC中，
塔高为.
考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
（1）掌握正、余弦定理及其变形
（2）理解并应用三角形面积公式
（3）解决三角形度量相关问题
单选题
多选题
填空题
解答题
全国二卷T5（5分）
天津卷T16（14分）
北京卷T16（13分）
全国Ⅰ卷T15（13分）
全国甲卷（文）T12（5分）
全国甲卷（理）T11（5分）
全国 II卷T15（13分）
全国甲卷（文）T17（12分）
全国甲卷（理）T16（5分）
全国乙卷（文）T4（5分）
全国乙卷（理）T18（12分）
全国 I卷T17（12分）
全国 II卷T17（12分）
考情分析：
解三角形是全国卷数学的核心考点，每年必考1-2题，主要以选择题、填空题和中档解答题形式呈现。高频考查正弦定理、余弦定理及面积公式，涉及边角互化、判断三角形形状、多解问题等基础内容。
该专题难度多为中档，但常与三角函数、向量等知识交汇，提升综合考查力度。备考需熟练掌握公式变形与应用，强化应用题训练，培养几何直观与逻辑推理能力，同时关注多解讨论、最值问题等易错点。建议通过真题演练掌握“边化角”“角化边”技巧，提升跨章节知识整合能力。
复习目标：
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
3.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
4.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题.
定理
正弦定理
公式
，其中为的外接圆的半径.
常见变形
① ；
②，， ；
③；
解三角形问题
①已知两角和任意一边，求其他的边和角；
②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
定理
余弦定理
公式
常见变形
，，
解三角形问题
①已知三边，求三个角；
②已知两边和一角，求第三边和其他两角．
余弦定理与勾股定理的关系
⇔C为直角；
⇔C为钝角；
⇔C为锐角.