2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第09讲拓展四：三角形中周长(定值，最值，取值范围)问题(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第09讲拓展四：三角形中周长(定值，最值，取值范围)问题(精讲)(原卷版+解析)，共3页。试卷主要包含了基本不等式，利用正弦定理化角等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc19290" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc19290 \h 1
\l "_Tc9035" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc9035 \h 1
\l "_Tc23965" 高频考点一：周长（边长）定值（求周长） PAGEREF _Tc23965 \h 1
\l "_Tc28778" 高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和） PAGEREF _Tc28778 \h 4
\l "_Tc6697" 高频考点三：周长（边长）最值（周长最值） PAGEREF _Tc6697 \h 7
\l "_Tc16423" 高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值） PAGEREF _Tc16423 \h 9
\l "_Tc18281" 高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围） PAGEREF _Tc18281 \h 12
\l "_Tc23840" 高频考点六：周长（边长）取值范围（边的代数和取值范围） PAGEREF _Tc23840 \h 15
\l "_Tc5111" 频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围） PAGEREF _Tc5111 \h 18
第一部分：基础知识
1、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；
2、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：周长（边长）定值（求周长）
典型例题
例题1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角A；
(2)若，的面积为，求的周长．
例题2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，且的面积为1，求的周长．
例题3．已知三角形，角、、所对的边分别为、、，且，.
(1)求角；
(2)求的最大值，并求出此时的周长.
精练高频考点
1．在中，角的对边分别是，．
(1)求；
(2)若，的面积是，求的周长．
2．已知中，角所对的边分别为，的面积满足．
(1)求；
(2)若，，求的周长．
3．如图，已知的内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若边上的中线，且，求的周长.
高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和）
典型例题
例题1．在中，已知的平分线与边相交于点.
(1)求证：；
(2)若，，，求.
例题2．在中，内角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积；
(3)若，的周长为5，求的长．
例题3．在中，角、、所对的边分别为、、，且．
(1)求角；
(2)若，三角形的面积为．求．
精练高频考点
1．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，.
(1)求角C；
(2)若，的面积为，求a，c.
2．已知函数，.
(1)求函数的最小正周期与单调增区间；
(2)设中，角，，的对边长分别为，，，若，，的面积为，求的值.
3．在中，内角的对边分别为的面积满足：
(1)求；
(2)若平分，且，求．
高频考点三：周长（边长）最值（周长最值）
典型例题
例题1．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
(1)求A；
(2)求周长的最大值．
例题2．已知的内角所对的边分别为，，并且______．
①；
②．
从上面两个条件中任选一个，补充在问题中，并解答下列问题．
(1)求角；
(2)求周长的最大值．
例题3．已知的面积为，．
(1)求C的大小；
(2)求周长的最小值．
精练高频考点
1．在中，角对应的边分别为，已知，为中点，．
(1)证明为等腰三角形；
(2)若，求周长的最小值．
2．已知的外接圆半径为1，内角，，的对边分别为，，.
(1)若边上的高为1，求的面积的最大值；
(2)若，求的周长的最大值.
3．在中，.
(1)求；
(2)若，求的周长的最大值.
高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值）
典型例题
例题1．已知的内角的对边分别为，若．
(1)求角C的大小；
(2)若的面积为，求的最小值．
例题2．记的角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
例题3．在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若的中线，求的最大值．
精练高频考点
1．记的内角（其中为钝角）的对边分别为，已知，且．
(1)求；
(2)若，求的最值．
2．记的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求的大小；
(2)若的外接圆半径为2，试确定的关系式，并求的最大值．
3．在中，角、、的对边分别为、、，满足.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求的最小值．
高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围）
典型例题
例题1．在中，，．
(1)求；
(2)求周长的取值范围.
例题2．已知的内角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
例题3．的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求的周长的取值范围.
精练高频考点
1．在中，角A，B，C所对的边是a，b，c，且满足，．
(1)求角B的大小；
(2)求面积的最大值．
(3)求周长的取值范围.
2．设向量，.函数.
(1)求的单调增区间；
(2)求在上的零点；
(3)在中，若，且边，直接写出周长的取值范围.
3．在中，．若，
(1)求面积的最大值；
(2)求周长的取值范围．
高频考点六：周长（边长）取值范围（边的代数和取值范围）
典型例题
例题1．在中，角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求角；
(2)若，且边的中线的长为，求的面积；
(3)若是锐角三角形，求的范围．
例题2．在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件①：；条件②：．
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围．
例题3．已知向量，设函数．
(1)求函数的最小正周期：
(2)若，且，求的值；
(3)在锐角中，角的对边分别为，且，求的取值范围．
精练高频考点
1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求B．
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围．
2．已知向量，，函数．（注：表示向量、的夹角）
(1)求函数零点；
(2)若锐角的三内角、、的对边分别是、、，且，求的取值范围．
3．已知向量，，，其中A是的内角，.
(1)求角A的大小；
(2)若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围.
频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围）
典型例题
例题1．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若的角平分线交于点，且，，求边的长度；
(3)若为锐角三角形，，求周长的取值范围.
例题2．在中，内角的对边分别是，已知，且.
(1)求；
(2)若为内一点且，求长度的最大值；
(3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围.
例题3．在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，求的值；
(2)若，平分，求的值；
(3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
精练高频考点
1．在锐角中，角、、的对边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
2．在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
(3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
3．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
已知是的三个内角的对边，且__________.
(1)求；
(2)若，求锐角的周长的取值范围.
第09讲 拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc19290" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc19290 \h 1
\l "_Tc9035" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc9035 \h 1
\l "_Tc23965" 高频考点一：周长（边长）定值（求周长） PAGEREF _Tc23965 \h 1
\l "_Tc28778" 高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和） PAGEREF _Tc28778 \h 6
\l "_Tc6697" 高频考点三：周长（边长）最值（周长最值） PAGEREF _Tc6697 \h 13
\l "_Tc16423" 高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值） PAGEREF _Tc16423 \h 17
\l "_Tc18281" 高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围） PAGEREF _Tc18281 \h 23
\l "_Tc23840" 高频考点六：周长（边长）取值范围（边的代数和取值范围） PAGEREF _Tc23840 \h 30
\l "_Tc5111" 频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围） PAGEREF _Tc5111 \h 38
第一部分：基础知识
1、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；
2、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：周长（边长）定值（求周长）
典型例题
例题1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角A；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.
（2）利用三角形面积公式及（1）中信息求出即可.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
整理得，由余弦定理得，而，
所以.
（2）由的面积为，得，解得，
由（1）得，解得，
所以的周长为.
例题2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，且的面积为1，求的周长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解.
（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及勾股定理列式求出周长.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得
，则，而，因此,
而，所以.
（2）由（1）得，，则，又，
因此，所以的周长.
例题3．已知三角形，角、、所对的边分别为、、，且，.
(1)求角；
(2)求的最大值，并求出此时的周长.
【答案】(1)
(2)的最大值为，此时的周长为
【分析】（1）由已知条件结合正弦定理、两角和的正弦定理可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换、三角函数的有界性求出的最大值，并求出对应的、的值，由此可得出的周长.
【详解】（1）由可得，
由正弦定理可得，
所以，
因为、，所以，则，故.
（2）由正弦定理可得，
所以
，
设锐角满足，，
所以，
因为，则，
故当时，即时，取最大值，
此时，，，
此时，的周长为.
精练高频考点
1．在中，角的对边分别是，．
(1)求；
(2)若，的面积是，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理即可求；
（2）根据三角形面积求得，再利用余弦定理求得，即可求得答案.
【详解】（1）由题意在中，得，
故 ，
由于，所以.
（2）由（1）及题意可知的面积是，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
于是的周长为.
2．已知中，角所对的边分别为，的面积满足．
(1)求；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式、余弦定理化边为角，结合同角三角函数的基本关系求，
（2）解法一，利用正弦定理、三角形内角和定理等求之间的关系，求的值，再求出的周长，
解法二，利用正弦定理、三角形内角和定理等求，根据三角形的面积公式、正弦定理求的值，再求的周长.
【详解】（1）由，得，
等号两边同时除以得，
因此．
又，，
所以，．
（2）解法一
由及正弦定理得，
因为，所以，
又，所以为钝角，所以为锐角，所以．
故，
所以．
不妨设，则，，由得，
即，得，
所以，，．
因此的周长为．
解法二
由及正弦定理得，因为，所以，
又，所以为钝角，故为锐角，
故，则，
所以．
由，得，所以，
得，则．
由，得，解得．
因此的周长为．
3．如图，已知的内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若边上的中线，且，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理以及向量数量积的定义列出方程组即可求解；
（2）由，在与中结合余弦定理求解即可得出结果.
【详解】（1）因为，即，
又，所以，
可得，又，
因此；
（2）由（1）可得，又，
由余弦定理可得，所以；
在中，，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得；
又因为，可得，
联立，解得；
又，可得，
所以的周长为.
高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和）
典型例题
例题1．在中，已知的平分线与边相交于点.
(1)求证：；
(2)若，，，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分别对和采用正弦定理可得，，两式联立即可.
（2）解法一：由，得与，左右两侧同时平方解得与的长度，再通过余弦定理求解即可.
解法二：由，得，通过等面积法可求解与的长度，再通过余弦定理求解即可.
【详解】（1）在和中，如图所示：

由正弦定理得：
，，
因为，所以，
所以，
即，
又因为为的角平分线，所以，
所以，，两式相除得，
所以得证.
（2）解法一：，所以，
平方得，由（1）可得：，，
解得，，
则，，
所以.
解法二：
由，由（1）得，所以，
因为为的角平分线, ，所以，
则，
解得，，
则，，
所以.
例题2．在中，内角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积；
(3)若，的周长为5，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）解法1：根据正弦定理化边为角，利用两角和的正弦公式结合诱导公式化简即得结果；
解法2：将条件变形得后，利用摄影定理和正弦定理即得结果.
（2）由（1）得，结合，利用余弦定理可求得，再利用三角形的面积公式计算即可；
（3）由（1）得，结合，利用余弦定理可求得再由周长为5即可求得结果，
【详解】（1）解法1：在中，由正弦定理得
因为，
所以
所以，
即
所以，
即，所以，
所以．
解法2：因为，
所以．
因为，，
所以，，即．
（2）由（1）知，即，
又因为，所以由余弦定理得，
即，解得，所以．
又因为，所以，
故的面积为．
（3）由得，
因为，所以，
所以．
又，
所以．
例题3．在中，角、、所对的边分别为、、，且．
(1)求角；
(2)若，三角形的面积为．求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由三角形的面积公式可求出的值，再利用余弦定理可求出的值，即可求出的值.
【详解】（1）在中，由及正弦定理得：
，
所以．
由，得，所以．
因为，故．
（2）由已知及（1）的结论得，，
则，即．
由余弦定理可得，
即，即，
所以，
故.
精练高频考点
1．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，.
(1)求角C；
(2)若，的面积为，求a，c.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件结合正弦定理，三角恒等变换可得，即可求角.
（2）由三角形面积公式有，再应用三角函数值求得，最后由正弦定理可得， 代入即可求解.
【详解】（1）因为及正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以；
（2）因为，所以，所以，
因为的面积为，
因为，所以，
由正弦定理得，所以，
所以，所以.
2．已知函数，.
(1)求函数的最小正周期与单调增区间；
(2)设中，角，，的对边长分别为，，，若，，的面积为，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期及单调增区间即可.
（2）先根据求C，再根据三角形面积公式得，由余弦定理得，最后解方程组得参数值，再相加求结果即可.
【详解】（1）由题意得
，
由正弦函数最小正周期公式得最小正周期；
由，解得，
得函数的增区间为.
（2）由得，，则，
因为，所以，
可得，故，
由三角形面积公式得，解得，记为①式，
由余弦定理得，记为②式，
联立①②解得或，故.
3．在中，内角的对边分别为的面积满足：
(1)求；
(2)若平分，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形面积公式和正弦定理化简已知条件，进而求出角；
（2）根据向量关系和角平分线性质，结合三角形面积公式求出边与的关系，再利用余弦定理求出.
【详解】（1）已知，根据三角形面积公式，将其代入已知条件可得：
由正弦定理得：
因为，所以，，等式两边同时除以得
因为，所以，等式两边同时除以得：
即，所以.又因为，所以.
（2）因为，所以.
又因为CD平分，所以.
根据三角形面积公式，可得，即.
在中，根据余弦定理，将，代入可得：，化简得
在中，根据余弦定理，将，代入可得：，即，
在中，根据余弦定理，将代入可得：，即，
因为，所以，即，则有：
，即，即，
解得.将代入可得，所以.
高频考点三：周长（边长）最值（周长最值）
典型例题
例题1．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
(1)求A；
(2)求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）结合条件和两角和差的正弦公式化简得，由知，根据角A的范围求解即可.
（2）根据余弦定理得，然后利用完全平方和及基本不等式求得，即可求解周长的最大值.
【详解】（1）由题意可得
，即，
因为，故，故，，所以．
（2）由余弦定理可得，即，
所以，又，所以，
所以的周长，当且仅当时取等号，
故周长的最大值为6．
例题2．已知的内角所对的边分别为，，并且______．
①；
②．
从上面两个条件中任选一个，补充在问题中，并解答下列问题．
(1)求角；
(2)求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，正弦定理及辅助角公式得到，再结合的范围得到；选②，由正弦定理和余弦定理得到；
（2）法一：由余弦定理得到，再由均值不等式得到，从而得到周长的范围；
法二：由正弦定理边化角得到，，利用辅助角公式化为单角单函数，从而得到周长的取值范围.
【详解】（1）选①，
因为，所以由正弦定理得．
因为，所以，即．
因为，所以，
从而，即．
选②，
因为，
所以，即，所以．
因为，所以．
（2）法一：由（1）知，．
在中，由余弦定理得，即，
所以，得，当且仅当时等号成立．
所以周长的最大值为．
法二：由正弦定理有，得，．
因为，所以，
于是．
因为，所以，
从而，
所以，即周长的最大值为．
例题3．已知的面积为，．
(1)求C的大小；
(2)求周长的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用向量数量积的定义及三角形面积公式可得，结合角的范围求其大小；
（2）由（1）得，余弦定理得，再应用基本不等式求三角形周长的最小值.
【详解】（1）设，则①，②，
②①，得，解得，又，所以；
（2）由（1）知，所以，
设，由余弦定理得，
的周长为，当且仅当时取等号，
所以周长的最小值为.
精练高频考点
1．在中，角对应的边分别为，已知，为中点，．
(1)证明为等腰三角形；
(2)若，求周长的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理和三角函数的基本关系式，化简得到，求得，得到，即可证得为等腰三角形；
（2）设的周长为，由（1）知，由题意得到，且，化简得到，结合正切函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：在中，由正弦定理，可得，
又由，可得，
整理得，所以，
可得，
即，
因为，可得，所以，
即，可得，所以为等腰三角形.
（2）解：设的周长为，由（1）知：，
因为为等腰三角形，为的中点，可得，
则，且，
所以，
因为，所以，由正切函数的性质，可得，
所以当时，即时，的周长取得最小值，最小值为.
2．已知的外接圆半径为1，内角，，的对边分别为，，.
(1)若边上的高为1，求的面积的最大值；
(2)若，求的周长的最大值.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）先求得的面积，然后利用等面积法求得边上的高；（2）由正弦定理知，然后分类进行求解.
【详解】（1）因为若边上的高为1，所以，
正弦定理得，可得.
所以的面积.
又，所以当时，的面积有最大值，最大值为1.
（2）由正弦定理知，可得，则或.
若，则的周长为
，
当时，周长有最大值，最大值为.
若，则的周长为
，
当时，周长有最大值，最大值为.
因为，所以的周长的最大值为.
3．在中，.
(1)求；
(2)若，求的周长的最大值.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）利用诱导公式及同角公式化简给定等式，再利用正弦定理、余弦定理求解.
（2）由（1）中信息，利用基本不等式求出最大值即可.
【详解】（1）在中，令内角所对边分别为，
由，
得，由正弦定理得，
由余弦定理，得，而，所以.
（2）由已知及（1）得，，
解得，当且仅当时取等号，
所以求的周长的最大值为6.
高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值）
典型例题
例题1．已知的内角的对边分别为，若．
(1)求角C的大小；
(2)若的面积为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式求解即可；
（2）先利用三角形的面积公式求出，再根据余弦定理结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）由，得，
所以，
因为，所以，
所以，所以；
（2）因为，所以，
由余弦定理得，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
例题2．记的角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）先利用正弦定理求出，再根据二倍角公式和商数关系结合基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）因为，由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得：，
因为，所以；
（2）由正弦定理：，
，
则，
又因为代入得：
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为3．
例题3．在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若的中线，求的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）.
.
（2）为中线结果.
【详解】（1）由题可得，，结合正弦定理可得，
因为，所以，得，
因为，所以．
（2）易知，（技巧：向量的平行四边形法则）
两边同时平方得，得．
法一：可化为，
因为，所以，
所以，得，
当且仅当时取等号．（点拨：运用基本不等式求最值时，注意等号是否可以取到）
所以的最大值是4．
法二：，
令
则，
所以，
当且仅当，即时等号成立．（点拨：三角函数的有界性）
所以的最大值为4．
精练高频考点
1．记的内角（其中为钝角）的对边分别为，已知，且．
(1)求；
(2)若，求的最值．
【答案】(1)
(2)最小值为，无最大值
【分析】(1)先利用正弦定理得到和的关系，然后再结合得到的值，最后用和角余弦公式即可求得.
(2)由（1）知，利用余弦定理将用和表示，的表达式由多项式组成，所以在分母会使化简很复杂，所以转化为其倒数结合和关系化简即可得到的最值.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理，
得，
因为，所以，
因为是以为钝角的三角形，所以为锐角，
则，故．
（2）由（1）可得，结合余弦定理有，
因为，所以，
则，
因为，则，
所以，
故的最小值为，无最大值．
2．记的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求的大小；
(2)若的外接圆半径为2，试确定的关系式，并求的最大值．
【答案】(1)
(2)，最大值为
【分析】（1）根据余弦的和角公式可得，即可代入求解，
（2）根据诱导公式可得，即可利用正弦定理边角互化，结合二倍角公式以及二次函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）由可得，
即，进而得到，
当可得，
由于，故.
（2）由可知为钝角，进而为锐角，
故，因此，
则，
由正弦定理得
，
故当时，此时取最大值.
3．在中，角、、的对边分别为、、，满足.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）利用边角互化思想得，由余弦定理求出的值，从而得出角的值；
（2）由三角形的面积公式得出的值，再由基本不等式即可计算得解．
【详解】（1）由正弦定理得，
又由余弦定理得，
因为是三角形内角，所以；
（2）由三角形面积公式得：
，
解得，
因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为4，此时为等边三角形．
高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围）
典型例题
例题1．在中，，．
(1)求；
(2)求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，由求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得周长的取值范围.
【详解】（1）因为，所以.
因为，所以，所以，故.
（2）由正弦定理，可得，
所以，，所以.
因为，所以，
因为
，
所以.
因为，所以，所以.
所以，即，所以，
即△周长的取值范围为.
例题2．已知的内角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化角为边，再结合余弦定理求；
（2）由（1）结合余弦定理可得，再利用基本不等式求的范围，由此可得结论.
【详解】（1）设的外接圆的半径为，
由正弦定理可得，，，
因为，
所以，
所以，
由余弦定理可得，
又，可得；
（2）由题意可得，，
由余弦定理可得，
即，
所以，
所以，
又，
故，当且仅当时取等号，
即的周长的取值范围为.
例题3．的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求的周长的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦公式求解即可；
（2）利用正弦定理得，所以，将的周长的取值范围转化为正弦型函数的值域问题求解即可.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得：，
即，所以，
由于，所以，又，
所以.
（2）由正弦定理得：，
因为，所以，
所以
，
因为，所以，
故，所以.
故的周长的取值范围为：.
精练高频考点
1．在中，角A，B，C所对的边是a，b，c，且满足，．
(1)求角B的大小；
(2)求面积的最大值．
(3)求周长的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）方法一用正弦定理边角互化，方法二用余弦定理边角互化，都可将条件转化成，结合三角形内角的范围即可求得；
（2）方法1：利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，即可求得面积最大值；方法2：利用正弦定理化边为角，列出三角形面积公式，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，根据三角函数的值域求得其最大值；
（3）方法1：利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，利用三角形三边关系定理求出其范围，即得周长范围；方法2：利用正弦定理化边为角，列出的表达式，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，根据三角函数的值域求其范围即得.
【详解】（1）方法1：
因为 ，所以．
由正弦定理可得：，即 ．
因为角为的内角，所以，
因此，又因为 ，所以．
方法2：
因为 ，所以．
利用余弦定理：，
化简得：．
又由余弦定理： ，
可得：，又因为，故．
（2）方法1：
由余弦定理 ： 及 ，得：，
即 ．当且仅当时等号成立，
所以三角形面积，
即面积的最大值为.
方法2：
由正弦定理， ，可得：，
则．
利用 ，代入化简得：
．
因为 ，所以 ，即，
因此 ，
故 的面积的最大值为 ．
（3）方法1：
由余弦定理 ，代入 得：．
利用不等式 ，可得：，
即，故 ．
又因为 ，故得，
即周长的取值范围是．
方法2：
由 ，得 ．根据正弦定理：，
故．
因为 ，所以 ，即．
因此，
即周长的取值范围是．
2．设向量，.函数.
(1)求的单调增区间；
(2)求在上的零点；
(3)在中，若，且边，直接写出周长的取值范围.
【答案】(1)，
(2)或或或或
(3)
【分析】（1）利用平面向量数量积坐标公式结合三角恒等变换求出函数解析式，最后利用正弦函数的性质求出函数的单调递增区间；
（2）结合正弦函数的性质，令求解即可；
（3）首先利用求出的值，然后利用正弦定理表示三角形的边，根据两角和的正弦公式和辅助角公式将周长变形，再由角的范围结合正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1），
令，解得，，
因此单调增区间为，.
（2），即，
因为，所以，所以或或或或，
解得或或或或，所以在上的零点为或或或或；
（3）由（1）知，，所以，
又因为，所以，由正弦定理，
所以，，
所以
，
因为，所以，
所以，所以，
即，所以周长的取值范围为.
3．在中，．若，
(1)求面积的最大值；
(2)求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式求出，即可求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解；
（2）结合（1）及基本不等式求出的范围，即可得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：，
则，
所以，
所以，
因为为的内角，所以，所以.
又，所以.
由余弦定理，即．
因为，当且仅当时取“”，
所以．
所以．
当为等边三角形时，面积取得最大值为．
（2）因为，
且，当且仅当时取“”，
所以，
又，所以，
所以，
所以周长的取值范围为.
高频考点六：周长（边长）取值范围（边的代数和取值范围）
典型例题
例题1．在中，角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求角；
(2)若，且边的中线的长为，求的面积；
(3)若是锐角三角形，求的范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得得解；
（2）根据余弦定理可得，利用向量的中线公式及数量积的运算，可得，再利用面积公式，即可求解；
（3）根据正弦定理边角化以及三角恒等变换可得，再根据角的范围，结合三角函数的性质即可求解．
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
所以，
得到，即，
又，，所以，
又因为，可得.
（2）因为，且，
所以由，可得，解得，
由题意，
两边平方，可得，
因为，所以，解得或（舍），
则的面积为.
（3）因为
，
由题知，，解得，
因为，
所以，可得，
可得，
所以．
例题2．在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件①：；条件②：．
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，由正弦定理和同角三角函数关系得到，故，由余弦定理得到，利用三角形面积公式进行求解；
选②，由余弦定理求出，，由三角形面积公式求出答案；
（2）解法一：由余弦定理和基本不等式得到，结合三角形的三边关系可知，从而求出的取值范围；
解法二：由正弦定理得到，结合三角恒等变换得到，结合，求出，得到答案.
【详解】（1）选条件①：由正弦定理，得．
因为，所以，
所以，得．
因为，所以．
在中，当时，
由余弦定理，
得，即，所以，
所以．
选条件②：因为，整理得．
由余弦定理，得．
因为，所以．
在中，当时，
由余弦定理，
得，即，所以，
所以．
（2）解法一：由题设及（1）可知．
由余弦定理，得，
化简得．又，
所以，
解得，
当且仅当时等号成立，
由三角形的三边关系可知，
所以，即的取值范围为．
解法二：由题设及（1）可知．
由正弦定理，得，
所以，
得
，
因为，则，
所以，
故，
所以，即的取值范围为．
例题3．已知向量，设函数．
(1)求函数的最小正周期：
(2)若，且，求的值；
(3)在锐角中，角的对边分别为，且，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算、二倍角正余弦公式及辅助角公式得，进而求最小正周期；
（2）由题设，结合已知及平方关系求；
（3）由题设得、，再由已知及正弦定理得求目标式的范围.
【详解】（1）由题设，
所以最小正周期；
（2）由（1）及已知，
由，且，，
所以，可得，
所以，且，可得（负值舍）；
（3）由题设，，可得，
所以，则，
由，可得，
所以，
由，可得，则，
所以，故.
精练高频考点
1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求B．
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后可利用余弦定理求得结果；
（2）首先根据正弦定理表示，再结合三角函数恒等变形，以及三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）
由正弦定理得：
，
，，
（2），
由正弦定理得，
，
，
所以的取值范围为
2．已知向量，，函数．（注：表示向量、的夹角）
(1)求函数零点；
(2)若锐角的三内角、、的对边分别是、、，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算结合两角和的正弦公式可得出函数的解析式，解方程，即可得出函数的零点；
（2）由结合角的取值范围可得出的值，利用正弦定理结合三角恒等变换得出，求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）已知向量，，
，
，
由可得，解得，
故函数的零点为.
（2）由正弦定理得①，
由（1）及，得，所以，解得，
又，得，，，代入①式化简得：
，
又在锐角中，解得，
所以，则有，即：．
所以的取值范围是．
3．已知向量，，，其中A是的内角，.
(1)求角A的大小；
(2)若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，由可得，由可得B为钝角，由此可求结论；
（2）根据正弦定理证明，，化简可得，根据在上单调递减即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，由，得B为钝角，
则A为锐角，故，所以，故；
（2）因为，由正弦定理得，
所以，，
则，
因为函数，在上单调递减，
所以在上单调递减，
代入值计算得，
故的取值范围为.
频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围）
典型例题
例题1．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若的角平分线交于点，且，，求边的长度；
(3)若为锐角三角形，，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得解；
（2）结合角分线的性质及三角形面积公式化简可得解；
（3）由正弦定理进行边角互化可得，结合三角恒等变换可得，结合三角函数性质可得取值范围.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可知，即，
又由余弦定理可知，
又，则；
（2）由已知的角平分线交于点，
则，
又在中，，
即，
即，
解得；
（3）由正弦定理可知，
则，，
又在中，，
则周长，
因为为锐角三角形，
则，即，
则，
所以，
故周长.
例题2．在中，内角的对边分别是，已知，且.
(1)求；
(2)若为内一点且，求长度的最大值；
(3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理将角转化为边可得，再根据余弦定理即可求解；
（2）取的中点，连接，由向量的加法可得为的中点，利用向量的中线公式及余弦定理结合不等式可得，即可求解；
（3）根据正弦定理可得，，利用三角形内角和定理和三角恒等变换可得，根据正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
整理可得，所以，
因为，所以；
（2）取的中点，连接，所以，
因为，所以，所以为的中点，
因为，
所以
，
由余弦定理可得，即，
当且仅当时等号成立，
所以，所以，
所以，所以长度的最大值为；
（3）由正弦定理得，
所以，，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
所以的周长的取值范围为.
例题3．在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，求的值；
(2)若，平分，求的值；
(3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)0
(3)
【分析】（1）利用正弦定理以及化简，得，即可求解；
（2）设，由角平分线定理得，在等腰中求出，再在中利用余弦定理得，建立方程，得出，即可求得，进而计算；
（3）利用正弦定理以及，将表示为关于角的函数关系式，再根据锐角三角形求出角的范围，即可求函数值域.
【详解】（1）由得，
由正弦定理得，
即，
得，
因为，为三角形内角，所以或（舍去），
所以，
因，则．
（2）由（1）得，平分，则，
设，因，则，
因为平分，则由角平分线定理得，
则，
在等腰中，，在中由余弦定理得，，
由，得，，
又因为，则，，所以．
（3）在中由正弦定理得，
得，，所以，
又因为，
所以
因为为锐角三角形，则，且，
则，，解得，则，
所以，
所以周长的取值范围为．
精练高频考点
1．在锐角中，角、、的对边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，利用为锐角三角形求出角的取值范围，然后结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）由及正弦定理得，
所以，
因为，则，
所以，故.
（2）由正弦定理可得，
所以，，
所以
，
因为为锐角三角形，则，可得，
所以，，则，
故，
因此，周长的取值范围是.
2．在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
(3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由数量积坐标公式计算结合两角和正弦公式计算求解；
（2）应用余弦定理结合三角形面积公式计算求解；
（3）先应用正弦定理结合三角恒等变换计算，再应用正弦函数值域计算求解.
【详解】（1），，
即，
，，
又，，，
（2），，
，
，， 的周长为．
（3）在锐角三角形ABC中，，
因为根据正弦定理，所以，
因为三角形周长为，
又因为，所以，
所以，
因为，即，所以，
即，，
所以.
3．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
已知是的三个内角的对边，且__________.
(1)求；
(2)若，求锐角的周长的取值范围.
【答案】(1)选①②③，答案均为
(2)
【分析】（1）选①，由正弦定理得到，利用余弦定理得到；选②，利用恒等变换得到，结合，求出；选③，由正弦定理和三角恒等变换得到，求出答案；
（2）由正弦定理得到，变形得到的周长，利用是锐角三角形，所以，结合正弦曲线求出取值范围.
【详解】（1）选①，由，
可得，
因为及正弦定理，可得，
所以，整理得，
则，因为，所以；
选②，由，可得，
即，
因为，可得，所以，即；
选③，由，由正弦定理得，
即，
即，
整理得，
因为，可得，
即，因为，所以.
（2）由，可得，
故，
所以周长，
又由，可得，
，
又因为是锐角三角形，所以，
即，解得，
可得，所以，
所以，
所以的周长的取值范围为.