2026年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形重难点培优05解三角形中的几何图形(复习讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形重难点培优05解三角形中的几何图形(复习讲义)(学生版+解析)，共17页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一 几何图形：运用两次正弦定理（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二 几何图形：运用两次余弦定理（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 4
\l "_Tc26803" 题型三 几何图形：运用正、余弦定理综合（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 6
\l "_Tc13512" 题型四 几何图形结合中线（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 8
\l "_Tc3897" 题型五 几何图形结合角平分线（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 11
\l "_Tc326" 题型六 几何图形结合垂线（★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 13
\l "_Tc11957" 题型七 解三角形结合“四心”（★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 15
\l "_Tc17557" 题型八 证明等式（不等式）（★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 17
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 19
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 19
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 25
1、解决三角形图形类问题的方法
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.


题型一 几何图形：运用两次正弦定理
1．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，.
(1)求线段AC的长度；
(2)求的值.
2．在中，角，，的对边分别为，，且，作，使得四边形满足，．
(1)求角的值；
(2)求的取值范围．
3．（2025·河南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)记，若，求的值．
4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）如图，在四边形中，平分.
(1)若，求；
(2)若，求的面积.
5．如图，在平面四边形中，，，，
(1)求四边形的周长；
(2)若点在的外接圆的优弧上，求的最大值．
6．如图，在中，角所对的边分别为是内的一点，且满足．

(1)若，求的大小；
(2)若，求的正切值；
(3)若，求的值．

题型二 几何图形：运用两次余弦定理
1．如图所示，鹅岭公园的瞰远楼是重庆历史悠久且非常出名的观景点.我校数学兴趣小组成员为测瞰远楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得瞰远楼的高度（ ）
A．米B．米C．米D．米
2．如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，，在同一个铅垂平面内．在点测得的俯角分别为，在点测得的俯角分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·陕西安康·模拟预测）如图，由一个等腰三角形与一个直角三角形拼接成一个平面四边形，且，，，则当的长最大时，的值为 .
4．（2024·四川雅安·三模）已知四边形中，，设与的面积分别为，则的最大值为 .
5．（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
6．如图，在平面四边形中，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)求四边形面积S的最大值．
7．（24-25高三上·重庆·月考）如图，在平面四边形中，，若是上一点，．
(1)证明：；
(2)若．
①求的值；
②求的最大值．
8．数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论：
①四边形的四个顶点共圆的充要条件是四边形的内对角互补．
②（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．
③婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)见图1，若，求线段长度的最大值，并求出此时线段长度；
(2)见图2，若，求四边形面积的最大值，并求出此时角的大小．

题型三 几何图形：运用正、余弦定理综合
1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在处（点在水平地面下方）进行某仪器的垂直弹射，水平地面上的两个观察点相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．在地测得最高点的仰角（为与水平地面的交点），在地测得该仪器在处的俯角，则该仪器的垂直弹射高度为（ ）
A．米B．米C．米D．米
3．（2024·云南昆明·一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（ ）

A．B．C．D．
4．定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于的四边形．已知在平面凸四边形中，，，，，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25高三下·安徽安庆·月考）如图，在平面凸四边形中，.
(1)求；
(2)若，，求.
6．（24-25高三上·江西南昌·月考）如图，平面四边形中，，，为正三角形．
(1)当时，求的面积；
(2)设，求的面积的最大值．
7．如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，.
(1)求四边形ABCD周长的最大值;
(2)若，求AC的长.

题型四 几何图形结合中线
【技巧通法·提分快招】
1．如图，在中，已知，，边上的中线，则 ．
2．（多选题）在中，角，，所对的边分别为，，，两条中线，相交于点（如图），已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边BC上的中线记为.
(1)利用余弦定理证明：；
(2)如图，在平面a上的正投影为，O为BC的中点，已知直线AB，AO，AC和平面a所成的角分别为，，，，求.
4．如图，已知的内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若边上的中线，且，求的周长.
5．已知a，b，c分别为中角A，B，C的对边，G为的重心，为边上的中线.
(1)若的面积为，且，，求的长；
(2)若，求的最小值.
6．已知中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c；
(1)若满足，求证：．
(2)若在中，；
①BC边上的中线，求的面积的最大值．
②如图所示为等边三角形，，求当c为多少时，DE取得最大值．
7．（24-25高一下·福建三明·期中）.在中，设角，，的对边长分别为，，，已知：.
(1)求角；
(2)，求边上的中线的最小值；
(3)已知锐角的面积为.点是的重心，点是的中点，，线段与线段交于点，若，求的取值范围.

题型五 几何图形结合角平分线
【技巧通法·提分快招】
1．在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，.
(1)求的大小；
(2)求的值.
2．如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，.
(1)求；
(2)若，求四边形的面积.
3．在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．
4．在中，与的角平分线交于点D，已知．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的最大值．
5．如图，在中，，的角平分线交于，．

(1)求的取值范围；
(2)已知面积为1，当线段最短时，求实数．
6．如图，在中，是上一点，是上一点，且．
(1)已知，在的垂直平分线上，且．
①求；
②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求．
(2)若是的角平分线，，求的最大值．

题型六 几何图形结合垂线
【技巧通法·提分快招】
1．如图，在中，为BC边上一点，且.
(1)求AB的长；
(2)求的值；
(3)若的面积为，求中AD边上的高.
2．（23-24高三上·江西·月考）如图，在中，，，过B，C分别作AB，AC的垂线交于点D.
(1)若，求；
(2)若，求CD.
3．如图，在中，内角所对的边分别为为边上的高，且，求的取值范围．
4．设三个内角所对的边分别为．已知，且．
(1)求角的大小；
(2)如图，是延长线上的一点，在的外角内取一点，使得．过点分别作直线的垂线，垂足分别是．设，求的最大值及此时的取值．
5．（2025·广东·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若.
（i）求；
（ii）过边上一点作的垂线，垂足分别为，求的最小值.

题型七 解三角形结合“四心”
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·安徽·三模）在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)设的垂心为，若.
①求的值；
②求的值.
2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC上一点，AD平分，．
(1)求；
(2)若，求的外心O到BC的距离．
3．（2025·海南·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，．
(1)求A的大小；
(2)若是等腰三角形，且，在AB边上有一点M，点N是的重心，，求．
4．（24-25高三下·重庆北碚·月考）中，角、、分别对应的边为、、，且，.
(1)求证：为钝角三角形；
(2)若，，为的外心，求.
5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且．
(1)若，求的值；
(2)求的取值范围．
6．（2025·广东肇庆·二模）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________.
(1)求.
(2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积.
7．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围.
8．（24-25高三下·山东德州·月考）在中，角所对的边分别为，已知，且满足
(1)求角的大小
(2)的内心为，求周长的取值范围.
9．（24-25高三上·湖南益阳·月考）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中．
(1)求的最大值；
(2)若为____________，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值．
（从条件①内心,②垂心，③重心，,任选一个作答）

题型八 证明等式（不等式）
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·北京东城·一模）在中.
(1)求的值及的面积；
(2)求证：.
2．（24-25高三上·山西大同·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求；
(2)如图，为内一点，且，证明：．
3．（2024·广东汕头·二模）中，内角、、的对边分别为、、.
(1)若，，求的值；
(2)求证：.
4．（2024·安徽·模拟预测）在中，A，B，C所对的边是a，b，c．
(1)请用正弦定理证明：若，则；
(2)请用余弦定理证明：若，则．
5．（24-25高三上·河南周口·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，.
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)证明：.
6．（24-25高三上·辽宁·期中）在锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，成等比数列.
(1)求证：；
(2)求的取值范围；
(3)证明：.
（参考数据：）
7．在中，内角，，所对的边分别为，，，
(1)已知，
（i）求；
（ii）若，为边上的中点，求的长.
(2)若为锐角三角形，求证：

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ）

A．1小时B．0.3小时C．0.5小时D．0.2小时
2．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了在同一水平面上的，，三处（垂直于平面），如图.已知在，，处测得该建筑顶部的仰角分别为，，，是的中点，米，则该建筑的高度（ ）
A．米B．米C．米D．米
3．如图，在平面四边形中，，则（ ）
A．B．C．D．
4．在四边形中，设的面积为，的面积为，，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（多选题）中,,点在线段上,下列结论正确的是（）
A．若是中线,则B．若是高,则
C．若是角平分线,则D．若,则是线段的三等分点
6．（24-25高三上·上海·月考）某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为 （精确到）.

7．（2025·广西·模拟预测）如图，在中，是的中点，是上的点，，，，，则 .
8．（23-24高三上·福建泉州·期中）在中，是的角平分线且，，若，则的面积为 .
9．（23-24高三上·安徽合肥·月考）已知的内角所对的边分别为．
(1)求；
(2)为外心，的延长线交于点，且，求的面积．
10．（23-24高三上·河北邢台·期末）的内角A，，C所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于点，，，求．
11．（2024·江苏苏州·二模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)若，点为的重心，且，求的面积．
12．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在中，，D是斜边上的一点，，.

(1)若，求和；
(2)若，证明：.
13．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求；
(2)求；
(3)若为上一点，且的面积为，求．
14．（2025·江苏宿迁·二模）记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且．
(1)证明：；
(2)若，边上的高为，求．
15．（23-24高三上·河北·期末）在中，角的平分线与边交于点，且满足.
(1)若，求角；
(2)若，求证：.
16．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且

(1)求BO的长；
(2)若，求的值．
17．（23-24高三下·广西桂林·月考）已知的内角A，，所对的边分别为，，，，．
(1)求A的大小；
(2)请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并解决问题：
为内一点，的延长线交于点，求的面积．
①为的外心，；
②为的垂心，；
③为的内心，．
18．（2024·广东广州·模拟预测）三角形中，内角，，对应边分别为，，，面积.
(1)求的大小；
(2)如图，若为外一点，在四边形中，边长，，，求的最小值.
19．（2025·河南新乡·二模）的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，求内切圆的半径；
(3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值.
20．（24-25高三上·江苏常州·月考）如图，在平面四边形中，点与点分别在的两侧，对角线与交于点，.
(1)的内角的对边分别为若的面积为，，求的大小和；
(2)设，已知，且，求对角线的最大值和此时的值.
21．记斜的内角的对边分别为，已知，且．
(1)求角；
(2)为边的中点，若，求的面积；
(3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围．
22．（23-24高三上·广东佛山·月考）在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)若，求角；
(2)证明：
①；
②．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图），结合地形，他们选择了，两地作为测量点.通过测量得知：，两地相距300米，，分别位于地正东和东偏南方向上；，和分别位于地的北偏东，和南偏东方向上.则，两地之间的距离为 米；若一辆汽车通过高速公路段用时约50秒，则该辆汽车的车速约为 千米/小时.
（参考数据：，，，）

2．（24-25高三上·山东临沂·月考）如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是 ．
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有．
(1)求的面积；
(2)设内心为，外心为O，，求外接圆半径．
注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径．
4．如图，已知在平面四边形中，，，．

(1)若平分，求的长；
(2)设，
①若，求四边形的面积；
②当四边形面积最大时，求证：．
5．（2025·湖南长沙·三模）已知的角所对应的边为，，.
(1)若，求；
(2)若，求；
(3)在（2）的条件下，求证：.
6．如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为.

(1)求的大小；
(2)若外接圆半径为1，求的周长最大值.
(3)若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
7．（2025·浙江·三模）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，，且和的外接圆半径相等．
(1)若，求OA的长；
(2)若，求．
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长.
①向量法：,平方即可；
②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
△ABC中，AD平分∠BAC.
①角平分线定理：
证法1（等面积法），得
注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离.
证法2（正弦定理）
如图，，,而，整理得
②等面积法
①等面积法：
②
③
一、三角形的重心
1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
二、三角形的外心
1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；
2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
三、三角形的内心
1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心
2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等
②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
3、内切圆
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形
四、三角形的垂心
1、定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；
证明与三角形有关的等式(或不等式)的一般思路
1、利用正、余弦定理完成边角转化：把已知条件或待证等(不等)式转化为以角为研究对象的三角等(不等)式或以边为研究对象的代数等(不等)式.
2、充分利用三角形中隐含条件：(1)A＋B＋C＝π；(2)A＞B⇔sin A＞sin B；(3)a－b＜c＜a＋b及三角函数的性质、三角恒等变换公式等推导证明.