2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)高考数学88个易混易错全归纳(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)高考数学88个易混易错全归纳(学生版+解析)，共23页。学案主要包含了跟踪训练，跟踪训练1，跟踪训练2，错因分析等内容，欢迎下载使用。

易混易错01 对集合表示方法的理解偏差致错
辨析：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型（点集或者数集）及代表元素的含义．
【典例1】（25-26高三一上·上海普陀·月考）关于x，y的方程组的解集是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】由，则，
所以方程组的解集为.(易错点)
方程组的解是有序实数对，要用小括号括起来
故选：C
【典例2】（2025·湖北黄冈·二模）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为集合表示直线上所有点的集合，其元素是点，
集合表示直线上所有点的横坐标的集合，其元素是数，
所以.故选：D.
【跟踪训练】（25-26高三下·山西阳泉·开学考试）下列说法错误的是（ ）
A．集合与集合不是同一个集合
B．已知，满足条件的集合的个数有7个
C．代数式的值组成的集合是
D．函数的零点为
【答案】D
【解析】选项A，是点集，是数集，不是同一个集合，A对；
选项B，因为，
所以满足条件的集合的个数有，B对；
选项C，当时，；
当或时，；
当时，，C对；
选项D，函数的零点不是点，是变量x的值，
所以函数的零点是，D错．
易混易错02 忽视（漏）空集致错
辨析：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．
【典例1】（25-26高三上·天津河北·月考）已知集合，集合，若为的真子集，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】当时，满足为的真子集，此时，解得.（易错点）
空间是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集
当时，则,而后面两不等式等号不会同时成立，故解得.
综上，，即的取值范围是.
故选：C.
【典例2】（25-26高三上·山东聊城·月考）已知集合，，，则实数a的取值构成的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于集合，
当时，，满足，符合题意；
当时，，因为集合，且，所以，或，解得：，或.
当时，，符合题意；
当时，，符合题意.
所以实数a的取值构成的集合为.
故选：D .
【跟踪训练】（25-26高一上·天津和平·期中）设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当，即时，，此时，符合题意；
当，即时，，
由，得，或.
解得，或.
综上所述，实数m的取值范围为，或，或,
即.
故选：D.
易混易错03 充分、必要条件判断颠倒致错
辨析：在判断充分条件、必要条件、充要条件时，要特别注意哪一个是“条件”，哪一个是“结论”,否则将犯“张冠李戴”的错误.需注意：若p是q的…,则p是条件，q是结论;若p的…条件是q,则p是结论,q是条件.
【典例1】（25-26高三上·浙江宁波·阶段测试）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】若命题“，”为假命题，
则命题的否定“，”为真命题，
即，恒成立，
，，当，取得最大值，
所以，选项中只有是的真子集，
所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为.（易错点）
本题条件在后，结论在前，实质是问哪个选项是该命题为假命题的充分不必要条件
故选D
【典例2】（24-25高三上·青海西宁·期中）已知，，则使成立的一个充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A，取，，显然有成立，但不成立，不符合题意.
对于B，由，得，所以，可推出，符合题意.
对于C，，可得，不符合题意.
对于D，由，得，因为，，所以，所以，不能推出，不符合题意.
故选：B．
【跟踪训练1】（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．是的充要条件
B．使不等式成立的一个充分条件是
C．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是
D．若关于x的不等式在上的解集是空集，则实数的取值范围是
【答案】C
【解析】对于A，若，当时，，故由不能推出；
若，例如，，此时不成立，
故由也不能推出，
即是的既不充分也不必要条件，故A错误；
对于B，当时，则，，
所以不是不等式成立的充分条件，故B错误；
对于C，由解得，记集合，
设为集合，
若“”的一个必要不充分条件是“”，
即B是A的必要不充分条件，则是的真子集，
故需满足或，解得，
经检验，当时，是的真子集，符合题意，
故实数的取值范围是，故C正确；
对于D，关于x的不等式在上的解集是空集，
则，解得
即实数的取值范围是，故D错误.
故选：C.
【跟踪训练2】（25-26高三上·广东东莞·阶段练习）已知集合.
(1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由；
(2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围.
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)
【解析】（1）若存在实数，使得是成立的充要条件，则.
故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件.
（2）因为，所以，故，
由是成立的必要不充分条件，得真包含于，
所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又，
所以的取值范围为.
易混易错04 命题否定中量词与结论漏改致错
辨析：在写出含有一个量词的命题的否定时，要注意“变量词，否结论”，常见错误是只变量词，或者只否定结论.
【典例1】（25-26高三上·河北·期中）设命题，，则的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】先变量词：将变为，
再否结论，将结论否定为：，
从而可得的否定为：，（易错点）.
既要变量词，又要否结论，缺一不可
故选C.
【典例2】（25-26高三上·广东梅州·期中）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】命题“”为全称量词命题，
其否定为：.
故选：A
【跟踪训练1】（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）下列结论正确的有（ ）
A．，
B．“，”是假命题
C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题
D．“，”的否定是“，”
【答案】AB
【解析】选项A：将不等式变形：，配方得：，
对所有实数恒成立，因此选项A正确；
选项B：由绝对值的非负性，，
因此，不可能小于0，因此选项B正确；
选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”，
是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误；
选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变的取值范围，因此选项D错误.
故选：AB.
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·安徽合肥·月考）下列命题正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．“至少有一个，使成立”是全称量词命题
C．“”是真命题
D．“”的否定是真命题
【答案】AD
【解析】命题“”的否定是“”，A选项正确；
“至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误；
当时，，，C选项错误；
当时，，所以“”是假命题，命题的否定是真命题，D选项正确；
故选：AD.
易混易错05 忽略不等式性质成立的前提条件致错
辨析：（1）利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次将不等式相加,否则容易扩大范围.可以使用整体代换的思想或用待定系数法求解代数式的取值范围问题.
（2）一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
【典例1】（25-26高一上·江西南昌二中月考）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设（易错点）；
则m+n=4,m−n=−2,解得m=1,n=3,
所以.
因为，所以
又，
两式相加得，
即.
【典例2】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）若，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，因为，所以，A错误；
，因为，所以，则，，B错误；
因为，所以，C错误；
因为且，所以，则，即，所以，D正确.
故选：D
【跟踪训练1】（2026高三·全国·专题练习）设，则的取值范围是________；的取值范围是________；的取值范围是________；的取值范围是________．
【答案】
【解析】①由，得.
又，所以.
所以的取值范围是.
②由，，知.
所以的取值范围是.
③由，得；
由，得.
所以.
所以的取值范围是.
④由，得.
又，所以.
所以的取值范围是.
【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）已知，若，，且，则实数c的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，，
故，，
在平面直角坐标系aOb中作出可行域，

由，可得，即
．
由得，，
解得．
易混易错06 一元二次不等式恒成立问题混淆范围致错
辨析：对于一元二次型不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方，解决一元二次不等式中的恒成立、能成立问题常常转化为求二次函数的最值或分离参数后求最值的方法解决问题．
【典例1】（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，，，
可转化为（易错点），
换元后要注意新元的取值范围与旧元的范围不同
又开口向上，且对称轴为，
在上单调递增，，
函数在上恒成立，即在上恒成立，
也就是（易错点），
本题容易错求成
，解得.
实数的取值范围为.
故选：C.
【典例2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，所以.
又因为，所以，所以，
设，其中，则.
设，则转化为，，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以存在，使不等式成立时，只需，
故的取值范围是，
【跟踪训练1】（25-26高二上·云南昭通·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】当时，不等式为，显然恒成立，符合题意；
当时，
因为关于的不等式对任意恒成立，
所以二次函数的图像在轴的下方，
所以，解得，
综上，可得的取值范围是．
【跟踪训练2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【解析】对，有，所以，
所以不等式左右两侧同时除以，
所以，
转化为关于的一元二次不等式，所以，
令，，，
，当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减，
所以；
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，
因为，故对任意的，则，
故当时，，，
由可得，
故，故，即实数的取值范围是.
易混易错07 解含参不等式讨论不全致错
辨析：在求解过程紧抓三点就可以有效的避免失误：一是分析二次项系数是否需要讨论；而是分析方程根的存在型是否需要讨论；三是根的大小关系是否需要讨论.
【典例1】（25-26高三上·宁夏中卫·月考）（1）关于的不等式：；
①当时，解不等式；
②当时，解不等式.
（2）已知函数，求函数的值域.
【解析】（1）①当时，，即，解得，
所以原不等式的解集为；
②当时，原不等式可化为，
若，不等式为，解得（易错点）；
讨论不全，漏掉a=0这一种情形
若，令，解得或，
当时，则，解得或；
当时，则，
若，则，解得；
若，原不等式为，解得（易错点）；；
讨论不全，漏掉a=0这一种情形
若，则，解得；
综上所述，若，不等式解集为；
若时，不等式解集为；
若，不等式解集为；
若，不等式解集为；
若，不等式解集为.
（2）因为函数的图象开口向下，对称轴为，
设函数的最大值为，最小值为，
当，即时，则，，
所以函数的值域为；
当，即时，则，，
所以函数的值域为；
当，即时，则，，
所以函数的值域为；
当，即时，则，，
所以函数的值域为；
综上所述：当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为；
当时，所以函数的值域为.
【典例2】（2026高三·全国·专题练习）设.
(1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
【解析】（1）不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，，解得；
综上，实数的取值范围为.
（2）不等式等价于，即，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为.
综上可得：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为.
【跟踪训练1】(25-26高一上·天津东丽·月考）已知关于x的不等式的解集为.
(1)求实数a，b的值；
(2)若，求关于x的不等式的解集.
【解析】（1）由题意知，，即.
因为不等式的解集为，
所以是方程的两个实根，
有，解得,
此时不等式为，符合题意，
所以；
（2）由（1）知，，
则不等式可变形为，
若，则，解得，
此时原不等式的解集为；
若，则方程的解为或，
当即时，原不等式的解集为；
当即时，原不等式的解集为；
当即时，原不等式的解集为.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【跟踪训练2】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知幂函数为偶函数．
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范围；
(3)当时，求不等式的解集．
【解析】（1）由为幂函数，得，解得或，
当时，为奇函数，舍去；
当时，为偶函数，符合题意.
综上所述，.
（2）因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且为偶函数，
则，等价于，
则，整理得，解得或，
所以的取值范围为．
（3）由，
则，即，
当时，不等式为，则不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为.
易混易错08 多变量不等式问题混淆主元致错
辨析：关于不等式的恒成立问题，主元法是一个常用方法，所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用． 有些看似复杂的问题，如果选取适当的字母作为主元，往往可以起到化难为易的作用.
【典例1】（24-25齐鲁名校共同体联考）已知函数是定义在，上的奇函数，对于任意，，，总有且（1）．若对于任意，，存在，，使成立，则实数的取值范围是
A．B．或
C．或D．或或
【答案】D
【解析】是定义在，上的奇函数，
当、，，且时，有，
函数在，上单调递增．
（1），
的最小值为（1），最大值为（1），
若对于任意，，存在，，使成立（易错点），
先视x为主元，转化为
即对所有，恒成立，，
设（a）（易错点），
变更主元，将a视为自变量，t视为参系数
则满足，即，
或或，
故选：．
【典例2】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意知.
因为在上单调递减，所以.
又在上单调递增，所以，
因此，则.
【跟踪训练1】（2026·福建·一模）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】由题意可知，原命题的否命题：“，使得”是真命题．
所以对任意实数，方程都有实数解．
故而对任意固定的实数都有解．
即关于的不等式对任意固定的实数都有解．
对不等式分情况讨论：
①.若,即.当时,不等式为,对任意显然有解.
当时,关于的二次函数开口向上,
其值域包含正数,故对任意,总存在使得.所以符合题意.
②.若,即.关于的二次函数开口向下,
其最大值为.
要使不等式对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负,
即对任意恒成立,这显然是不可能的.故不符合题意.
因此，的取值范围是．
【跟踪训练2】（25-26高三上·天津和平·月考）已知定义在上的函数满足且，其中的解集为A.函数，，若，使得，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】构造函数，
所以，
因为定义在上的函数满足，
所以，所以在上单调递增，且，
所以不等式可化为，即，
所以，
所以的解集，
函数，当且仅当，或时等号成立，在A上仅当时等号成立，
所以在A上的值域为，
为增函数，
所以在A上的值域为，
若，使得，
则，
所以，又因为
即实数a的取值范围是.
易混易错09 基本不等式求最值忽略前提条件致错
辨析：通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
【典例1】（24-25高三上·江苏·阶段练习）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】对于选项A：令，可得，
所以4不是的最小值（易错点），
不能用基本不等式求此函数的最值，因为lnx与可能为负数
故A错误；
对于选项B：因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4，故B正确；
对于选项C：因为，则，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4，故C正确；
对于选项D：因为，则，
当且仅当，即时等号成立（易错点），
不能用基本不等式求最值，因为等号取不到
但，所以的最小值不为4，故D错误.
故选：BC.
【典例2】（24-25高三上·天津红桥·期中）已知，则的最小值为（ ）
A．2B．C．6D．
【答案】C
【解析】由，则、，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为6.
故选：C
【跟踪训练1】7．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知正实数，则ab的最大值为________．
【答案】0.5/.
【解析】因为为正实数，，
已知，则，所以.
当且仅当时取等号，此时，，满足正实数条件.
所以的最大值为.
故答案为：.
【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）的三边分别为，记边上的中线长分别为，则的最小值是_____．
【答案】
【解析】根据余弦定理得，
所以，
所以，
同理可得，.
所以，，，
则，当且仅当时等号成立．
所以的最小值是．
易混易错10 复合函数定义域的理解不当致错
辨析：已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
【典例1】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】的定义域为.
当时，（易错点）
定义域是x的取值范围
的定义域为，即.
令，解得（易错点）
中的与中的x的取值范围一致
的定义域为，即.
“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
【典例2】（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由.
所以函数的定义域为.
故选：C
【跟踪训练1】（25-26高三上·安徽马鞍山·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，所以，
所以函数的定义域是.
故选：B.
【跟踪训练2】（25-26高三上·重庆·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为，则，所以的定义域是，
所以函数中，解得，
故选：B．
易混易错11 研究性质时忽略函数定义域致错
辨析：研究函数性质时，要注意建立“定义域优先”的解题原则.
【典例1】(2026四川广安期中)奇函数是定义域为上的增函数.且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．，D．
【答案】B
【解析】 ，，
是奇函数，，
是定义域为上的增函数，
（易错点），
注意定义域优先
，解得，
的取值范围是.
【典例2】（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】为上的偶函数，且在上为单调递增，
∴等价于即，
由（1）得,即,解得或,
由（2）得，解得,
∴或,
即不等式的解集为：,
故选：C.
【跟踪训练1】．（25-26高三上·河北石家庄·期末）已知定义在上的函数满足：对任意均有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为任意均有，
即，
令，则，
所以在上单调递减，
因为，所以，
所以不等式，化为，
因为在上单调递减，故，
因为定义在上，所以，
即，解得，
故原不等式解集为.
故选：B.
【跟踪训练2】（25-26高三上·河北承德·期末）已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的且，均有．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，得，所以；
再令，得，所以，
所以为上的奇函数，
设，且，则，得，
所以，所以，所以，
所以在上单调递增，
又因为，所以在上单调递增，
又为上的奇函数，所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
由，得，即，
解得：，所以的取值范围是.
故选：C.
易混易错12 使用换元法时忽略新元的范围致错
辨析：换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范围被扩大了,则在求解之后要加以检验.
【典例1】（24-25高三上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令（易错点），
注意新元t的取值范围
由，
则，即.
故选：C.
【典例2】（25-26高三上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，则，因为，可得，
所以函数．
故选：C．
【跟踪训练1】（25-26高一上·陕西榆林·月考）已知函数，则的解析式为______.
【答案】.
【解析】因为函数，且，
所以.
故答案为：.
【跟踪训练2】（2025高三·全国·专题练习）若，则函数______．
【答案】，
【解析】，即
令，
当时，由基本不等式得，
当时，，由基本不等式得，即，
，
则，，
，，
，.
易混易错13 混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错
辨析：单调区间是指一个函数的定义域中所有具有递增或递减性质的区间;在区间上单调是指函数在某一个区间上单调,二者有本质区别,若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上具有相同的单调性.
【典例】（25-26高三上·河北·期中）已知函数f(x)=|2x+a|.
(1)若f(x)的单调递增区间为[3,+∞),求实数a的值;
(2)若f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意知f(x)=-2x-a,x1或00，在解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件,避免出现遗漏或多解.
【典例1】（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由题意可得，则，解得，
由函数在上单调递减，
则，可得，（易错点）
忽视对数式的真数大于0而致错
解得，
【典例2】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知可得：，，
所以.
故选：D.
【跟踪训练1】（25-26高三上·湖北武汉·期中）若：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，故，解得，
，解得，
因为是的真子集，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
【跟踪训练2】（25-26高三上·山西忻州·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，函数
设，则有，解可得，
即函数的定义域为，关于原点对称，
又由，即函数为奇函数，
设，则，
，在上为增函数，而在上为增函数，
故在区间上为增函数，
又为增函数，所以在区间上为增函数，
不等式即为，
也即，
所以，解得.
故选：A.
易混易错18 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域致错
辨析：因为单调区间是定义域的子集，在解函数问题时，一定要树立“定义域优先”的意识.
【典例1】（25-26高三上·天津蓟州·月考）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】 （易错点），
注意在定义域范围内求单调区间
由于为减函数，在上单调递增，在上单调递减，
则的单调递减区间是，
故选：C.
【典例2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
【跟踪训练1】（25-26高三上·河北邯郸·月考）函数，其中且，在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，，在定义域上为减函数，
又函数在上是减函数，则在定义域上为增函数，，
要使函数有意义，则，
又在上为减函数，在上的最小值为，即，
综上，实数的取值范围为.
故选：A.
【跟踪训练2】（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．的定义域为B．在区间上单调递增
C．的值域为D．的图象关于原点对称
【答案】C
【解析】选项A：由题意，即，
所以，即，解得，故A正确；
选项B：令，
当时，单调递减，
所以在上单调递增，
又当时，函数在上单调递增，
根据复合函数单调性原则可知在上单调递增，故B正确；
选项C：因为，所以，
则，所以，
则，
所以值域为，故C错误；
选项D：因为定义域为关于原点对称，且，
所以，
所以为奇函数，图象关于原点对称，故D正确.
故选：C
易混易错19 利用换元法求值域遗忘范围致错
辨析：研究形如y=lga f(x)(a>0且a≠1)的函数的性质,可转化为研究f(x)的性质,同时要注意f(x)>0这一隐含条件.
【典例1】（2026江西南昌五中月考）若函数值域为R且在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】 因为的值域为，在区间上单调递增
所以函数与轴有交点，即方程有实根，
所以，解得或①；
因为函数在区间单调递增，
且是减函数，所以在区间单调递减且恒为正，
所以(易错点)
在区间内真数t的值不能为负数
解得②，
由①②可得，所以实数的取值范围是.
【典例2】（25-26高三上·广东湛江·月考）的值域为，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】 因为的值域为，
所以的值域包含，
所以，解得.
故选：C.
【跟踪训练1】 (多选)（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域为R
B．值域为
C．在上单调递增
D．在上单调递减
【答案】ABD
【解析】对于A，函数的定义域为R，故A正确；
对于B，因为，所以，
故函数的值域为，故B正确；
对于CD，因为在R上是减函数，
在上是减函数，在上是增函数，
所以函数在上单调递减，C错误，D正确.
故选：ABD.
【跟踪训练2】（多选）（25-26高一上·天津河西·月考）已知的值域为，则 ，函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ．
【答案】，
【解析】因为
令，则，
由二次函数性质可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，，
所以，，
所以函数的值域为，即函数的值域为，故，
所以函数
由题意可知函数在区间上是减函数，
当时，，二次函数的对称轴为，在对称轴左侧单调递减，
，解得；
当时，，在时单调递减；
又，即；
综上，实数的取值范围是．
易混易错20 错判幂函数的性质致错
辨析：对于幂函数，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点，要在复习中高度重视.
【典例1】（多选）（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是增函数
【答案】ABD
【解析】对于选项A：若m，n是奇数时，则，
此时的定义域为R，且，
所以幂函数是奇函数，故A正确；
对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则，
此时的定义域为R，且，
所以幂函数是偶函数，故B正确；
对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则，
此时的定义域为，不关与原点对称(易错题)，
忽略函数的定义域致错
所以幂函数不具有奇偶性，故C错误；
对于选项D：时，由幂函数性质可知：在上是增函数，故D正确；
故选：ABD.
【典例2】（多选）（25-26高一上·四川成都·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数为偶函数
C．令函数，则不等式的解集为
D．若函数，，，则
【答案】ABD
【解析】设幂函数的解析式为，
因为幂函数 的图象经过点，所以，解得，即，
对于A，函数的定义域为，故A正确；
对于B，因为，且的定义域为，
故为偶函数，故B正确；
对于C，，故为偶函数，
因为在上为增函数，而在上为增函数，
故在上为增函数，而即为，
故，故即的解集为，故C错误；
对于D， ，
而
，
因为，，故，
当且仅当等号成立，故，
故，即，
当且仅当等号成立，故D成立.
【跟踪训练1】（25-26高三上·江苏淮安·期末）已知幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．的值域为
【答案】D
【解析】幂函数，A选项错误；
定义域为，又因为，所以是偶函数，C选项错误；
幂函数，所以的值域为，D选项正确；
因为幂函数在上单调递增，所以，B选项错误.
故选：D.
【跟踪训练2】（多选）（河北省邢台市2025-2026学年高三上期末）已知幂函数在上单调递增，函数．若，，，则的值可能是（ ）
A．8B．18C．24D．27
【答案】BC
【解析】由题意知，解得或；
当时，函数在上单调递增，符合题意；
当时，函数在上单调递减，不合题意；
因此，
由，可得,
因为函数在上单调递增，若，可得，
依题意可知，解得；
所以，即的值可能是18，24.
故选：BC
易混易错21 忽视零点存在定理的条件或不可逆性而致错
辨析：利用零点存在性定理解题时要牢记：必须满足闭区间连续、端点函数值异号，才能判定有零点；定理不可逆，有零点不能反推端点异号；
【典例】（2026广东广雅中学月考)已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表
以下说法中错误的是（ ）
A．B．当时，
C．函数有且仅有一个零点D．函数可能无零点
【答案】D
【解析】对于A，因为函数是上的增函数，所以，A正确；
对于B，因为函数是上的增函数，所以当时，，B正确；
对于C，因为函数是上的增函数，且，即，所以函数有且仅有一个在区间的零点（易错点），C正确；
在某区间内单调的函数最多一个零点
对于D，因为函数的图象连续，且，即，所以函数在区间上一定存在零点（易错点），D错误.
利用零点存在性定理判定零点的存在性
【跟踪训练1】（25-26高三上·上海·期中）已知，且函数有且仅有一个零点.若方程无解，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对任意的，，故函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
若函数存在一个非零的零点，则也必为函数的零点，这与已知条件矛盾，
由于函数有且只有一个零点，则该零点必为，即，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的值域为，
因为方程无解，故，即实数的取值范围是.
故选：A.
【跟踪训练2】（25-26高三上·江西南昌·期末）已知函数的零点为，若，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】函数的定义域为，
根据对数函数的性质可知在上单调递增，
又，
，
所以，
根据函数的零点的判定定理可得：函数的零点所在的区间是，
所以.
故选：C.
易混易错22 二次函数零点分布问题考虑不全致错
研究二次函数零点的分布，一般从以下三个方面考虑：
(1)一元二次方程根的判别式；
(2)对应二次函数区间端点函数值的正负；
(3)对应二次函数图象，即抛物线的对称轴x＝－eq \f(b,2a)与区间端点的位置关系．
【典例1】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）函数 的两个不同的零点均大于1的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由函数 的两个不同的零点均大于1，得，（易错点）
此处易犯的错误是：所列式子不全面
解得，
因此所求充分不必要条件是的非空真子集，ABD不满足，C满足.
故选：C
【典例2】（25-26高一上·江苏扬州·期末）设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【解析】关于的方程有两根，且.
，解得.
故选：B
【跟踪训练1】（25-26高二上·云南昆明·期中）已知是函数的零点，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．4D．5
【答案】B
【解析】因为是函数的零点，
所以，即，则或，
解得或，
当时，当且仅当时取等号，所以的最小值为；
当时，当且仅当时取等号，所以的最小值为；
又，综上可得的最小值为，此时，.
故选：B
【跟踪训练2】（2026·陕西延安·一模）设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，
由有四个不同的零点，
则与有四个不同的交点，
令，解得或，
故当或时，；当时，；
且当，；
解方程，得；
作函数的图象，对称轴为.

要使与有四个不同的交点，如图可得.
又满足，
则，可得.
因为图象关于对称，所以，
则，
则，令，则，
构造函数，，
由，函数在单调递增，
则，即.
故选：A
易混易错23 画函数图象时不准确致错
辨析：常利用图象法研究函数的零点问题，此时要特别注意函数的定义域、图象的渐近线等，尤其是在换元后要注意新元的取值范围.
【典例1】（多选题）(2026·河北衡水中学月考)已知函数函数有四个不同的零点，且，则（ ）
A．的取值范围是B．
C．的最小值是D．越大，的值越大
【答案】BCD
【解析】画出的图象，如下图所示:
对于A,由图可知(易错点) ,则A错误.
当x0，
，，
所以存在,；；，
所以与轴有3个交点，
则经过有3条切线.
故选：D.
【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则 .
【答案】
【解析】法一：对于，其导数为，
因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，
令，即，解得，
将代入切线方程，可得，
所以切点坐标为，
因为切点在曲线上，
所以，即，解得.
故答案为：.
法二：对于，其导数为，
假设与的切点为，
则，解得.
【跟踪训练1】（25-26高二上·安徽·期末）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线与轴和直线所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】函数，求导得，设切点为，则，
依题意，，解得，因此切点，切线斜率，
切线方程为，由得两直线交点，如图：

而切线与轴交于点，则，
所以所求三角形面积为.
故选：A
【跟踪训练2】（26-27高二上·重庆·期末）过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设切点为，由求导得，则切线的斜率为，故切线方程为，
因切线经过点，则得，化简得，显然，则得，
又因过作函数的切线恰好能作两条，即函数与函数有两个不同的交点.
的定义域为，函数求导得，
则当时，，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，且，
当时，，当时，，当时，，当时，.
作出函数的图象如下：
由图知，过作函数的切线恰好能作两条等价于或，解得或.
故选：D.
易混易错27 利用导数求函数单调区间忽略定义域致错
辨析：（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数的单调区间；（2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内.
【典例】（24-25高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
，
由得，所以的单调减区间为.（易错点）
注意此函数的定义域不是R
故选：D.
【跟踪训练1】（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，则，
因为，由，可得，
故函数的单调递增区间为.
故选：A.
【跟踪训练2】（多选题）（2026·湖北武汉·模拟预测）对于函数，则（ ）
A．函数的单调递减区间为
B．
C．若方程有6个不等实数根，则
D．对任意正实数，且，若，则
【答案】BCD
【解析】函数的定义域为，求导得，
对于A，由，得或，由，得，
因此函数的单调递减区间为和，A错误；
对于B，由A得，函数在上单调递增，，B正确；
对于C，为偶函数，当时，，
由A项知，函数的单调减区间为和，单调递增区间为，
又当时，，当时，，
当时，，时，，
当时，，当时，，时，，
函数的图象如图：

观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有6个不同交点， C正确；
对于D，不妨设，由，得，即，
令函数，，
求导得，
当时，，，在上单调递增，
由，得，即，因此，
函数，求导得，当时，，在上单调递减，
而，则，即，D正确.
故选：BCD
易混易错28淆极值点与导数等于零的点的区别致错
辨析：导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反.
【典例1】（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得，
又是函数的极小值点，所以，解得或（易错点），
注意：可导函数在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点
当时，，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
即是的极大值点，不符合题意，故舍去(易错点)；
需注意检验，极值点不一定是极大值点
当时，，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
即是的极大值点，是的极小值点，符合题意，
此时，
所以的极大值为.
故选：D
【典例2】（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（ ）
A．B．1C．3D．1或3
【答案】B
【解析】函数，定义域为.
所以.
由题可知，，即，所以或.
当时，.
令，则或；令，则.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得极小值.
当时，.
令，则或；令，则.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以在处取得极大值.
综上，实数的值为.
故选：B.
【跟踪训练1】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数在处取得极大值，则（ ）
A．9或1B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】因为函数，所以，
又因为在处取得极大值，所以，所以或，
当时，，所以单调递减，单调递增，
所以在处取得极小值，不符合题意舍去；
当时，，所以单调递增，单调递减，
所以在处取得极大值，符合题意；
则.
【跟踪训练2】（多选）（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数有两个极值点，则（ ）
A．
B．当时，有三个零点
C．当时，仅有一个零点
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由，得，
因为函数有两个极值点，
所以有两个不等的实数根，
即有两个不等的实数根，
所以，解得或，故A错误；
对于B，当时，二次函数与轴有两个不同的交点，开口向上，
当时，；当，；当，，
所以是极大值，是极小值，又，则可得有三个零点.
同理可得当时，有三个零点，故B正确；
对于C，当时，由B可知是极小值，又，所以，
此时极大值，所以函数在，函数从递增到有1个零点，
其余区间内无零点，
同理可得当时，函数仅有一个零点，
综上所述：当时，仅有一个零点，故C正确；
对于D，由韦达定理可得，
，
又，
所以，故D正确.
故选：BCD.
易混易错29已知单调性求参数时混淆条件致错
辨析：已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：（1）熟悉基本函数的单调性。
（2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D.
注意：其中 .
（3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来.
【典例1】（24-25高三上·山东临沂·期中）若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ．
【答案】
【解析】由题意得，，
∵函数的单调递减区间恰为，
即的解集为，（易错点）
注意单调递减区间为[-1,4]与在区间[-1,4]上递减是有区别的
∴所以和4是的两根，
∴．
【典例2】（25-26高二上·北京·期中）如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】易知，依题意可得在上有解，
即方程在上有解，显然当时，，
因此实数a的取值范围为.
【跟踪训练1】（25-26高三下·海南·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数，则，
因为在上单调递增，故在上恒成立，
即在上恒成立，即，
又，当且仅当，即时等号成立，
所以函数在上的最大值为，所以，
所以的取值范围为．
【跟踪训练2】（2026高二下·福建福州·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，
导函数，
假设函数不存在单调递减区间，则在恒成立，
即在恒成立，即，
令，因为，所以，
则函数在时取得最小值，最小值为，
所以，所以，
根据题意，函数存在单调递减区间，
所以.
易混易错30判断函数零点个数时画图致错
利用导数研究函数的图象变化时一定要区分图象趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数.
【典例1】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若有两个零点，则有两个解，
等价于有两个解，因为，x>0，所以，
令，原式等价于有两个解，
因为，则当时，所以在上单调递增，
所以有两个大于零的解.（易错点）
注意定义域：x不能为负
解，可得，令，
则，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
的图象如图：（易错点）
当x趋近于正无穷大时，趋近于0，而不是趋近于负无穷大
所以当时，有两个交点，即有两个零点.
故选：A
【典例2】（2026·江西新余·一模）已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由可得，
故等式可变形为，
等式两边同时乘以可得，
若，对任意的，，则，故，
所以，但，等式不成立，不符合题意，所以，
构造函数，其中，则，
所以函数在上为增函数，
由可得，
所以，参变分离得，
构造函数，其中，则，
当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减，
所以函数的极大值为，
又因为，，且，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
因此实数的取值范围是.
故选：D.
【跟踪训练1】（2026·安徽合肥·一模）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根，
令，则，
由得；得；
则在单调递增，在上单调递减，则，
因为时；时，且时，
所以的函数图象如图：
因为不是的根，
所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是，
但方程的两根的乘积为，
所以一个根位于，另一根位于，
则，得，
故的取值范围是.
故选：C
【跟踪训练2】（2026·安徽安庆·一模）已知，若函数恰有1个零点，则（ ）
A．eB．C．1D．3
【答案】B
【解析】由，可得恒为的一个零点，
令，则恰有1个零点，
等价于的唯一零点是，或无零点.
因为，且，
所以恒成立，在上单调递增.
又时，时，因此必然存在唯一零点.
当的零点是时，可得
即，解得，.
易混易错31 诱导公式认识不深导致变形致错
辨析：正确应用诱导公式的前提条件有两个：一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给角与特殊角或条件角与待求角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍；二是要记牢诱导公式，做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心.
【典例1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】（易错点），
利用诱导公式求值时特别要注意所求值的符号
又，
所以.
故选：A.
【典例2】（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ．
【答案】（答案不唯一）， （答案不唯一）
【解析】因为，，
所以的终边关于轴对称，且不与轴重合，
故且，
即，
故取可满足题设要求.
【跟踪训练1】（2026·陕西商洛·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，可得．又，
所以，所以．
所以．
【跟踪训练2】（25-26高一上·四川成都·期末）已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
而，故，
所以，
而，
所以.
易混易错32 三角求值不能深挖角的范围致错
辨析：应用三角变换公式求值求角时，要特别注意根据角的范围判断符号，而求角的范围除去利用给出的范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围.
【典例1】（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，则，
，，
由，易知，解得，
由，，且，则，
可得，
所以
，
当时，，，
此时，则，
由，，
则，易知，解得，此时（易错点）
注意缩小角的范围
；
当时，，，
此时，则（易错点），
由缩小角的范围
由，，
则，易知，解得，；
故选：B.
【典例2】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，且，即，
所以，且，
则.
故选：D.
【跟踪训练1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
又因为、，所以，，
则，，所以，
因为，
所以，故.
故选：B.
【跟踪训练2】（24-25高一下·江苏南京·月考）若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，又，
所以，则，
因为，，所以，
又，所以，
所以，
因为，，所以，
所以
，
所以.
故选：C
易混易错33 判断三角函数的单调性忽略系数的符号致错
辨析：求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为y＝sin(ωx＋φ)、y＝cs(ωx＋φ)、y＝tan (ωx＋φ)的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解，如对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决.一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决.
【典例1】（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为(易错点)，
注意利用诱导公式先将x的系数化为正，再将函数与y=-sinx类比确定单调区间
令，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为．
故选：B
【典例2】（25-26高三上·河南驻马店·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，
要求的递增区间即求的递减区间，
当，，即，时，
单调递减，即单调递增，故B正确.
故选：B.
【跟踪训练1】（2004·天津·高考真题）函数，的增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意，得.
令，解得.
所以函数的单调增区间为.
因为，所以令，则得函数，的单调增区间为 .
故选：C.
【跟踪训练2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
【解析】（1）由题意，所以；
（2）由（1）可知，
所以
，
所以函数的值域为，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为.
易混易错34 混淆函数图象变换的规律而致错
辨析：在进行图象变换时要注意两点：（1）化简解析式：即将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)（或y=Acs(ωx+φ)）形式；（2）统一名称：即分析变换前后的三角函数是否同名，不同名时用诱导公式化为同名形式；（3）变换：提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图象变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．
【典例1】（25-26高三上·河南南阳·期末）想要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向右平移个单位
B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图象向左平移个单位
C．各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位
D．各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位
【答案】C
【解析】（易错点），
利用诱导公式转化时特别要注意符号
将函数的图象各点横坐标变为原来的倍，再把图象向右平移个单位，即可
得出函数的图象(易错点)，
注意：左右平移是针对x而言的
故选：C．
【典例2】（25-26高三上·山西临汾·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】D
【解析】因为函数，又函数，
所以只需将函数的图象向右平移个单位即可得到函数的图象.
故选：D
【跟踪训练1】（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】已知是的零点，因此，
代入得： ，即 ，解得，
所以
又
所以将向左平移个单位长度得到函数的图象.
【跟踪训练2】（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为，且图象关于直线对称
B．的图象关于点中心对称，且在区间上单调递增
C．将的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于直线对称
D．函数在区间上有且仅有个零点，且这两个零点之和为
【答案】D
【解析】因为，
对于A选项，函数的最小正周期为，
因为，
故函数的图象不关于直线对称，A错；
对于B选项，因为，
所以函数的图象不关于点中心对称，
当时，，故函数在区间上不单调，B错；
对于C选项，将的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，
因为，故函数的图象不关于直线对称，
C错；
对于D选项，由可得，
当时，，所以或，解得或，
所以函数在区间上有且仅有个零点，且这两个零点之和为，D对.
易混易错35 参数问题不能准确判断临界点致错
辨析：这类问题的基本解题思路是：先将函数的解析式化简为的形式；根据题设给出限制条件（如单调性、对称轴的个数、零点个数或最值个数等）判断周期满足的条件，求出的大致范围；在求出的取值范围，分析左（或右）端点的大致位置，再确定另一个端点位置；找出临界点，列出不等式求解.
【典例1】（25-26高三上·广东·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题可得，
因为，所以当时，，且
因为在单调递增，所以（易错点），
实质是
又，解得.
故选：B
【典例2】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．3
【答案】C
【解析】函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即；
综上，的最小值为4.
故选：C.
【跟踪训练1】（2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（ ）
A．B．1C．D．4
【答案】B
【解析】因为函数的图象关于直线对称，
所以，
解得，
又因为函数在区间上单调递减，
所以函数在处取得最大值，
所以,
所以,
解得，
解得.
又因为.
故选：B.
【跟踪训练2】（25-26高三下·浙江·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
因为在区间上单调递增，所以
解得
由于区间包含原点附近的正负区间，仅当时的递增区间
可以覆盖该区间，因此，解得
又，所以
易混易错36 解三角形时错判解的个数致错
辨析：两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间内不单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的个数.
【典例1】（25-26高三上·河南洛阳·期末）在中，已知，，，则（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】C
【解析】因为在中，，，，
由正弦定理，得，
解得或（易错点），
此处需对这两解进行检验，剔除不合题意的解
又因为可得，所以不符合题意，舍去．
可得，故A，B，D错误．
故选：C.
【典例2】（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若有两解，则，
即，所以，
所以有两解可以推出.
所以“”是“有两解”的必要不充分条件.
故选：B
【跟踪训练1】（2025·陕西咸阳·一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）．
A．若，，，则有两解
B．若，则
C．若，则为锐角三角形
D．若，则为等腰三角形
【答案】AC
【解析】对于A，由正弦定理得，则，
所以，又，则，
所以有两解，则有两解，故A正确；
对于B，在中，，由正弦定理得，，故B错误；
对于C，由，可得，且，均为锐角，
所以，
则，所以也为锐角，
则为锐角三角形，故C正确；
对于D，由，由正弦定理得，，
则，所以或，
则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误.
故选：AC
【跟踪训练2】(多选) (25-26高三上·河南安阳·期末）下列说法错误的有（ ）
A．命题的否定是
B．若，则，的夹角为锐角
C．若方程有两个不等的正实数根，则
D．在中，若角，则有两解
【答案】BD
【解析】对于A，命题的否定是，故A正确；
对于B，若，可得，的夹角为锐角或，B错误；
对于C，若方程有两个不等的正实数根，
则，解得，故C正确；
对于D，由正弦定理，，不符合题意，
此时三角形无解，故D错误.
故选：BD .
易混易错37 忽略边角互化条件致错
辨析：若等式中每一项的边或者三角的正弦的个数相同，可以考虑直接改成对应角的正弦或者对应角的边，否则就得利用进行等量代换.
【典例1】（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.
【解析】（1）易得，
由正弦定理得（易错点），
易错之处是不知该选择正弦定理还是余弦定理进行转化
而，
故，
易知，
故，
即，
又因为，
所以，
所以，
解得；
（2）因外接圆直径为，
则由正弦定理可知，
故，，
因为是锐角三角形，
所以，
得，，
则，
所以，
由对勾函数的性质可知，在上单调递减，
故的取值范围为.
【典例2】（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
【解析】（1）已知，由正弦定理，
得，显然，
得，由，
故；
（2）由（1）知，且，，
由余弦定理，
则，
解得（舍去），
故；
（3）由正弦定理，且，
得，且，则为锐角，
故，故，
且；
故.
【跟踪训练1】（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)若，求a；
(2)若，求的面积的最大值．
【解析】（1）由正弦定理可得即，
又，所以，即，解得，
所以.
（2）因为，且，，
所以，当且仅当时等号成立，
当取最小值时，取最大值，最大值，
所以的面积的最大值为.
【跟踪训练2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【解析】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
易混易错38 忽略三角形中的隐含条件致错
辨析：处理三角形中的三角函数问题时一定深挖三角形中的隐含条件，如三角形是锐角三角形时，则三角形的三个内角都是锐角，而三角形是钝角三角形时，只需要三角形最大的内角是钝角.
【典例】（24-25高三上·河北·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，由三角形的面积公式和余弦定理可得，
整理可得，
因为，则，可得，所以，，
因为为锐角三角形，则，即（易错点），
注意锐角三角形的每个角都必须是锐角
解得，
所以，，则，
所以，.
故选：B.
【跟踪训练1】（2026高三上·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，.
(1)若，，求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
【解析】（1）由，得，
因为为三角形边长，所以，所以，
若，则，代入得，矛盾，
所以，方程两边同除以得，又，所以.
根据余弦定理，
得.即，整理得.
解得或（舍去）.所以.
（2）由，得，，
因为，则，，
所以，
，
因为为锐角三角形，所以则，
所以，即取值范围为.
【跟踪训练2】（25-26高三上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，.
(1)求证：；
(2)求的取值范围；
(3)若，求三角形面积的取值范围．
【解析】（1）由及正弦定理可得，即，
因为，则，所以，即，
由余弦定理可得，所以，
所以，由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，故，，所以，
又函数在上单调递增，且，故，即.
（2）
，
因为为锐角三角形，故，解得，
又因为，可得，故角的取值范围是，
所以，故，
令，，
任取、且，
则
，
因为，所以，则，所以，
所以函数在上为增函数，故，
故的取值范围是.
（3）由正弦定理可得，所以，，
所以
，
因为，所以，
令，函数、在上均为减函数，
故函数在上为减函数，所以，即，
因此，即面积的取值范围是.
易混易错39对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱
辨析：(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0；(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性；(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上；（5）向量平行与向量共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可以重合；但直线平行不包含直线重合的情况．
【典例1】（25-26高三上·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】对于选项A：若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误；
对于选项B：当时，，，此时未必共线，故B错误(易错点)；
注意：平行于同一向量的两个向量不一定平行
对于选项C：向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误（易错点）；
向量是既有大小又有方向的量，方向不能比较大小，故向量不能比较大小
对于选项D：若，则向量，互为相反向量，则，则D正确；
故选：D.
【典例2】（24-25高一下·广东汕头·期中）关于平面向量，下列正确的是（ ）
A．若是单位向量，零向量，则
B．若向量与不共线，则存在一对实数，使
C．海拔、温度、角度都是向量
D．若，则四边形ABCD是菱形
【答案】B
【解析】对于A，因是单位向量，零向量，则，故A错误；
对于B，因向量与不共线，则与可作为一组基底，则由平面向量基本定理可得：
存在一对实数x，y，使，故B正确；
对于C，向量为既有大小，又有方向的量，则海拔、温度、角度都不是向量，故C错误；
对于D，因，则，则四边形ABCD是平行四边形，条件不足，无法判断是否是菱形，故D错误.
故选：B.
【跟踪训练1】(多选) （2025高三·全国·专题练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．直角坐标平面上的轴、轴都是向量
C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
【答案】CD
【解析】选项A，由于单位向量长度相等，但是方向不确定，故A错误；
选项B，由于只有方向，没有大小，故轴，轴不是向量，故B错误；
选项C，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同，C正确；
选项D，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，D正确．
故选：CD
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·四川成都·期中）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】BC
【解析】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误.
B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确.
C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确.
D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误.
故选：BC.
易混易错40 忽略平面向量夹角的范围与方向性致错
辨析：（1）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角；
（2）向量的夹角是指向量方向的夹角；
（3）向量的夹角范围是，这一点是与直线的夹角范围是不同的，要注意区分.
【典例1】（24-25高三上·广东·月考）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由向量与向量的夹角为钝角，
得，且向量与向量不共线，
所以，即，
由有，解得，(易错点)
忽视向量数量积为负数时，夹角还可能为平角
所以的取值范围是．
故“”是“与的夹角为钝角”的充分不必要条件，
故选：A．
【跟踪训练1】（25-26高三上·北京顺义·期中）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
由题意知，，不共线，所以，
所以与的夹角为锐角，
故“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件；
故选：C.
【跟踪训练2】（多选）25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若，则
C．若与的夹角为锐角，则实数的范围为
D．当时，在上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：当与夹角为锐角时，则，解得，
又时，，此时向量夹角为0，
所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为且，故C错误；
对于D：当时，，所以，，
所以在上的投影向量为，故D正确；
故选：ABD．
易混易错41 忽略向量共线时的两种情况致错
辨析：处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情况
【典例1】（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知单位向量与向量共线，则向量的坐标是 ．
【答案】或.
【解析】由题意，单位向量与向量共线，
则向量（易错点），
此处易错之处是只注意到方向相同的单位向量
即向量的坐标是或.
【典例2】（25-26高三上·广东梅州·期末）已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ）
A．1B．C．1或D．或
【答案】A
【解析】因为与同向共线，所以存在使得，
即，
又向量不共线，所以，解得（舍去）或.
故选：A
【跟踪训练1】（24-25高三上·湖北随州·期末）下列命题正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若则
【答案】BCD
【解析】对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
对于B，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
对于C，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时，才成立，故C正确；
对于D，由向量相等的定义知结论正确，故D正确.
故选：BCD.
【跟踪训练2】(多选)（25-26高一上·广东广州·期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．若共线，则
C．若且，则
D．若向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则
【答案】BD
【解析】对于A：若且，，则，所以A错误；
对于B：若共线，则或，所以，所以B正确；
对于C：若且，则，由A选项的分析可知不一定有，故C不正确；
对于D，且在上的投影向量为单位向量，不妨设在菱形中，
为的中点，则，所以在向量上的投影向量为，如图：
即在上的投影向量为，所以，所以D正确.
故选：BD
易混易错42 错用平面向量的运算律致错
辨析：（1）在实数中：若，且，则，但在向量的数量积中，若，且，不能推出．
（2）已知实数，且ab=bc，则a=c，但在向量的数量积中没有．
（3）在实数中有，但是在向量数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量．
【典例1】(24-25高二上·山东青岛·期中）已知，下列关系一定正确的是（ ）
B. C. D.∥
【答案】C
【解析】由已知，所以，即（易错点），
要注意上式两边不能同除以因为向量不能做除法
所以，故选C.
【典例2】（多选）（24-25高三·河北石家庄期末）已知均为非零向量，则下列结论中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，且，则的最大值与最小值之和为
【答案】CD
【解析】对于A选项，因为，当与的夹角为时，也符合要求，所以选项A不正确；
对于B选项，若，，，则，但，所以选项B不正确；
对于C选项，，所以选项C正确；
对于D选项，不妨设，，，所以，整理得，即在平面对应的点C的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
因此的最大值为，最小值为，所以选项D正确，
故选：CD.
【跟踪训练1】（25-26高三上·福建福州·期中）已知、、是任意的非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．非零向量、，满足且与同向，则
B．
C．若，则不与垂直
D．
【答案】BD
【解析】对于A中，根据向量的概念，向量不能比较大小，所以A错误；
对于B中，由向量的数量积的定义，可得，
因为，可得，所以，所以B正确；
对于C中，由，可得，所以，所以C错误；
对于D中，由，
又，
因为，所以，所以D正确.
故选：BD.
【跟踪训练2】（多选）（2026·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则
B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则
D．恒成立
【答案】ABC
【解析】对于A选项，取，满足，，但、不一定共线，A错；
对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项，恒成立，D对.
故选：ABC.
易混易错43混淆复数的实部、虚部等基本概念致错
辨析：求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（ ）
A．B．0C．1D．6
【答案】C
【解析】因为，所以其虚部为1，（易错点），
注意虚部也是实数，不能带着i
故选：C.
【典例2】（25-26高二上·云南大理·期末）已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，则的虚部是，故选：C.
【跟踪训练1】（2025·云南·模拟预测）复数的实部为__________.
【答案】8
【解析】，所以复数实部为8.
【跟踪训练2】（25-26高三上·天津河西·月考）复数（i是虚数单位），则复数的虚部为_____.
【答案】
【解析】由，
则，故复数的虚部为.
易混易错44 复数的几何意义应用陷阱
辨析：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.
【典例1】（25-26浙江绍兴统考）设复数满足，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】设在复平面内对应的向量分别为.
由题意可知，（易错点），
本处易犯错误是：对复数的向量意义理解不透彻，联想不到利用向量进行转化
由于，则以为邻边的平行四边形为矩形，
由于矩形的对角线相等，故.
故选：C.
【典例2】（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则 .
【答案】3
【解析】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆，
因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1，
则的最小值为，
而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为，
则的最小值为，
又因为的最小值与的最小值相同，
所以，，解得.
【跟踪训练1】（25-26高三上·江苏常州·期末）已知复数的模长，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】因为复数的模长，
由复数模的三角不等式可得，
当且仅当时，等号成立；
，
当且仅当时，等号成立，
因此的取值范围是.
【跟踪训练2】（25-26高二上·上海·月考）已知复数满足，若复数（是虚数单位），记，则的最小值是___________．
【答案】/
【解析】设，，对应的点为，
取.
则由，得，即.
由，得，即，
所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上或圆的内部.
所以.
所以的最小值是，当且仅当四点共线，且是线段与圆的交点时，取得最小值.
易混易错45忽略数列与一般函数的区别致错
辨析：在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的.
【典例】（25-26高三上·安徽部分重点中学期中）已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为数列满足，，即，
当时，则有，所以，，，，
上述等式全部相加得，
所以，
也满足，故对任意的，，
所以，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，因为，，故（易错点），
注意数列中的n为正整数
所以的最小值为.故选B.
【跟踪训练1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知数列满足，若对于任意的都有成立，则正整数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意数列为递增数列，
所以，则且，
又为正整数，由知，，
当时，，符合，
同理均符合，
当时，，不符合，
故正整数的取值范围是.
故选：D.
【跟踪训练2】（25-26高三上·天津南开·期末）设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为数列是单调递减数列，
所以恒成立，
则，即，
又，则，所以，则实数a的取值范围为.
故选：D
易混易错46 由Sn求an忽略n=1的讨论致错
辨析：利用Sn与an的关系求an，作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关系是否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式.
【典例】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 .
【答案】
【解析】由得，时，，两式相减得，
所以当时，是公比为3的等比数列，而，则，
由不满足上式得.（易错点）
易错之处是：忽视n=1，而得到错解.
【跟踪训练1】（25-26高二上·天津红桥·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】当时，，而不满足上式，所以数列的通项公式为.
【跟踪训练2】（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，则，
所以，
当时，，
当时，满足，
所以数列的通项公式为.
故选：C
易混易错47 等比数列问题忽略公比q的讨论致错
辨析：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知在等比数列中，，前三项之和，则公比的值是（ ）
A．1B．C．1或D．或
【答案】C
【解析】当时，，符合题意（易错点）；
本处容易忽视q=1这一种情形
当时，，解得.
综上，的值是1或.
故选：C
【典例2】（24-25高三上·浙江绍兴·期中）已知等比数列，首项为，公比为，前项和为，若数列是等比数列，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则.
若，则，由题意可得，即，
所以，，解得，不合乎题意；
若，则，则，
由题意可得，即，
所以，，可得.
故选：B.
【跟踪训练1】（2026·辽宁大连·模拟预测）是正项等比数列，记为数列的前项和，且满足，则数列的公比为___________．
【答案】1
【解析】若，成立；
因是正项等比数列，则，且，
由可得，
化简得，分解因式得，
故或，因为且，故此情况下无解．
综上所述：满足题意．
故答案为：1.
【跟踪训练2】（25-26高二上·重庆·期末）在等比数列中，，，则______．
【答案】或
【解析】设等比数列的公比为.
（1）当时，若，则的各项均为正数，
所以，与已知不符，所以，
所以，
所以，①
而，②
②①得，即，解得.
代入得.
（2）当时，若，则的各项均为负数，
所以，与已知不符，所以，
所以，
所以，③
而，④
④③得，即，解得.
代入得.
故答案为：或.
易混易错48 裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错
辨析：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项.
【典例】（25-26高三上·湖南长沙期末） 已知等差数列满足：，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为d，依题意，，，成等比数列，
所以，解得：或
当时，；当时，，
所以数列的通项公式为或.
（2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知（），
则，
所以
(易错点)
裂项相消时保留的项往往是与首末序号对称的项，如本题中保留了第2项和倒数第2项
【跟踪训练1】（25-26高二下·全国·单元测试）已知在数列中，且，设，，则数列前项和________．
【答案】
【解析】，，
为常数列，，.
由题设，当时，有，
解得，即适合上式．
，，，
．
即.
【跟踪训练2】（2026·广东湛江·一模）在数列中，，令，则数列的前15项的和为（ ）
A．2B．3C．D．4
【答案】B
【解析】因为，所以，即，
故为首项是，公差为的等差数列，所以，．
，
所以数列的前项的和，
故，
故选：B．
易混易错49 错位相减求和错判项数、公比或符号致错
辨析：利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；三是利用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用n=1代入检验结果是否成立.
【典例】（25-26高三上·新疆喀什·月考）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前n项和.
【解析】（1）由得，又是公差为的等差数列，故，即；
当时，，两式相减得，
累乘得：，
所以通项公式为：.
（2）由，代入得：，用错位相减法求：
，
，
两式相减得：(易错点)，
此处相减后容易漏项或者错判项数
整理后得：.
【跟踪训练1】（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，且，数列的前n项和为，则_________．
【答案】
【解析】因为是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
所以，即，又，
所以是首项为1，公差为的等差数列．
得，所以，
所以，
则，
两个等式作差可得，
，
故．则．
【跟踪训练2】（25-26高三上·河南新乡·期末）过三棱柱的棱的中点M且与底面ABC平行的平面内的一动点O满足：对任意都成立，且，则数列的前n项和 ．
【答案】
【解析】作出示意图如下：

设直线与底面ABC的交点为E，
则根据题意可知O为的中点，所以，
又，
所以，
又因为A，B，C，E四点共面，且，，不共面，
所以，
所以，所以，
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以，
，
两式相减得：
，
所以．
易混易错50 对斜二测法规则掌握不牢致错
辨析：直观图还原原图时容易混淆长度的“变”与“不变”，即与轴平行(重合)的线段长度不变，与轴平行(重合)的线段长度直观图是原图的一半.
【典例1】（25-26高三上·上海部分中学期中联考）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为 ．
【答案】
【解析】因为轴，所以在中，（易错点），
对斜二测画法规则理解不透，不能判断出
又三角形的面积为16，所以.∴，
所以（易错点）.
平行于y轴的线段在画直观图时其长度减半
如图作于，
因为，所以.
所以.
秒解：因为，所以的面积为
.
【跟踪训练1】（25-26高三上·湖南长沙·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（ ）.
A．5B．C．D．10
【答案】D
【解析】由题直观图的面积为，
原图的面积等于直观图面积的倍，
所以原图的面积为，故D正确.
【跟踪训练2】（2026·山东·一模）水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于___________．
【答案】4
【解析】由题意，作出直观图对应的原图，
可得，
所以的面积等于.
易混易错51 不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错
辨析：在求棱锥的外接球的相关问题中，关键是球心和半径的确定.球心的确定本质上是过棱锥的任意两个表面图形外接圆的圆心的垂线的交点，半径是球心到棱锥任意一个顶点的距离.
【典例】（25-26高三上·河南·期中联考）已知在四棱锥中，底面为边长为4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）

【答案】
【解析】如图所示，在四棱锥中，设和正方形的外接圆的圆心分别为，分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知，点即为外接球的球心(易错点).
需注意，球心与球的各截面圆的圆心连线与相应截面垂直

取线段的中点，连接，，，，则四边形 为矩形.在等边三角形中，可得，则，即
在正方形中，由，可得，在中，可得，设外接球半径为，则，所以四棱锥外接球的表面积.故选.
【跟踪训练1】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
【跟踪训练1】（2026·宁夏吴忠·一模）在三棱锥中，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为______
【答案】
【解析】在三棱锥中，，
则AB，AC，AP两两垂直，
三棱锥与以AB，AC，AP为棱的长方体有相同的外接球，
因此球半径，
所以球的表面积为.
【跟踪训练2】（2025·广东佛山·一模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为 .
【答案】
【解析】由题意可知，外接球的球心，且平面，即为外接球的直径，
设平面，则为等边三角形的中心，取的中点，连接，，
则，，故二面角的平面角为.
设，，，，，
则，，又，，
则，
又，，解得，即球的表面积为.
易混易错52 线面位置关系考虑不全面致错
辨析：确定空间中点线面位置关系，热点是线线、线面位置关系，空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线,可采用直接法或反证法；对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决，确定位置关系时要考虑到所有可能,一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。
【典例】（2025·四川成都联考）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）


【答案】A
【解析】对于，若，，则或，故错误；
对于，若，，，则，故正确；
对于，若，，只有当垂直于与的交线时，故C错误（易错点）；
若不是垂直于与的交线，则与可能相交、平行或
对于，若，，，则或与相交，故错误.
【跟踪训练1】（25-26高三上·上海·月考）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则与相交
【答案】C
【解析】对于A，若，，则平行或异面，故A错误.
对于B，若，则平行或异面或相交，故B错误.
对于C，，过作平面，使得，
因为，故，而，故，故，故C正确.

对于D，若，则与相交或异面，故D错误.
故选：C.
【跟踪训练1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知两条不同的直线，两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（ ）.
A．若是一对异面直线，且，则.
B．若，则.
C．若，，，，则.
D．若，，则.
【答案】A
【解析】A，过直线作平面分别交于，由线面平行的性质可得：，
即，因为，所以，同理可得过作平面交于，即可得，
因为异面，所以是内的相交直线，根据面面平行的判定定理，可得，故A正确；
B，若，则可能相交、异面，即不一定平行，故B错误；
C，面面垂直的性质定理要求，题中没有这个条件，当不在内时，不能推出，故C错误；
D，若，，则可能平行、斜交，即不一定垂直，故D错误.
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若与所成角相等，则
【答案】BC
【解析】对于A：若，则或，故A错误；
对于B：因为，，，所以或，且或。若，因为是不同的直线，
则与是内两条平行线，又，所以。同理，若，则。所以“或”必成立,故B正确。
对于C：若，则或，
若，则内必定存在直线使得，又，所以，所以；
若，又，所以，
综上可得，故C正确；
对于D：若且，此时与所成角均为，相等，
此时，故D错误.
故选：BC
易混易错53 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻致错
辨析：1.证明线面垂直，需要证明平面外的直线与平面内的两条相交直线垂直.经常忽视的是两条直线相交的条件.
2.由面面垂直的性质定理证题时，一定要注意一个平面内的一条直线必须垂直于两个平面的交线，才会垂直于另一个平面.
【典例】（25-26高三上·湖南衡阳·期中联考）如图，在三棱台中，平面平面，，．

(1)证明；
(2)求直线DF与平面DBC夹角的正弦值．
【解析】（1）过点作⊥于点，连接，
因为平面平面，交线为，平面，
所以⊥平面，（易错点）
两平面垂直时，要注意一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面
因为平面，所以⊥(易错点)
因为，所以，
又，所以，
又，在中，
由余弦定理得，
故，由勾股定理逆定理得⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
又平面，所以⊥，
又三棱台中，，所以；

（2）过点作⊥于点，连接，
三棱台中，，
所以直线DF与平面DBC所成的角等于直线与平面DBC所成的角，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
又，平面，所以⊥平面（易错点），
注意必须强调两直线相交，此时才有线面垂直
所以为直线与平面DBC所成的角，
由（1）知，，，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
由勾股定理得，
所以，
所以
直线DF与平面DBC所成的角的正弦值为
【跟踪训练1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.

(1)求证：平面ADEF；
(2)求证：平面BDE.
【解析】（1）取的中点，连接，，
在中，，分别为，的中点，所以，且，
由已知，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，可得，
又因为平面，且平面，
所以平面.
（2）在正方形中，，因为平面平面，且平面平面，
且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在直角梯形中，，，可得，
在中，，，
因为，所以，
因为，平面，
所以平面.

【跟踪训练2】（河南周口市天立高级中学等学校2025-2026学年高三下学期开学数学试题）已知正三棱柱的底面边长为为中点．
(1)若，证明：平面；
(2)若与交于点与交于点，直线与平面夹角的余弦值为，求三棱柱的体积．
【解析】（1）连接，，且，连接，
因为在正三棱柱中，
底面边长为2，，
所以侧面都是边长为2的正方形，
所以在正方形中，，
又因为，为中点，
所以为等腰三角形，是底边中线，
所以，
又因为，面，且，
所以面.
（2）法一：几何法
连接，由可得：，
记与平面所成角为，由于平面，
是在平面上的投影，则，
根据线面角的定义，，
在中，由且，则，
由勾股定理得：，
所以.
易混易错54 忽略建系的条件致错
辨析：利用空间坐标系处理空间角、空间距离问题，是高考中的重点题目，但在建立坐标系以前必须先证明要用到的垂直关系，而不能相当然的利用图中的直线作为空间坐标系的坐标轴.
【典例】（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．
(1)证明：平面；
(2)求面与面所成的二面角的正弦值．
【解析】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为平面平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
（2）
因为，所以，又因为，所以，
以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系(易错点).
本处易错点是不证明三线两两垂直，直接建立空间直角坐标系
因为，平面与平面所成二面角为60° ，
所以.
则，，，，，.
所以.
设平面的法向量为，则
，所以，令，则，则.
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则，所以.
所以.
所以平面与平面夹角的正弦值为.
【跟踪训练1】（25-26高三上·上海松江·期末）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【解析】（1）取中点，中点，连接，.
因为为等边三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
平面，所以，
又底面是直角梯形，，所以.
又分别为，中点，所以，所以.
所以两两垂直.
故以为原点，建立如图空间直角坐标系，
因为，所以，，，.
所以，.
因为.
所以，所以.
（2）由（1）得，，，.
设平面的一个法向量为，
则，令，可得.
所以点到平面的距离为：.
【跟踪训练2】（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面．
(1)求证：；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）取的中点，连接，如图所示：
因为，所以，
又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
由，，平面，
所以平面，又平面，
所以.
（2）由平面，，
所以以点为坐标原点，分别为轴，过点平行于的所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）知平面，平面,
所以，所以为二面角的平面角，
又二面角的大小为，所以，
又的中点为，，所以，
在直角三角形中，
，
所以，
则，
设点，由，所以，①
则，又，
所以有，②
又，即，③
联立①②③解得：，
所以，所以，
设平面的一个法向量为，
由，
令，则，所以，
设直线与平面所成的角为，
所以
，
所以直线与平面所成角的正弦值为：.
易混易错55 忽略异面直线所成角的范围致错
辨析：求解异面直线所成角相关问题时，要注意两点：一是几何法所做的角和异面直线所成角相等或互补；二是异面直线的方向向量所成角一异面直线所成角也是相等或互补的关系，而区分的依据都是异面直线所成角的范围.
【典例】（25-26高三上·江苏无锡·月考）《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】由题意，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由题意，设，则，
所以，，，，
所以，，
所以，
所以，，
设直线与所成角为，
则.
所以异面直线与所成角的余弦值为（易错点）．
本题容易错将答案写成或
【跟踪训练1】（25-26高二下·上海·月考）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上，则异面直线与所成角的余弦值为_____________________
【答案】或
【解析】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，
因为底面边长为4，所以，
易知球心在直线上，则，解得或，
当时，又，解得，
因为，所以即为异面直线与所成的角.
在中，由余弦定理可得，
解得；
当时，又，解得，
因为，所以即为异面直线与所成的角.
在中，由余弦定理可得，
解得.
综上：直线与所成角的余弦值为或.
【跟踪训练2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在三棱锥中，，，，平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为____.
【答案】/
【解析】如图，取的中点，连接，.
因为，所以，，
所以为平面与平面所成二面角的平面角，
又，
所以，
则，所以为等边三角形，所以.
因为，
所以，
所以，
，
即，得，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
易混易错56混淆“线面角”和“直线方向向量与平面法向量的夹角”致错
辨析：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cs|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值.
【典例】（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．
(1)若分别为的中点，求证：平面PAB；
(2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．
【解析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，
与为等腰直角三角形且，
不妨设，..
E、F分别为BC、PD的中点，
，且.
，，
，∴四边形FGMN为平行四边形，
，
平面PAB，平面PAB，平面PAB；
（2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
，
设平面PCD的一个法向量为，
，，
取，，.
设AB与平面PCD所成角为，
则(易错点)
若对概念不清，容易错写成
即AB与平面PCD所成角的正弦值为.
【跟踪训练】（25-26高三上·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，平面与棱相交于点F，且，.

(1)求证：；
(2)已知点M在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【解析】（1）因为平面，平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以，又，
所以.
（2）由平面，平面，所以，
所以，
得，有，所以，
建立如图空间直角坐标系.
，
则，
设，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，设直线与平面所成的角为，
则，
整理得，解得，即.
易混易错57 忽略斜率公式的应用条件致错
辨析：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.
【典例1】（25-26高三上·山西·月考）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，则.
因为，，
当时，；（易错点）
要注意考虑斜率不存在的情形
当时，，或.
当时，直线的斜率，
所以，得；
当时，直线的斜率，
所以，得.
所以.
【跟踪训练1】（25-26高二上·贵州六盘水·月考）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率，
要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或.
所以直线的斜率的取值范围为.
故选：C.
【跟踪训练2】（25-26高二上·天津南开·开学考试）下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】把看成动点到定点所在直线的斜率，如图：
当直线与半圆相切时，斜率最小，
设直线方程为：，
此时由圆心到直线的距离等于半径可得：，解得：或（舍去），
所以的最小值为.
易混易错58 求直线方程忽略截距为零致错
辨析：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
【典例】（25-26高三上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】当直线经过原点时，此时直线方程可设为，（易错点）
此时直线的截距均为0，故不能通过设截距式方程求得
代入点，解得，所以直线方程为即；
当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为，
代入点，解得，所以直线方程为.
综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或.
故选：C.
【跟踪训练】（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．6条
【答案】B
【解析】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以
①当直线不经过原点时，设截距为，.
则直线过点，那么直线斜率为.
所以直线方程为.
因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径.
即，化简得，求解得或（舍去）.
此情况下有一条直线符合题意，直线方程为.
②当直线经过原点时，设直线方程为，即.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径.
即，化简得，求解得.
此情况下有两条直线符合题意，直线方程为.
综上，共有3条直线符合题目要求.
故选：B.
易混易错59 判断直线的位置关系考虑不全面致错
辨析：1.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
2.若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．
3.根据直线平行求参数时一定要检验重合的情况.
【典例】（25-26高三上·广东深圳·期末）已知直线与平行，则实数的值为（ ）
A．1B．-1C．D．
【答案】A
【解析】由题意，，
时，方程是，的方程是，平行；
时，方程可化为，方程化为，两直线重合，舍去，（易错点）
忽视对m取值讨论，从而未剔除两直线重合这一情形出错
故选：A.
【跟踪训练1】（多选）（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则直线，之间的距离为
C．直线过定点
D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或
【答案】BCD
【解析】对于，直线的斜率为，若，则直线的斜率为，
则，所以不垂直，故错误；
对于，若，所以可得，则直线，
由两平行直线距离公式可得，故正确；
对于，可化为，
所以直线恒过，故正确；
对于，当直线与轴无截距，不满足条件，
当，在两坐标轴的截距相等，分别令，
可求出与轴截距为和轴截距，即
解之可得或，故正确.
故选：
【跟踪训练2】(多选)（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知直线：，：，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．存在，使得
C．直线过定点D．直线过定点
【答案】AC
【解析】若，：，：，显然成立，
若，的斜率为，的斜率为，，所以，所以无论为何值，，故A正确，B错误；
的方程可化为，即，所以过定点，故C正确，
，所以过定点，故D错误.
故选：AC.
易混易错60 忽略圆的一般方程的限制条件致错
辨析：不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．
【典例】（25-26高三上·青海西宁·期末）点在圆外，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知：表示圆，
可得：，解得，（易错点）
要注意考虑方程表示圆的条件
又在圆外，所以，得，
所以k的取值范围为.
故选：C
【跟踪训练】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由圆，可得，
可得，解得，
又由点在圆外，则，解得，
综上可得：，所以实数的取值范围是.
故选：D.
易混易错61 处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论致错
辨析：（1）过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
（2）设直线的点斜式时一定要分析斜率不存在的情况，以防考虑问题不全面而出错.
【典例】（25-26高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称.
(1)求的半径；
(2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程.
【解析】（1）圆，即，
则圆心为，半径，
因为上存在两点关于直线对称，所以点在直线上，
所以，解得，
所以的半径；
（2）由（1）可得，圆心为，
因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意；（易错点）
要注意考虑直线斜率不存在这一种情形，否则将漏解
若直线的斜率存在，设直线的方程为，则，解得，
所以直线的方程为，即；
综上可得直线的方程为或.

【跟踪训练1】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程；
(3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值.
【解析】（1）解：设，因为点且，
所以，即，
所以的轨迹方程为.
（2）解：由（1）知，圆心为，半径为，
因为，设圆心到的距离，可得，解得，
当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意；
当斜率存在时，设方程：，即，
则，解得，此时.
综上可得，直线的方程为或.
（3）解：当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意，
所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且
联立方程组，
整理得，
令，解得，
且，所以，
又由，解得，所以，
因为均在直线上，且
所以.
易混易错62 两圆相切忽略内切、外切的区分致错
辨析：1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
②计算两圆的圆心距d；
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
2．由圆的位置关系求参数：求解此类问题，一般根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式,求出参数的值或取值范围,注意相切和相离均包括两种情况。应用几何法判断两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
【典例】（多选）（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知圆和圆，则（ ）
A．两圆可能无公共点
B．若两圆相切，则
C．直线可能为两圆的公切线
D．当时，若为两圆的公切线，则或
【答案】ACD
【解析】由圆的圆心为，圆的圆心为，则圆和圆的圆心距为，
对于A，当，即时，两圆可能相离，即无公共点，故A正确；
对于B，当两圆外切时，，得；当两圆内切时，，得，故B错误（易错点）；
注意两圆相切包括外切与内切
对于C，当时，直线可能为两圆的公切线，故C正确；
对于D，结合选项B可得，当时，两圆外切，
则有，解得或，故D正确．
故选：ACD．
【跟踪训练】（25-26 高三上·四川内江·期中）已知两个圆x2+y2=9，x2+y−62=r2，若两圆相切，则半径r为 ．
【答案】3或9
【解析】由题意知：两圆圆心分别为：C10,0，C20,6，半径分别为：r1=3，r2=r>0，
当两圆外切时：C1C2=6=3+r，解得：r=3；
当两圆内切时：C1C2=6=3−r，解得：r=9，负值舍去；
综上：r=3或r=9.
易混易错63 曲线方程变形不等价致错
辨析：在用几何法求参数范围时，对曲线方程化简时一定要注意等价化简，即不能造成x、y的取值范围的变大或缩小.
【典例】（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】曲线即为半圆：，（易错点）
要注意此曲线是半圆不是一个圆，且要注意区分是右半圆还是上半圆
其图象如图所示，
曲线与轴的交点为，
而直线为过的动直线，
当直线与半圆相切时，有，解得，
当直线过时，有，
因为直线与半圆有两个不同的交点，故，
故选：D.
【跟踪训练1】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为_____
【答案】
【解析】由可得，整理可得，
所以，曲线表示圆在轴的上半部分，
当直线与圆相切时，，
结合图形可知，，则，
当直线过原点时，，
结合图形可知，当时，
直线与曲线有两个不同的交点.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【跟踪训练2】（25-26高二上·江苏扬州·阶段练习）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可知直线过定点，
曲线两边平方得，
所以曲线C是以为圆心，半径为1且位于直线x轴上方的半圆，
当直线过点时，直线与曲线C有两个不同的交点，此时，
当直线与曲线C相切时，直线和圆有一个交点，圆心到直线的距离，两边平方解得，
所以结合图形可知直线与曲线C恰有两个交点，则.
故选：B.
易混易错64 忽略圆锥曲线定义中的限制条件致错
辨析：在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件，如椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数；双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差的绝对值是小于焦距的常数；二抛物线则要满足定点不在定直线上.
【典例1】（24-25高二上·北京·阶段练习）下列说法正确的个数是（ ）
①动点满足，则P的轨迹是椭圆
②动点满足，则P的轨迹是双曲线
③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线
④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】①，表示点与点的距离和为2a=，
而两点的距离为2c=4，所以点轨迹是两点间的线段(易错点)，①错误.
当2a>2c时点的轨迹才是椭圆
②，表示点与点的距离和为，
而两点的距离为，，所以点的轨迹是椭圆，②错误.
③，动点满足到y轴的距离比到的距离小1，
当点在y轴左侧或在y轴上时则动点满足到直线的距离和到的距离相等(易错点)，则P的轨迹是抛物线；
转化为到定点的距离等于到定直线的距离，便符合抛物线的定义
当点在y轴右侧时，此时P的轨迹是射线，③不正确.
④，动点满足，
则或，
表示的是直线在圆外和圆上的部分；
表示一个圆，所以P的轨迹是圆和两条射线，④错误.（易错点）
所以正确的有0个.
故选：A
【典例2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为圆心，，所以，
因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，
所以，
所以，
所以Q点轨迹为双曲线，且，
所以，则点的轨迹方程为.

故选：B
【跟踪训练1】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设动圆圆心为，半径为，
圆，即的圆心，半径；
圆，即的圆心，半径，
而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切，
得，整理得，
因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆，
长半轴长，半焦距，短半轴长，
所以所求轨迹方程为.
故选：B
易混易错65 忽略圆锥曲线焦点的位置致错
辨析：由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两种情况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定位，即分析焦点位置，不确定要讨论，在定量，即求或的值．
【典例】（25-26高三上·天津和平·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【解析】当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ，
依题意，，因，故得，双曲线方程为：；
当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ，（易错点）
由于焦点位置未确定，故需分焦点在x轴上、在y轴上分类讨论
依题意，，因，故得，双曲线方程为：，即.
故选：D.
【跟踪训练1】（24-25高三上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，
将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，
此时，椭圆的标准方程为；
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，
将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，
此时，椭圆的标准方程为.
综上所述，椭圆的标准方程为或.
故选：C.
【跟踪训练2】（25-26高二上·江苏南通·期末）写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为 .
①实轴长为4；②渐近线方程为
【答案】或
【解析】当双曲线焦点在x轴上时，由题意可知:，此时双曲线标准方程为.
当双曲线焦点在y轴上时，由题意可知：，此时双曲线标准方程为.
故答案为：或
易混易错66 求离心率范围时忽略离心率本身范围致错
辨析：注意椭圆离心率的范围： 0