2026年高考数学一轮复第05讲古典概型与概率的基本性质(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复第05讲古典概型与概率的基本性质(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共10页。学案主要包含了方法技巧，变式训练1-1，变式训练1-2，变式训练1-3，变式训练2-1，变式训练2-2，变式训练2-3，变式训练3-1等内容，欢迎下载使用。
01 \l "_Tc21558" \l "_Tc199181714" 考情解码・命题预警2
\l "_Tc28567" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc28567 \h 3
\l "_Tc20762" 03核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc20762 \h 3
\l "_Tc26058" 知能解码 PAGEREF _Tc26058 \h 3
\l "_Tc16252" 知识点1 古典概型 PAGEREF _Tc16252 \h 3
\l "_Tc24785" 知识点2 古典概型的概率公式 PAGEREF _Tc24785 \h 4
\l "_Tc20611" 知识点3 概率的性质 PAGEREF _Tc20611 \h 4
题型破译 \l "_Tc10638" PAGEREF _Tc10638 \h 4
\l "_Tc31860" 题型1 古典概型的特征 PAGEREF _Tc31860 \h 4
【方法技巧】古典概型特征
\l "_Tc9820" 题型2 几何中的古典概型问题 PAGEREF _Tc9820 \h 5
\l "_Tc19144" 题型3 数列中的古典概型 PAGEREF _Tc19144 \h 7
\l "_Tc6476" 题型4 统计中的古典概型 PAGEREF _Tc6476 \h 7
\l "_Tc21464" 题型5 有放回与无放回中的古典概型 PAGEREF _Tc21464 \h 11
\l "_Tc26009" 题型6 根据古典概型的概率求参数 PAGEREF _Tc26009 \h 12
\l "_Tc4376" 题型7 概率的基本性质 PAGEREF _Tc4376 \h 14
04真题溯源·考向感知 \l "_Tc15749" PAGEREF _Tc15749 \h 15
\l "_Tc30709" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc30709 \h 15
\l "_Tc25045" 知识点1 古典概型
试验具有如下共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有 ；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性 ．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为 ，简称古典概型．
自主检测下列试验中是古典概型的是（ ）
A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
\l "_Tc25045" 知识点2 古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 .
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
自主检测从大于1且小于50的整数中任意选取1个，则被选取的整数是质数的概率为（ ）
A．B．C．D．
\l "_Tc25045" 知识点3 概率的性质
1：概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）
性质1：对任意的事件，都有；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，；
性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，
所以
2：互斥事件的概率加法公式（性质3）
性质3：如果事件与事件 ，那么 ；
注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
3：对立事件的概率（性质4）
性质4：如果事件与事件互为 ，那么 ，；
4：概率的一般加法公式（性质6）
性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有
自主检测假设，，且A与B相互独立，则 ．
题型1 古典概型的特征
例1-1下列试验是古典概型的是（ ）
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
例1-2(多选)下列试验是古典概型的是（ ）
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D．老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人作典型发言，甲被选中的概率
方法技巧 古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
【变式训练1-1】下列是古典概型的个数有（ ）
①已知且，从中任取一个数，则满足的概率
②同时掷两颗骰子，点数和为11的概率；
③近一周中有一天降雨的概率；
④10个人站成一排，其中甲在乙右边的概率．
A．1B．2C．3D．4
【变式训练1-2】（多选）下列是古典概型的为（ ）
A．从6名同学中随机选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
B．在区间上任取一数，求这个数大于2的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
【变式训练1-3】（多选）下列有关古典概型的说法中，正确的是（ ）
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为，若随机事件包含个样本点，则事件发生的概率
题型2 几何中的古典概型问题
例2-1如图，从正六边形ABCDEF的顶点和该正六边形的中心O这七个点中任意选取三个点，若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形是等边三角形的概率是（ ）

A．B．C．D．
例2-2河图的排列结构如图，“一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中”，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值大于5的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-1】如图，平面内有A，B，C，D4个区域，随机在这4个区域之间画3道连线，且任意两个区域之间最多画一道连线，则从A，B，C，D任何一个区域，都可以通过连线及区域到达其它区域的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-2】如图，在正八边形上有A，B，C，D，E，F，G，H八个顶点，每个相邻的两顶点间称为1步（例如：A到B为1步）.现有一小球起始位置在点A处，并按规则沿八边形的边进行移动，移动规则为：抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为，则小球按顺时针方向前进i步到达另一个顶点.若抛掷两次骰子，则小球回到顶点A处的概率为 .
【变式训练2-3】有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有共八个点，一枚棋子起始位置在点处，每个相邻的两点间称为1步．抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为，则棋子按顺时针方向前进步到另一个点，抛掷两次骰子后，游戏结束．试问游戏结束时棋子回到点处的概率为 ．
题型3 数列中的古典概型
例3-1意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，．若从该数列的前2025项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
例3-2已知满足，则使一次函数的图象经过一、二、四象限的的概率是 .
【变式训练3-1】在排列中，任取两个数且如果，则称这两个数为该排列的一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.在排列中任取两数，则这组数是逆序的概率是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-2】如图所示，正实数标在正方体相应的顶点处，满足每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数.记，，则 .
题型4 统计中的古典概型
例4-1这么近，那么美，周末到河北.“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），将评分绘制成频率分布直方图，请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题.
(1)根据频率分布直方图，求的值；
(2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数；
(3)若工作人员从这100名游客中随机抽取了5名，其中评分在内的有2人，评分在内的有3人.现从这5人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分均在内的概率.
例4-2某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)求出图中实数a的值；
(2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；
(3)若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生：
（ⅰ）写出该试验的样本空间；
（ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率．
【变式训练4-1】为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分）整理成如图所示的频率直方图．
(1)求频率直方图中的值，估计师生竞赛成绩的众数和中位数
(2)从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求人的成绩来自同一区间的概率．
【变式训练4-2】某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动.组织方从参加活动的群众中随机抽取120人，按他们的年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，请估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率；
(2)已知第1组中男性有3人，组织方要从第1组中随机抽取2人组成志愿者服务队，求至少有1名女性的概率.
【变式训练4-3】庐江县某中学高一年级有1500名学生参加学期阶段调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：
(1)求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1500名学生的数学平均分（保留到整数）；
(2)已知样本中成绩在内的有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流，求选取的两人中至少有一名女生的概率．
题型5 有放回与无放回中的古典概型
例5-1抽取某车床生产的8个零件，编号为，，…，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品．
(1)从上述非一等品的零件中，有放回地依次随机抽取2个，求至少包含一个直径为1.48的零件的概率；
(2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率．
例5-2设有6个白球和4个红球混合后装入袋中，从这10个球中任取5个.
(1)在有放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；
(2)在不放回的情况下，求这5个球中恰有3个白球的概率；
(3)在不放回的情况下，求第3个球为白球的概率.
【变式训练5-1】一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片.
(1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求；
(2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由.
【变式训练5-2】有4张面值相同的债券，其中有2张是中奖债券．
(1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率；
(2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率；
(3)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率；
(4)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率
【变式训练5-3】在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，每次取1个，取后不放回，直到2个白球都被取出来后就停止取球．
(1)求2个白球都被乙取出的概率；
(2)求2个白球都被甲取出的概率；
(3)求将球全部取出才停止取球的概率
题型6 根据古典概型的概率求参数
例6-1某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有 件．
例6-2一个袋子中有2个红球（记为），3个绿球（记为），从中任意抽取两个球．
(1)写出试验的样本空间；
(2)求取出的两个球颜色不同的概率；
(3)如果是个红球，3个绿球，已知取出的两个球颜色相同的概率为，那么是多少？
【变式训练6-1】一个袋子中有3个红球，4个白球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．
(1)求两次取到的球颜色相同的概率．
(2)如果是3个红球，n个白球，已知第二次取到红球的概率为，求n的值．
【变式训练6-2】一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．
(1)若，求第二次取到红球的概率；
(2)若取出的2个球都是红球的概率为，求．
【变式训练6-3】一个袋子中有4个红球,6个绿球, 采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
(1)求第二次取到绿球的概率；
(2)如果是个红球, 6个绿球, 已知取出的2个球都是绿球的概率为，那么是多少?
题型7 概率的基本性质
例7-1设随机事件A，B相互独立，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
例7-2设样本空间含有等可能的样本点，若事件是的子集，且互相独立，其中 则= .
【变式训练7-1】抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练7-2】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，并记录每次骰子朝上的面的点数，记事件为“第一次朝上的面的点数为质数”，事件为“两次朝上的面的点数之和为奇数”，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练7-3】已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件有16个样本点，则（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为 ；
5．（2022·全国甲卷·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
1．已知.
（1）如果，那么 ， ；
（2）如果A，B互斥，那么 ， .
2．一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，随机地依次选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相等整数的概率；
（1）标签的选取是不放回的；
（2）标签的选取是有放回的.
3．一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支，那么下列事件的概率各是多少？
（1）A=“恰有1支一等品”；
（2）B=“两支都是一等品”；
（3）C=“没有三等品”.
4．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进去，第二次能打开门的概率又有多大？
5．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率：
（1）没有出现6点；
（2）至少出现一次6点；
（3）三个点数之和为9.
考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
（1）古典概型
（2）概率的基本性质
单选题
多选题
填空题
解答题
2025年上海卷第17题（2），4分
2024年甲卷（文）第4题，5分
2024年甲卷（理）第12题，5分
2023年北京卷第13题（1），4分
2023年甲卷（理）第9题，5分
2023年甲卷（文）第4题，5分
2023年天津卷第13题，5分
考情分析：
本节内容是概率的基础知识，考查形式可以是选择填空题，也可以在解答题中出现．经常出应用型题目，与生活实际相结合，要善于寻找合理的数学语言简化语言描述，凸显数学关系，通过分析随机事件的关系，找到适合的公式计算概率．但整体而言，本节内容在高考中的难度处于中等偏易．
复习目标：
（1）理解古典概型及其概率计算公式．
（2）会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率．