2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题10.5古典概型、概率的基本性质(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三讲义(全国通用)专题10.5古典概型、概率的基本性质(学生版+解析)，共15页。学案主要包含了全国通用，题型1 古典概型，题型4 几何概型，方法技巧与总结，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1等内容，欢迎下载使用。

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\l "_Tc8109" 【题型1 古典概型】 PAGEREF _Tc8109 \h 3
\l "_Tc15889" 【题型2 有放回与无放回问题的概率】 PAGEREF _Tc15889 \h 3
\l "_Tc6554" 【题型3 根据古典概型的概率求参数】 PAGEREF _Tc6554 \h 4
\l "_Tc23759" 【题型4 几何概型】 PAGEREF _Tc23759 \h 5
\l "_Tc25588" 【题型5 概率基本性质的应用】 PAGEREF _Tc25588 \h 6
\l "_Tc9641" 【题型6 古典概型与统计综合】 PAGEREF _Tc9641 \h 6
\l "_Tc16074" 【题型7 古典概型与数列的交汇问题】 PAGEREF _Tc16074 \h 8
\l "_Tc28054" 【题型8 古典概型与其他知识的交汇问题】 PAGEREF _Tc28054 \h 10
1、古典概型、概率的基本性质
知识点1 古典概型及其解题策略
1．古典概型
(1)事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
(2)古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(3)古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所
有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能；
②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；
③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.
2．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)=，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
3．求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
(3)排列组合法：再求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识进行求解.
4．古典概型与统计结合
有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.
知识点2 概率的基本性质
1．概率的基本性质
2．复杂事件概率的求解策略
(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.
【方法技巧与总结】
1．概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B=∅，即A,B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0.
【题型1 古典概型】
【例1】（2025·河南新乡·模拟预测）某校高三年级编制的数学模拟卷，其多项选择题中的四个选项A、B、C、D中至少有两个选项正确，规定：只要选择了错误项一律得0分，部分选对的得2分，若某题的正确答案是A，C，D，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为（ ）
A．34B．310C．16D．12
【变式1-1】（2025·山东临沂·三模）苏轼，字子瞻，号铁冠道人、东坡居士.北宋文学家，书法家、画家，历史治水名人.与父苏洵、弟苏辙三人并称“三苏”.为了纪念苏轼在文学方面的伟大成就，某中学开展“苏轼文化竞赛”活动，最终参加决赛共有7位同学，参加决赛的同学都有奖，决赛设置一、二、三等奖.若要求获得一等奖的人数不少于1人，获得二等奖的人数不少于2人，获得三等奖的人数不少于3人，则恰有2人获得二等奖的概率为（ ）
A．613B．313C．413D．913
【变式1-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组，则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为（ ）
A．215B．13C．25D．45
【变式1-3】（2025·江西·模拟预测）老师从7篇不同的诗歌中随机抽3篇让同学背诵，规定至少能背出其中2篇才算及格，甲同学只能背诵其中的3篇，则他能及格的概率为（ ）
A．1335B．1235C．1370D．635
【题型2 有放回与无放回问题的概率】
【例2】（2025·四川成都·二模）袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个白球.从袋中不放回地依次随机取出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（ ）
A．1325B．1225C．35D．25
【变式2-1】（2025·山东潍坊·模拟预测）从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中有放回地随机抽取3次，每次取一张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为（ ）
A．332B．764C．532D．316
【变式2-2】（2025·四川宜宾·一模）从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之积是3的倍数的概率为（ ）
A．310B．13C．35D．23
【变式2-3】（2025·河南·模拟预测）袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母a,2个标有字母b.甲先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到标有字母a的球的概率分别为p1,p2，则（ ）
A．p1=p2B．2p1=3p2
C．p1=3p2D．2p1=p2
【题型3 "" \t "" \ "根据古典概型的概率求参数" 根据古典概型的概率求参数】
【例3】（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（ ）
A．25B．30C．35D．40
【变式3-1】（2025·上海徐汇·一模）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（ ）
A．40个B．45个C．50个D．55个
【变式3-2】（24-25高二上·广东佛山·期末）一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，n个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为13，则n的值为（ ）
A．4B．5C．12D．15
【变式3-3】（24-25高一下·江苏南京·期末）一个口袋中装有10个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程200次，共摸出红球80次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（ ）个．
A．10B．15C．25D．40
【题型4 几何概型】
【例4】（2025·陕西榆林·模拟预测）七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为（ ）

A．18B．38C．516D．332
【变式4-1】（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，圆O是正三角形ABC的内切圆，则在△ABC内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）
A．3π9−14B．3π6−14C．3π9−12D．1−3π9
【变式4-2】（2025·陕西安康·模拟预测）将长度为1的线段随机剪成两段，则两段长度都不小于13的概率是（ ）
A．16B．14C．13D．12
【变式4-3】（2025·四川南充·三模）如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形ABC，在圆O内任取一点，则该点落在扇形ABC内的概率为（ ）
A．14B．34C．12D．32
【题型5 概率基本性质的应用】
【例5】（24-25高二下·上海·期中）已知事件A与事件B相互独立，且PA=0.3, PB=0.4，则PA∪B=（ ）
A．0.1B．0.12C．0.58D．0.7
【变式5-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）随机事件A发生的概率为45，随机事件B发生的概率为23，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（ ）
A．815,23B．715,45C．715,23D．23,45
【变式5-2】（24-25高一下·陕西西安·期末）已知随机事件A，B满足P(A)=13，P(B)=34，P(A∪B)=56，则P(A∩B)=（ ）
A．116B．18C．316D．14
【变式5-3】（24-25高三上·上海·开学考试）事件A与B独立，A、B分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（ ）
A．P(A∪B)=P(A)P(B)B．P(A∪B)=P(A)+P(B)
C．PAB=P(A)PBD．PA∪B=P(A)+1−P(B)
【题型6 古典概型与统计综合】
【例6】（24-25高一下·北京·期中）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[40,45]）.
(1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；
(2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；
(3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率.
【变式6-1】（2025·北京东城·二模）已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示.
(1)从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率；
(2)将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为a（单位：摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为b（单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中a=b的概率；
(3)依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度?请说明理由.
【变式6-2】（2025·上海杨浦·一模）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人.
(1)学校高中三个年级一共有多少个学生？
(2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中x