2026年高考数学一轮复第05讲古典概型与概率的基本性质(专项训练)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复第05讲古典概型与概率的基本性质(专项训练)(全国通用)(学生版+解析)，共18页。试卷主要包含了下列试验是古典概型的是，若图G的关联结点等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17943" 01 常考题型过关练
题型01 古典概型的特征
题型02 几何中的古典概型问题
题型03 数列中的古典概型
题型04统计中的古典概型
题型05有放回与无放回中的古典概型
题型06 根据古典概型的概率求参数
题型07 概率的基本性质
\l "_Tc20184" 02 核心突破提升练
\l "_Tc5699" 03 真题溯源通关练
01 古典概型的特征
1．下列试验中符合古典概型研究的试验是（ ）
A．抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数
B．抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球
C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D．射击选手进行射击训练，结果为命中10环、命中9环、……、命中0环
2．下列试验是古典概型的是（ ）
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球
B．在区间上任取一个实数，使
C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D．某人射击中靶或不中靶
3．（多选）下列试验不是古典概型的是（ ）
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D．老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率
4．（多选）下列试验是古典概型的是（ ）
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C．向一个正方形ABCD内部随机地投一个点，该点落在A点的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
5．（多选）下列试验中是古典概型的是（ ）
A．抛一枚质地均匀的硬币,观察其正面或反面出现的情况
B．口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取1个球
C．向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点
D．射击运动员向一靶心进行射击,观察其环数
6．下列概率模型是古典概型吗？为什么？
(1)从区间内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(3)从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．
02 几何中的古典概型问题
7．某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取2个数，则这2个数中至多有1个阴数的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则（ ）
A．这两个图都是二部图的概率为
B．这两个图至少有一个是二部图的概率为
C．这两个图不都是二部图的概率为
D．这两个图恰有一个是二部图的概率为
10．如图，从1开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中（每条移动路线都是等可能的），经过数字的概率记为，则 ， ．
11．某街区的交通道路如图中实线所示，它们恰好构成正方形网格．某人从处出发，沿道路以最短路径到达处，
①若从可选线路中随机选一条，则经过点的概率为 ；
②若在分叉路口有多个方向可选时随机选择方向，则经过点的概率为 ．
12．如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为 .
03 数列中的古典概型
13．意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，．若从该数列的前2025项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
14．数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，则（ ）
A．B．C．D．
15．1827年英国植物学家布朗用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现被分子撞击的悬浮微粒做无规则运动，这类运动被称为布朗运动．在如图所示的容器截面图中，，，表示容积相等的三部分区域，每块区域都有大小相同的小孔进行联通．假设某粒子做布朗运动时，会等可能的随机选择一个小孔到达另一区域，已知该粒子的初始位置在区域，且粒子经过次随机选择后到达区域的概率为，则 ．

16．若数列不是等差数列，但使得，那么称数列为“局部等差数列”.若从集合中依次抽取4个数构成一个数列，则数列为局部等差数列的概率为 .
17．斐波那契数列（Fibnaccisequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，，，，，，，，，，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，，.若集合为集合的非空子集，则集合中所有元素之和为奇数的概率为 .
18．斐波那契数列，又称黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，（，）.已知，且，则中所有元素之和为奇数的概率为 .（用最简分数表示）
19．给定两个数组与，称为这两个数组之间的“差异量”，令数组，且集合，．
(1)当时，写出的所有可能情况；
(2)记，求的概率．
04 统计中的古典概型
20．在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了.
(1)求m的值;
(2)设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）；
(3)从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少?
21．某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）；
(2)从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率.
22．2025年5月22日16时49分，神舟二十号航天员陈冬、陈中瑞、王杰完成首次出舱任务，历时约8小时．安全返回天和核心舱．为了弘扬航天精神，某校组织高二学生进行了航天知识能力测试．现随机抽取100名学生的测试成绩（单位：分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中的值；
(2)试估计本次航天知识能力测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(3)该校准备对本次航天知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率．
23．某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了 100名候选者的面试成绩并分成五组:第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数及中位数(保留一位小数)；
(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自不同组的概率.
26．某学校为保障校园科创社团成员以良好身体素质开展创新实践，对“航模社”和“建模社”进行专项体能训练.学期末，从两个社团各随机抽取100人进行“障碍跑”成绩测试（成绩单位：秒），依据测试结果得到如下频率分布直方图.
(1)分别计算航模社测试的平均成绩、建模社测试成绩的分位数（同一组中数据用该组区间中点值近似代替）；
(2)若测试成绩在70秒以内（含70秒）为“体能合格”，从两社团“体能合格”成员中按分层随机抽样选5人分享“科创+体能”训练经验，再从这5人中选2人担任经验分享会主持人，求2人都来自“建模社”的概率.
25．从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示；

(1)求直方图中的值及样本中位数；
(2)现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，写出从这5人中随机抽取2人的样本空间，并求这2人成绩至少一人成绩在的概率.
26．有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率．
(1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率；
(2)从甲、乙两校各随机抽取1人，求恰有1人做对的概率.
27．某校为了解高一学生在学业水平模拟考试中数学成绩的情况，从全年级的成绩中随机抽取100名学生的成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，其中分数在内的学生有15人.
(1)求m，n的值；
(2)学校准备按成绩从高到低抽取前34%的学生进行表彰，用样本估计总体的方法，估计受表彰学生的最低分是多少?
(3)若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从这6人中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有1人成绩在内的概率.
05 有放回与无放回中的古典概型
28．抽样是产品检查的常用方法，分为放回抽样和不放回抽样两种具体操作方案.现有100只外形相同的电路板，其中有40只类板，60只B类板.求在下列各种情况下，从100只抽出3只，3只都是B类的概率．
(1)每次取出一只，测试后放回，然后再随机抽取下一只；（称为放回抽样）
(2)每次取出一只，测试后不放回，在其余的电路板中，随意取下一只.（称为不放回抽样）
29．一个口袋中有质地和大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.
(1)求编号和为5的事件发生的概率；
(2)这种游戏规则公平吗？说明理由；
(3)如果甲摸出球后不放回，则游戏对谁有利？
30．从2名男生（记为和）和3名女生（记为和）组成的总体中，任意依次抽取2名学生.
(1)不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率.
(2)有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率.
31．袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率．
32．袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个形状、大小完全相同的球.甲每次从中取出2个球，若1号球和2号球恰有一个被取出，则获得奖金10元，若1号球和2号球都被取出，则获得奖金20元.
(1)求甲获得10元的概率；
(2)若甲有放回地取两次，求获得奖金总和为20元的概率.
33．已知袋中有8个大小质地相同，颜色不全相同的小球，分别为黑球、白球、红球，从中任意取一球，取到黑球或白球的概率是，取到白球或红球的概率是．
(1)从中任取两个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；
(2)若有放回的取球，求取出的两个球一个是白色一个是红色的概率．
34．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6.
(1)若从袋中随机抽取1个球，求取出的球编号为质数的概率；
(2)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；
(3)若一次从袋中随机抽取3个球，求取出的球最大编号为4的概率.
35．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中红球3个，白球2个．
(1)从中有放回地依次随机摸出2个球，求第一次摸到白球的概率；
(2)从中无放回地依次随机摸出2个球，求第二次摸到白球的概率；
(3)若同时随机摸出2个球，求至少摸到一个白球的概率．
06 根据古典概型的概率求参数
36．在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
37．平面内有个点等分圆周，从个点中任取3个，可构成直角三角形的概率为，连接这个点可构成正多边形，则此正多边形的边数为（ ）
A．6B．8C．12D．16
38．一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（ ）
A．25B．30C．35D．40
39．一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（ ）
A．4B．5C．12D．15
40．某箱脐橙共有18个，其中有少部分是坏果.若从这箱脐橙中任取2个，恰好取到1个坏果的概率为，则这箱脐橙中坏果的个数为（ ）
A．3B．5C．2D．4
41．一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和n个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，若取出的2个球颜色不同的概率为，则n的所有可能取值为 ．
42．一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有3个红球，个黄球，从袋中不放回地依次随机取出2个球，已知取出的2个球都是红球的概率是，则 .
43．现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球. 当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为 ；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为 .
07 概率的基本性质
44．已知事件和事件独立，若，则（ ）
A．0.21B．0.51C．0.79D．0.91
45．设随机事件A，B满足，，则（ ）．
A．B．C．D．
46．已知随机事件满足，则（ ）
A．B．C．D．
47．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有8个样本点，则（ ）
A．B．C．D．
48．已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则 .
49．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字，若分别在个、十、百、千位档中各随机拨上一颗下珠或拨下一颗上珠，记事件所表示的数能被整数，事件所表示的数能被整除，则 ．
1．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
2．（2025·辽宁鞍山·一模）小李同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点．按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择选择某个顶点处停止，得到一条“一笔画”路径．比如，“一笔画”路径：．若经过4次移动后，到达点的条件下，两次经过点的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·山东临沂·三模）苏轼，字子瞻，号铁冠道人、东坡居士.北宋文学家，书法家、画家，历史治水名人.与父苏洵、弟苏辙三人并称“三苏”.为了纪念苏轼在文学方面的伟大成就，某中学开展“苏轼文化竞赛”活动，最终参加决赛共有位同学，参加决赛的同学都有奖，决赛设置一、二、三等奖.若要求获得一等奖的人数不少于人，获得二等奖的人数不少于人，获得三等奖的人数不少于人，则恰有人获得二等奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知袋中共有7个黑球、m个白球，所有球除颜色外，其余均相同，甲和乙两人各从袋中随机且不放回地取出一球，若两球颜色不同，则甲胜；若两球颜色相同，则乙胜.要使甲取得胜利的概率高于乙，则正整数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·湖北·模拟预测）已知正整数，欧拉函数表示、、、、中与互素的整数的个数，例如，，.若小明从、、、、中随机取一个数，小红从、、、、中随机取一个数，则的概率为 .
6．（2025·福建泉州·模拟预测）摩尔斯电码常用0和1组成的有序数组（，，）表示信息，被称为一个长为的字．设， 令表示使的的个数，例如，，则．若，则满足，字长为6的字中至少有3个1相邻的概率为 ．
1．（2022·全国甲卷·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
4．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ．
5．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．