2026年高考数学一轮复第05讲椭圆及其性质(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复第05讲椭圆及其性质(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共27页。学案主要包含了方法技巧，变式训练1-1，变式训练1-2，变式训练1-3，变式训练2-1，变式训练3-1，变式训练3-2，变式训练4-1等内容，欢迎下载使用。
01 TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc199181714" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc199181714 \h 2
\l "_Tc199181715" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc199181715 \h 3
\l "_Tc199181716" 03核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc199181716 \h 4
\l "_Tc199181717" 知能解码 PAGEREF _Tc199181717 \h 4
\l "_知识点1 椭圆的定义" 知识点1 椭圆的定义 PAGEREF _Tc199181718 \h 4
\l "_知识点2 椭圆的简单几何性质" 知识点2 椭圆的简单几何性质 PAGEREF _Tc199181719 \h 4
\l "_Tc199181722" 题型破译 \l "_Tc199181721" 5
\l "_题型1 椭圆的定义及其应用" 题型1 椭圆的定义及其应用 PAGEREF _Tc199181723 \h 5
【方法技巧】定义结合焦点三角形
\l "_题型2 椭圆的标准方程" 题型2 椭圆的标准方程 PAGEREF _Tc199181724 \h 7
\l "_题型3 椭圆的焦距与长轴、短轴_x0001_" 题型3 椭圆的焦距与长轴、短轴8
\l "_题型4 椭圆中的焦点三角形_x0001_" 题型4 椭圆中的焦点三角形 PAGEREF _Tc199181726 \h 9
\l "_题型5 离心率_x0001_" 题型5 离心率 PAGEREF _Tc199181727 \h 10
\l "_题型6 与椭圆有关的范围(最值)_x0001_" 题型6 与椭圆有关的范围(最值) PAGEREF _Tc199181728 \h 11
\l "_题型7 椭圆的实际应用_x0001_" 题型7 椭圆的实际应用 PAGEREF _Tc199181729 \h 12
\l "__x0001__5" 04真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc199181733 \h 15
\l "__x0001__6" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc199181734 \h 17
\l "_Tc25045" 知识点1 椭圆的定义
椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 .
注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数0，n>0，m≠n)；
与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为x2a2＋m＋y2b2＋m＝1(a>b>0，m>－b2)；
与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为x2a2＋y2b2＝λ或y2a2＋x2b2＝λ(a>b>0，λ>0).
【变式训练2-1】方程表示的曲线是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．不能确定
【变式训练2-2·变考法】已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ．
【变式训练2-3·变载体】已知点是椭圆上的三点，其中点是椭圆的右顶点，直线过椭圆的中心，且，，如图所示.

(1)求点的坐标及椭圆的方程；
(2)若椭圆上存在两点，使得直线与直线关于直线对称，求直线的斜率.
题型3 椭圆的焦距与长轴、短轴
例3-1已知椭圆的焦距为4，则离心率（ ）
A．B．C．D．
例3-2（2025·河南·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（ ）
A．6B．C．D．3
例3-3（多选）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（ ）
A．B．C．1D．
方法技巧
以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、
y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
【变式训练3-1】（2025·重庆·三模）已知椭圆的焦点在圆上，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-2】（多选）如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆的（ ）
A．长半轴长为B．短半轴长为
C．焦距为4D．离心率为
题型4 椭圆中的焦点三角形
例4-1（2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（ ）
A．B．C．D．
例4-2（多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．点纵坐标为B．的周长为
C．D．的内切圆半径为
方法技巧
P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0.
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(3)|PF1|·|PF2|≤PF1|＋PF2|22＝a2.
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c).
【变式训练4-1】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（ ）．
A．的面积的最大值为12
B．的平分线必过椭圆的中心
C．若，则
D．设，椭圆C上存在点P，使得
【变式训练4-2·变载体】已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为 ．
题型5 离心率
例5-1设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例5-2（多选）已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为
方法技巧
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝ca求解.
(2)由a与b的关系，利用变形公式e＝1-b2a2求解.
(3)构造a，c的方程.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
【变式训练5-1】已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练5-2】已知椭圆 （）的离心率为 ，且过点 .若直线 与椭圆相切于点 ，且 （ 为坐标原点），则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练5-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练5-4】已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 .
题型6 与椭圆有关的范围(最值)
例6-1（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（ ）
A．C的离心率为B．的周长为12
C．的最小值为3D．的最大值为16
例6-2（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（ ）
A．椭圆C的长轴长为B．椭圆C的离心率为
C．点在椭圆C内D．的值可以是6
方法技巧
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
【变式训练6-1】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点）是椭圆E上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆E的长轴长为5B．椭圆E的离心率为
C．D．恰好存在两个点P使得
【变式训练6-2】（多选）椭圆的左右焦点分别为，，点在上，双曲线与椭圆有相同的焦点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若，则
C．若是等腰三角形，则满足条件的点有4个
D．若是椭圆与双曲线的交点，且在第二象限，交轴于点，平分，则双曲线的离心率为
题型7 椭圆的实际应用
例7-1（多选）已知，是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，是椭圆的一条切线，切点为，，在直线上的投影分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．
例7-2小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（ ）（用表示）.

A．B．C．D．
【变式训练7-1】我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面的面积都相等，由此得到新几何体与半球的体积相等，即．现将椭圆绕轴旋转一周后得到如图3所示的椭球，类比上述方法，运用祖暅原理可求得该椭球的体积为（ ）

A．B．C．D．
【变式训练7-2】油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（ ）

A．B．C．D．
【变式训练7-3】如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程 .

1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求．
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，．
(1)求C的方程；
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足．
（i）设，求的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值．
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
5．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
6．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
1.椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
2.若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离 ．
3.如图，一动圆与圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．

4.求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．
5.如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？

6.根据下列条件判断方程表示什么曲线.
(1)；
(2).
7.已知椭圆C的焦点为，短轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，求椭圆C的离心率．
考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程；
2.掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；
3.掌握椭圆的简单应用.
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，18题，17分
全国二卷，16题，15分
北京卷，19题，15分
新课标I卷，第16题，15分
新课标Ⅱ卷，第5题，5分
新课标I卷，第5题，5分
全国甲卷（理数），第12题，5分
北京卷，第19题，15分
考情分析：
椭圆及其性质是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查椭圆的定义、方程及其性质，主要以选择、填空题的形式出现，难度不大；
与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解.
复习目标：
1.通过对椭圆定义的探究过程，体会从具体实例中抽象出数学概念的方法，培养观察、分析、归纳和概括的能力.例如，从生活中常见的椭圆形状物体（如鸡蛋、行星轨道模型等）出发，引导学生思考如何用数学语言描述其特征，进而得出椭圆的定义.
2.在推导椭圆标准方程的过程中，学会运用坐标法解决几何问题，提高运用代数方法研究几何问题的能力，体会数形结合思想的应用.如在建立平面直角坐标系后，将椭圆上点满足的几何条件转化为代数方程，通过化简方程得到椭圆的标准方程，在这个过程中深刻理解数与形之间的相互转化.
3.通过对椭圆几何性质的研究，掌握从方程研究曲线性质的一般方法，培养逻辑推理能力。例如，根据椭圆的标准方程，通过分析方程中(x)，(y)的取值范围得出椭圆的范围，从方程的形式判断椭圆的对称性等，逐步建立起从方程到曲线性质的推理逻辑.
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
(a>b>0)
(a>b>0)
范围
顶点
A1 ，
A2 ，
B1 ，
B2
A1 ，
A2 ，
B1 ，
B2 ，
轴长
短轴长为 ，长轴长为
焦点
F1 ，
F2 ，
F1 ，
F2 ，
焦距
|F1F2|＝
对称性
对称轴： ，对称中心：
离心率
.
a，b，c的关系
.