2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题10.5古典概型、概率的基本性质(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)专题10.5古典概型、概率的基本性质(学生版+解析)，共3页。

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\l "_Tc2727" 【题型1 古典概型】 PAGEREF _Tc2727 \h 3
\l "_Tc24070" 【题型2 有放回与无放回问题的概率】 PAGEREF _Tc24070 \h 4
\l "_Tc24705" 【题型3 根据古典概型的概率求参数】 PAGEREF _Tc24705 \h 6
\l "_Tc30586" 【题型4 几何概型】 PAGEREF _Tc30586 \h 7
\l "_Tc23232" 【题型5 概率基本性质的应用】 PAGEREF _Tc23232 \h 9
\l "_Tc28169" 【题型6 古典概型与统计综合】 PAGEREF _Tc28169 \h 12
\l "_Tc7119" 【题型7 古典概型与数列的交汇问题】 PAGEREF _Tc7119 \h 16
\l "_Tc16080" 【题型8 古典概型与其他知识的交汇问题】 PAGEREF _Tc16080 \h 20
1、古典概型、概率的基本性质
知识点1 古典概型及其解题策略
1．古典概型
(1)事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
(2)古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(3)古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所
有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能；
②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；
③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.
2．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)=，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
3．求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
(3)排列组合法：再求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识进行求解.
4．古典概型与统计结合
有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.
知识点2 概率的基本性质
1．概率的基本性质
2．复杂事件概率的求解策略
(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.
【方法技巧与总结】
1．概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B=∅，即A,B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0.
【题型1 古典概型】
【例1】（2025·河南新乡·模拟预测）某校高三年级编制的数学模拟卷，其多项选择题中的四个选项A、B、C、D中至少有两个选项正确，规定：只要选择了错误项一律得0分，部分选对的得2分，若某题的正确答案是A，C，D，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为（ ）
A．34B．310C．16D．12
【答案】D
【解题思路】利用古典概型的概率公式求解.
【解答过程】由题意所求概率为C32C42=12.
故选：D.
【变式1-1】（2025·山东临沂·三模）苏轼，字子瞻，号铁冠道人、东坡居士.北宋文学家，书法家、画家，历史治水名人.与父苏洵、弟苏辙三人并称“三苏”.为了纪念苏轼在文学方面的伟大成就，某中学开展“苏轼文化竞赛”活动，最终参加决赛共有7位同学，参加决赛的同学都有奖，决赛设置一、二、三等奖.若要求获得一等奖的人数不少于1人，获得二等奖的人数不少于2人，获得三等奖的人数不少于3人，则恰有2人获得二等奖的概率为（ ）
A．613B．313C．413D．913
【答案】D
【解题思路】先确定获得一等奖、二等奖、三等奖的人数，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【解答过程】设获得一等奖、二等奖、三等奖的人数分别为a、b、c，则a+b+c=7，
因为要求获得一等奖的人数不少于1人，获得二等奖的人数不少于2人，获得三等奖的人数不少于3人，
则a=1b=2c=4或a=1b=3c=3或a=2b=2c=3，
所以恰有2人获得二等奖的概率为P=C72C51+C73C42C72C51+C73C42+C71C63=315455=913.
故选：D.
【变式1-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组，则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为（ ）
A．215B．13C．25D．45
【答案】C
【解题思路】利用古典概率模型进行计算，即可得到答案.
【解答过程】6人分成3个小组，每个小组2人，共有C62×C42×C22A33=15×6×16=15种方法，
3个年级中选1个，该年级的2名学生组成一个小组，有 C31=3 种选择，
剩余两个年级（设为A、B年级）各有2名学生，A年级学生记为 A1,A2，B年级学生记为 B1,B2，
分组方式有A1,B1和A2,B2，A1,B2和A2,B1，共2种情况.
所以，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为3×215=25.
故选：C.
【变式1-3】（2025·江西·模拟预测）老师从7篇不同的诗歌中随机抽3篇让同学背诵，规定至少能背出其中2篇才算及格，甲同学只能背诵其中的3篇，则他能及格的概率为（ ）
A．1335B．1235C．1370D．635
【答案】A
【解题思路】先算出从7篇诗歌中随机抽3篇的总情况数n，再分别算出甲同学能背出2篇和3篇的情况数，两者相加得到甲同学及格的情况数m，最后代入古典概型概率公式计算甲同学能及格的概率.
【解答过程】计算从7篇诗歌中随机抽3篇的总情况数，n=C73=7×6×53×2×1=35种.
计算甲同学能背出2篇的情况数，
甲同学只能背诵其中3篇，那么从这3篇会背的中选2篇的组合数为C32，同时从剩下7−3=4篇不会背的中选1篇的组合数为C41.
所以甲同学能背出2篇的情况数为C32×C41=3×22×1×4=3×4=12种.
计算甲同学能背出3篇的情况数，
从3篇会背的诗歌中选3篇的组合数为C33，根据组合数公式C33=1种.
计算甲同学及格的情况数m，
因为至少能背出2篇才算及格，所以甲同学及格的情况数为能背出2篇的情况数与能背出3篇的情况数之和，即m=C32×C41+C33=12+1=13种.
根据古典概型概率公式，将m=13，n=35代入可得P=1335.
故选：A.
【题型2 有放回与无放回问题的概率】
【例2】（2025·四川成都·二模）袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个白球.从袋中不放回地依次随机取出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（ ）
A．1325B．1225C．35D．25
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用组合计数问题列式，进而求出古典概率.
【解答过程】从袋中不放回地依次随机取出2个球的试验有C52个基本事件，
取出的2个球颜色相同的事件有C32+C22个基本事件，
所以这2个球颜色相同的概率为C32+C22C52=3+110=25.
故选：D.
【变式2-1】（2025·山东潍坊·模拟预测）从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中有放回地随机抽取3次，每次取一张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为（ ）
A．332B．764C．532D．316
【答案】C
【解题思路】根据古典概型结合乘法原理计算即可.
【解答过程】从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中有放回地随机抽取3次的所有情况有4×4×4=64种，
抽到的3张卡片上的数字之和大于9的情况有3,3,4,3,4,3,4,3,3,2,4,4,4,2,4,4,4,2,3,4,4,4,3,4,4,4,3,4,4,4,10种，
所以抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为P=1064=532.
故选：C.
【变式2-2】（2025·四川宜宾·一模）从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之积是3的倍数的概率为（ ）
A．310B．13C．35D．23
【答案】C
【解题思路】根据题意，用列举法分析“从六张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案.
【解答过程】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，
有1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6共15种取法，
其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有1,3，1,6，2,3，2,6，3,4，3,5，3,6，4,6，5,6共9种情况，
则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率P=915=35.
故选：C.
【变式2-3】（2025·河南·模拟预测）袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母a,2个标有字母b.甲先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到标有字母a的球的概率分别为p1,p2，则（ ）
A．p1=p2B．2p1=3p2
C．p1=3p2D．2p1=p2
【答案】A
【解题思路】利用古典概型的概率及全概率公式求出p1,p2后可得正确的选项.
【解答过程】设A为“甲摸到标有字母a的球”，B为“乙摸到标有字母a的球”，则p1=PA=35，
而p2=P(B)=P(BA)+P(BA)=P(B∣A)P(A)+P(B∣A)P(A)=24×35+34×25=35，
故p1=p2.
故选：A.
【题型3 "" \t "" \ "根据古典概型的概率求参数" 根据古典概型的概率求参数】
【例3】（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（ ）
A．25B．30C．35D．40
【答案】A
【解题思路】设黑球的个数为n，根据古典概型概率公式列式求解即可.
【解答过程】设黑球的个数为n，由古典概型的概率公式可得2020+n=400900，解得n=25.
故选：A.
【变式3-1】（2025·上海徐汇·一模）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（ ）
A．40个B．45个C．50个D．55个
【答案】B
【解题思路】因为重复摸球次数足够多，所以将频率视为概率，应用古典概型概率的计算公式计算即可.
【解答过程】设红球个数为a，
由题意可得：5a+5=0.1，解得：a=45.
故选：B.
【变式3-2】（24-25高二上·广东佛山·期末）一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，n个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为13，则n的值为（ ）
A．4B．5C．12D．15
【答案】A
【解题思路】利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出n的值．
【解答过程】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，n个绿球，
从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是13，
则6×56+n5+n=13，
解得n=4（负值舍去）.
故选：A．
【变式3-3】（24-25高一下·江苏南京·期末）一个口袋中装有10个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程200次，共摸出红球80次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（ ）个．
A．10B．15C．25D．40
【答案】B
【解题思路】设黄球的个数为n，利用古典概型的概率公式可得出关于n的等式，解出n的值即可.
【解答过程】设黄球的个数为n，由古典概型的概率公式可得1010+n=80200，解得n=15.
故选：B.
【题型4 几何概型】
【例4】（2025·陕西榆林·模拟预测）七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为（ ）

A．18B．38C．516D．332
【答案】A
【解题思路】设小正方形边长为1，求出大正方形的边长，以及黑色平行四边形的底和高，再结合几何概型公式求解.
【解答过程】设小正方形边长为1，可得黑色平行四边形底为2，高为22；
黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为22，即大正方形边长为22，
故种子落入黑色平行四边形区域的概率为2×22(22)2=18．
故选：A.
【变式4-1】（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，圆O是正三角形ABC的内切圆，则在△ABC内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）
A．3π9−14B．3π6−14C．3π9−12D．1−3π9
【答案】D
【解题思路】利用等面积法求出正三角形ABC的边长与其内切圆半径的关系，再利用几何概型求解即可.
【解答过程】设正三角形ABC的边长为a，内切圆的半径为r，
由S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC，
得12×a×a−a22=3×12ar，所以a=23r，
所以S△ABC=33r2，
内切圆得面积S1=πr2，
所以阴影部分得面积为33r2−πr2，
所以该点取自阴影部分的概率为33r2−πr233r2=1−3π9.
故选：D.
【变式4-2】（2025·陕西安康·模拟预测）将长度为1的线段随机剪成两段，则两段长度都不小于13的概率是（ ）
A．16B．14C．13D．12
【答案】C
【解题思路】设其中一段为x0