2026年高考数学一轮复第05讲数列求和(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复第05讲数列求和(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共27页。学案主要包含了方法技巧，变式训练1-1，变式训练1-2，变式训练1-3，变式训练2-1，变式训练2-2，变式训练2-3，变式训练3-1等内容，欢迎下载使用。
01TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31576" \l "_Tc199181714" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc199181714 \h 1
\l "_Tc24408" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc24408 \h 3
\l "_Tc26606" 03核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc26606 \h 4
\l "_Tc28249" 知能解码 PAGEREF _Tc28249 \h 4
\l "_Tc197" 知识点1 倒序相加法 PAGEREF _Tc197 \h 4
\l "_Tc1515" 知识点2分组求和法 PAGEREF _Tc1515 \h 4
\l "_Tc30953" 知识点3 裂项相消法 PAGEREF _Tc30953 \h 5
\l "_Tc12683" 知识点4 错位相减法 PAGEREF _Tc12683 \h 6
\l "_Tc18434" 知识点5奇偶项讨论求和 PAGEREF _Tc18434 \h 6
\l "_Tc9207" 题型破译 PAGEREF _Tc9207 \h 7
\l "_Tc20671" 题型1 倒序相加法 PAGEREF _Tc20671 \h 7
\l "_Tc27741" 题型2 分组求和法 PAGEREF _Tc27741 \h 7
\l "_Tc18383" 题型3 错位相减法 PAGEREF _Tc18383 \h 9
\l "_Tc11787" 题型4 裂项相消法之等差型 PAGEREF _Tc11787 \h 11
【方法技巧】裂项相消法之等差型模型特点
\l "_Tc18257" 题型5 裂项相消法之根式型 PAGEREF _Tc18257 \h 13
【方法技巧】裂项相消法之根式型模型特点
\l "_Tc13951" 题型6 裂项相消法之指数型 PAGEREF _Tc13951 \h 15
【方法技巧】裂项相消法之指数型模型特点
\l "_Tc6952" 题型7 裂项相消法之裂项相加型 PAGEREF _Tc6952 \h 18
【方法技巧】裂项相消法之裂项相加模型标志
\l "_Tc27907" 题型8 奇偶项分类讨论求和 PAGEREF _Tc27907 \h 20
\l "_Tc29851" 04真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc29851 \h 22
\l "_Tc12359" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc12359 \h 24
\l "_Tc25045" 知识点1 倒序相加法
即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
自主检测1．已知数列中，，则（ ）
A．96B．97C．98D．99
\l "_Tc25045" 知识点2分组求和法
1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.
自主检测已知数列为等比数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
\l "_Tc25045" 知识点3 裂项相消法
1、等差型
= 1 \* GB3 ①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
2、无理型
= 1 \* GB3 ①
如：
3、指数型
①
如：
4、通项裂项为“”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
自主检测已知是首项为1的等比数列，数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
\l "_Tc25045" 知识点4 错位相减法
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
自主检测．已知分别是等差数列和等比数列的前项和，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若为递增数列，，求数列的前项和．
\l "_Tc25045" 知识点5奇偶项讨论求和
1、通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
角度1：求的前项和
角度2：求的前项和
2、通项含有的类型；例如：
自主检测已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
题型1 倒序相加法
例1-1已知fx+f1−x=2,an=f0+f1n+…+fn−1n+f1,n∈N*，则数列an的通项公式为（ ）
A．an=n−1B．an=n
C．an=n+1D．an=n2
例1-2高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：1+100=101，2+99=101，…，50+51=101，共有50组，所以1+2+3+⋅⋅⋅+100=50×101=5050，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列{an}的各项均为正数，且公比不等于1， a1a2024=1，试根据提示探究：若f(x)=11+x，则f(a1)+f(a2)+⋯+f(a2024)= .
【变式训练1-1】已知fx=21+x2x∈R，若等比数列an满足a1a2026=1，则fa1+fa2+⋯+fa2026=（ ）
A．20252B．1013C．2025D．2026
【变式训练1-2】已知函数fx=2x2x−1，利用教材中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f12023+f22023+⋯+f20222023=（ ）
A．2020B．2022C．4040D．4044
【变式训练1-3】已知正数数列an是公比不等于1的等比数列，且a1a2025=1，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若fx=41+x2，则fa1+fa2+⋯+fa2025= ．
题型2 分组求和法
例2-1已知数列an中，a1=1，an+1−2an=2n（n为正整数）．
(1)求证：数列an2n是等差数列，并求数列an的通项公式；
(2)求数列an2n+3n的前n项和Tn．
例2-2已知等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1(n∈N*).
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=an−2,n为奇数,2an+8,n为偶数,，设数列bn的前n项和为Tn，求T2n.
【变式训练2-1】已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an+2n∈N∗，数列{bn}为单调递增的等比数列，b2=2，且b1，b2，b3−1成等差数列.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
【变式训练2-2】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知an，bn均为等比数列，且a1=b1=2，a2=2b2=2.
(1)证明：anbn为定值.
(2)求数列an−bn2的前n项和Sn.
【变式训练2-3】已知函数fx=12x2+12x，数列an的前n项和为Sn，点n,Snn∈N*均在函数fx的图象上．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=an,n为奇数1anan+2,n为偶数，求数列bn的前20项和T20；
题型3 错位相减法
例3-1已知数列an的前n项和为Sn，a1=12，当n≥2时，Sn=anSn−1
(1)求an；
(2)设bn=3nSn，求数列bn的前n项和为Tn．
例3-2（2025·辽宁·二模）记数列an的前n项和为Sn，已知an+Sn=2n+52．
(1)证明：数列an−2是等比数列；
(2)求数列an的通项公式；
(3)求数列nan的前n项和Tn．
【变式训练3-1】在等差数列an中，a4+a8=34，a10=29．
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=2nan，求数列bn的前n项和Tn．
【变式训练3-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列an满足a1=2，an+1=an,an+1,n为奇数n为偶数，数列bn满足bn=a2n−1．
(1)证明：数列bn为等差数列；
(2)求数列bn的通项公式及前n项和Sn；
(3)记dn=bn2n，求数列dn的前n项和Tn．
【变式训练3-3】（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知等差数列an的首项a1=3，等比数列bn的公比q=2，且1+a4=b2，a5+b3=31.
(1)求数列an和数列bn的通项公式；
(2)设cn=15anbn，求数列cn的前n项和Sn.
题型4 裂项相消法之等差型
例4-1已知等比数列an的各项均为正数，首项a1=3,Sn为其前n项和，且S1+3S2=S3．
(1)求数列an的通项公式；
(2)bn=lg3an,cn=1bnbn+2，求数列cn的前n项和Tn．
例4-2已知Sn是数列an的前n项和，数列2n−1Sn是首项为2，公比为2的等比数列.
(1)求数列an的通项公式；
(2)已知cn=−2nan，求数列1cncn+2的前n项和Tn.
方法技巧 裂项相消法之等差型模型
= 1 \* GB3 ①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
【变式训练4-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）记数列an的前n项和为Sn，已知a1=9，Snn−an=n−1．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=|an|，数列bn的前n项和Tn；
(3)记cn=110−an12−an，求数列cn的前n项和Rn．
【变式训练4-2】已知数列an为等差数列，an的前n项和为Sn，a6=11，S3=9.
(1)求数列an的通项公式；
(2)求数列1anan+1的前n项和Tn.
【变式训练4-3】（2025·甘肃·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=3,Sn+1=Sn+an+2n+3.
(1)求a2,a3,a4；
(2)求an的通项公式；
(3)若bn=1an，求数列bn的前n项和Tn.
题型5 裂项相消法之根式型
例5-1(1)求数列an的通项公式；
(2)若等差数列an的公差不为零，且数列bn满足：bn=112an+12an+1，求数列bn的前99项和T99.
例5-2设公差不为0的等差数列an的首项为2，且a3,a7,a17成等比数列.
(1)求数列an的通项公式；
(2)已知数列bn为正项数列，且bn2=an+43，设数列1bn+bn+1的前n项和为Sn，求证：Sn