2026年高考数学二轮复习讲义：古典概型的概率及解析

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A. 25301 B. 23497 C. 22301 D. 27497
【答案】 A
【详解】由题意,不同的分组方法有 5,1,1;4,2,1;3,2,2;3,3,1 四种,
当分组为5,1,1时,共有 C75C21C11A22=21 种,其中甲乙同组且丙丁同组有 C31=3 种;
当分组为4,2,1时,共有 C74C32C11=105 种,其中甲乙同组且丙丁同组有 C32C11+C21C32C11=9 种;
当分组为3,2,2时,共有 C73C42C22A22=105 种,其中甲乙同组且丙丁同组有 1+C21C31=7 种;
当分组为3,3,1时,共有 C73C43C11A22=70 种,其中甲乙同组且丙丁同组有 C31C21C11=6 种;
甲乙同组且丙丁同组的概率为 3+9+7+621+105+105+70=25301 .
故选: A .
2. ( 2026 新广东肇庆 定模)从分别标有数字 −2,−1,0,1,2 的 5 张卡片中随机一次性抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片中数字乘积为非负数的概率为( )
A. 15 B. 25 C. 35 D. 45
【答案】 C
【详解】从 5 张卡片中抽取 2 张，共有 C52=10 种可能，
抽到的 2 张卡片中数字乘积为负数，即一正一负，共 C21⋅C21=4 种可能，
所以抽到的 2 张卡片中数字乘积为负数的概率 P1=410=25 ,
则抽到的 2 张卡片中数字乘积为非负数的概率 P=1−25=35 .
故选: C .
3.(25-26高二上·江西宜春·期末·多选) 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1,2,3 的三个小球,现从甲、 乙两个盒子中各取出 1 个球, 每个球被取出的可能性相等. 下列说法正确的是 ( )
A. 取出的两个球上标号都是 2 的概率为 19
B. 取出的两个球上标号为不同数字的概率为 49
C. 取出的两个球上标号中至少有一个标号为 1 的概率为 13
D. 甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为 13
【答案】 AD
【详解】从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球,其标号构成的样本空间为
Ω={1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,3,3} ,共 9 个样本点.
取出的两个球上标号都是 2 的概率为 19 ,所以 A 正确;
取出的两个球上标号为不同数字的样本点有 1,2,1,3,2,1,2,3,3,1,3,2 ,共 6 个,所以概率为 69=23 ,所以 B 错误;
取出的两个球上标号中至少有一个标号为 1 的样本点有 1,1,1,2,1,3,2,1,3,1 ,共 5 个,所以概率为 59 ，所以 C 错误；
所以甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的样本点有 2,1,3,1,3,2 ，共 3 个，所以概率为 39=13 . 所以 D 正确.
故选: AD .
4.(25-26高二上・上海松江・期中) 从棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 的八个顶点中任取两个不同的顶点，则所取两点间距离不超过 2 的概率是_____.
【答案】 67
【详解】八个顶点中任取两个不同的顶点有 C82=28 种,
所取两点间距离分别为 1,2,3 ,其中两点间距离为 3 的情况有 4 种,
则所取两点间距离不超过 2 的概率是 1−428=2428=67 ,
故答案为: 67
5. (25-26高二上・上海普陀・期末)随机抽取的 7 位同学中，至少有 2 位同学在同一月份出生的概率为_____.(默认每个月的天数相同，结果精确到 0.001)
【答案】0.889
【详解】由于每名学生的出生月份可能是 1 月到 12 月中的任何一个,
因此 7 名学生的出生月份共有 127 种可能的排列,
每个排列对应一个基本事件，从而基本事件就有 127 个，
且每个基本事件发生的概率都相等.
设 A 表示事件“ 7 名学生中没有任何 2 名学生在同一月份出生”,
那么 7 名学生的出生月份共有 A127 种可能的排列,
即事件 A 包含 A127 个基本事件，
所以事件 A 的概率是 PA=A127127=12×11×10×9×8×7×6127≈0.111 .
这样，“至少有 2 名学生在同一月份出生”的概率是 1−PA≈0.889 .
故答案为: 0.889
6. (25-26 高三上·广东潮州·期末)一个口袋中有 3 个红球，4 个白球，这7 个小球除颜色外其余均相同.
(1)从中不放回地摸球，每次摸 2 个球，摸到的 2 个球中至少有 1 个红球则中奖，求摸两次恰好只有第 2 次中奖的概率;
(2)每次同时摸 2 个球，并放回，摸到的 2 个球中至少有 1 个红球则中奖，连续摸 4 次，求中奖次数 X 的分布列及数学期望.
【答案】(1) 935
(2)分布列见解析, 207
【详解】(1)设“摸 2 次恰好第 2 次中奖”为事件 A ，
则 PA=C42C32+C31C21C72C52=935 .
所以摸 2 次恰好只有第 2 次中奖的概率为 935 .
(2)设“每次同时摸 2 个球，恰好中奖”为事件 B ，则 PB=C32+C31C41C72=57 ，
随机变量 X 的所有可能的取值为0,1,2,3,4,
PX=0=C40×1−574=1674,
PX=1=C41×57×1−573=16074,
PX=2=C42×572×1−572=60074,
PX=3=C43×573×1−57=100074,
PX=4=C44×574=62574,
所以随机变量 X 的分布列是
随机变量 X 的数学期望 EX=0×1674+1×16074+2×60074+3×100074+4×62574=68602401=207 .
7. (2026·江苏南通·一模)某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该地区抽取部分选手进行调研，相关数据如下表:
(1)能否有 95% 以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？
(2)若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取 8 名选手，按照各自喜爱的球型参加相应赛区的比赛. 现从 8 名选手中选 3 人，用 AI 监测他们的比赛数据，求两个赛区都有人被选中的概率.
附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ,
【答案】(1) 有 95% 以上的把握
(2) 4556
【详解】(1)假设不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好没有影响.
χ2=8018×12−30×20238×42×32×48=640133≈4.812>3.841,
所以有 95% 以上的把握认为不同打法选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响.
(2)根据分层抽样可知，各层的抽样比为 820+12=14 ，所以从喜欢有缝球的选手中选取 20×14=5 人， 从喜欢无缝球的选手中选取 12×14=3 人，
记“两个赛区都有人被选中”为事件 A ，
则 PA=C51C32+C52C31C83=4556 .
答:两个赛区都有人被选中的概率为 4556 .
8.(25-26高三上・江西南昌・月考) 连续抛掷一枚均匀的骰子 2 次，则至少有 1 次掷出 1 点的概率是 ( )
A. 2536 B. 1136 C. 536 D. 3136
【答案】 B
【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛掷 2 次,可能出现的情况为: 1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6 ,
2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6 ,
4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6 ,
6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6 共 36 种,
其中至少出现一次 1 点的情况有: 1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1 ,共 11 种,
故至少出现一次 1 点的概率是 1136 .
故选: B
9. (25-26 高二上·陕西渭南·期末)将标号为 1，2，3，4，5 的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球. 则标号为 1 和 2 的两个小球放入同一个盒子的概率为( )
A. 15 B. 325 C. 625 D. 13
【答案】 C
【详解】将标号为1,2,3,4,5的五个小球放入三个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,共有放法为: C53+C52C322!A33=10+15×6=150种,
若将标号为 1 和 2 的两个小球放入同一个盒子的放法有: C31+C32A33=3+3×6=36 (种),
所以将标号为 1 和 2 的两个小球放入同一个盒子的概率为 P=36150=625 ,
故选: C .
10. 24−25 高二下·重庆渝中·月考·多选 ) 在 4 件产品中,有一等品 2 件,二等品 1 件 (一等品与二等品都是正品), 次品 1 件, 现从中任取 2 件, 则下列说法正确的有 ( )
A. 两件都是一等品的概率是 16 B. 两件中有 1 件是次品的概率是 14
C. 两件都是正品的概率是 13 D. 两件中至少有 1 件是一等品的概率是 56
【答案】 AD
【详解】对于 A ,两件都是一等品的概率为 C22C42=16 ,故 A 正确;
对于 B ,两件中有 1 件是次品的概率为 C11C31C42=12 ,故 B 错误;
对于 C ,两件都是正品的概率为 C32C42=12 ,故 C 错误;
对于 D ,两件中至少有 1 件是一等品的概率为 C21⋅C21+C22C42=56 ,故 D 正确,
故选: AD .
11. (25-26 高二上·江西赣州·期末)赣南脐橙是江西赣南的特色农产品，某学习小组结合赣南脐橙的等级区分设计了如下概率问题进行研究:甲、乙两个筐中各装有 5 个大小均匀的赣南脐橙,其中甲筐中有 3 个特级脐橙、 2 个一级脐橙, 乙筐中有 4 个特级脐橙、 1 个一级脐橙. 掷一枚质地均匀的骰子, 如果点数小于等于 4，从甲筐中随机抽出 1 个脐橙；如果点数大于等于 5，从乙筐中随机抽出 1 个脐橙，则抽到的是特级脐橙的概率是_____.
【答案】 23
【详解】设事件 A : 抽到的是特级脐橙,事件 B1 : 掷骰子点数小于等于 4 (从甲筐中抽); 事件 B2 : 掷骰子点数大于等于 5 (从乙筐中抽),
则 PB1=46=23,PB2=26=13 ,甲筐中特级脐橙的概率为 PA∣B1=35 ,乙筐中特级脐橙的概率为 PA∣B2=45 .
所以， PA=PB1PA∣B1+PB2PA∣B2=23×35+13×45=615+415=1015=23 .
故答案为: 23 .
12.(25-26高三上·天津滨海新区·月考) 有编号分别为1,2,3,4的 4 个红球和 4 个黑球,从中取出2个,则取出的球同色的所有可能的结果有_____种；(用数字作答) 若从中取出的球编号互不相同的概率为_____；
【答案】 12； 67
【详解】由题知“取出的球同色”包含两种情况:取出 2 个红球或取出 2 个黑球，
所以有 C42+C42=6+6=12 种结果;
从 8 个球 (4 红 4 黑) 中任意取 2 个，总结果数为 C82=28 种，
其中，取出“编号相同的 2 个球”即 (红 1 黑 1)、(红 2 黑 2)、(红 3 黑 3)、(红 4 黑 4)，共 4 种，
所以编号互不相同的结果数 :28−4=24 种,
所以若从中取出的球编号互不相同的概率为 P=2428=67 .
故答案为: 12;67 .
13.(2026·贵州六盘水·模拟预测)“中国凉都·六盘水”有着丰富的特产、独特的文化和美丽的风景，根据旅游宣传需要，以乌蒙大草原、红心猕猴桃、布依族风情、岩脚面、牂牁江景区等为背景制作了形状大小相同的三类卡片(特产卡片、文化卡片、景区卡片)，某游客持有 5 张不同的景区卡片，3 张不同的特产卡片，2 张不同的文化卡片，现从中随机抽取 4 张卡片.
(1)求抽取的 4 张卡片中恰有 3 张是景区卡片的概率；
(2)设抽取的 4 张卡片中特产卡片的张数为 X ，求随机变量 X 的分布列与数学期望.
【答案】 1521 ;
(2)分布列见解析，数学期望为 65 .
【详解】(1)依题意，从 10 张卡片中任取 4 张的试验有 C104 个基本事件，
恰有 3 张是景区卡片的事件 A 有 C53C51 个基本事件，
所以抽取的 4 张卡片中恰有 3 张是景区卡片的概率为 PA=C53C51C104=10×5210=521 .
(2)依题意， X 的可能值为0,1,2,3，
PX=0=C30C74C104=35210=16,
PX=1=C31C73C104=105210=12,
PX=2=C32C72C104=63210=310,
PX=3=C33C71C104=7210=130,
所以 X 的分布列为:
数学期望 EX=0×16+1×12+2×310+3×130=65 .
14. (2026·河南南阳·模拟预测)某科技公司开发了一款 AI 绘画软件，为了测试该软件生成的人像照片的真实度,工程师邀请了 100 名用户对生成的照片进行评分 (满分 100 分). 将评分数据按 [40,50),[50,60) , [60,70),[70,80),[80,90),90,100 分成 6 组，并绘制了如下的频率分布直方图.
(1)求a的值；
(2)试估计这 100 名用户评分的平均数；何一组中的数据用该组区间的中点值作代表
(3) 若从评分在 [40,60) 内的用户中，按分层随机抽样的方法抽取 5 人进行回访，再从这 5 人中随机抽取 2 人赠送会员，求这 2 人来自不同评分区间的概率.
【答案】(1)0.025
(2)75.3
(3) 25
【详解】(1)由频率分布直方图可知,0.002+0.008+0.020+0.035+a+0.01×10=1,∴a=0.025 ;
(2)估计用户评分的平均数为:
45×0.002×10+55×0.008×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.01×10=75.3 ;
(3) 样本在 [40,50),[50,60) 的人数分别为2,8,
利用分层抽样从 [40,60) 的用户中随机抽取 5 人,则在 [40,50),[50,60) 的人数分别为1,4,
从 [40,50) 中抽取的 1 人记为 a ,从 [50,60) 中抽取的 4 人记为1,2,3,4,
则从 5 人中随机抽取 2 人的样本空间 Ω={a,1,a,2,a,3,a,4,1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4},
记“这 2 人来自不同评分区间”为事件 A ,则有 a,1,a,2,a,3,a,4 ,共 4 个基本事件,
∴PA=410=25 .X
0
1
2
3
4
P
1674
16074
60074
100074
62574
喜欢用有缝球
喜欢用无缝球
直拍打法选手
18
30
横拍打法选手
20
12
Pχ2≥k
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130