还剩3页未读，
继续阅读
所属成套资源：备考2024届高考数学一轮复习讲义全套
成套系列资料，整套一键下载
备考2024届高考数学一轮复习讲义第四章三角函数第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式
展开
这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第四章三角函数第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式，共5页。
1.同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
（2）商的关系：tan α＝sinαcsα（α≠π2＋kπ，k∈Z）.
（3）公式常见变形：sin2α＝1－cs2α；sinα＝±1－cs2α；sin2α＝sin2αsin2α＋cs2α＝tan2αtan2α+1，cs2α＝cs2αsin2α＋cs2α＝① 1tan2α+1 ；（sinα±csα）2＝1±2sinαcsα.
注意 利用平方关系时，若要开方，要注意判断符号.
2.诱导公式
1.[易错题]已知α是第二象限角，sinα＝513，则csα＝（ A ）
A.－1213B.－513C.513D.213
解析 因为α是第二象限角，所以csα＜0，又sin2α＋cs2α＝1，所以csα＝
－1－sin2α＝－1213.
2.[2023贵州联考]已知tan θ＝－2，则sinθ＋csθsinθ＝（ D ）
A.－1B.－3C.－12D.12
解析 因为tan θ＝－2，则sinθ＋csθsinθ＝1＋1tanθ＝1－12＝12.
3.[2023上饶重点中学模拟]下面诱导公式使用正确的是（ C ）
A.sin（θ－π2）＝csθB.cs（3π2＋θ）＝－sinθ
C.sin（3π2－θ）＝－csθD.cs（θ－π2）＝－sinθ
解析 ∵sin（θ－π2）＝－sin（π2－θ）＝－csθ，∴A错误；∵cs（3π2＋θ）＝sinθ，∴B错误；∵sin（3π2－θ）＝－csθ，∴C正确；∵cs（θ－π2）＝cs（π2－θ）＝sinθ，∴D错误.
4.sin 1 050°＝ －12 .
解析 sin 1 050°＝sin（－30°）＝－12.
5.[2023成都八中模拟]已知tan（π＋α）＝2，则sin（π2＋α）＋sin（π－α）cs（3π2＋α）－2cs（π＋α）＝ 34 .
解析 因为tan（π＋α）＝tan α＝2，所以sin（π2＋α）＋sin（π－α）cs（3π2＋α）－2cs（π＋α）＝csα＋sinαsinα+2csα＝1+tanαtanα+2＝1+22+2＝34.
研透高考 明确方向
命题点1 同角三角函数关系的应用
例1 （1）[2024山东模拟]若tan θ＝2，则1＋sinθcsθ＝（ B ）
A.73B.75
C.54D.53
解析 易知csθ≠0，则1＋sinθcsθ＝1+sinθcsθ1＝sin2θ＋cs2θ＋sinθcsθsin2θ＋cs2θ＝tan2θ＋tanθ+1tan2θ+1＝22+2+122+1＝75.
（2）[2023全国卷乙]若θ∈（0，π2），tan θ＝12，则sinθ－csθ＝ －55 .
解析 由tanθ＝sinθcsθ＝12，sin2θ＋cs2θ=1，且θ∈（0，π2），解得sinθ＝55，csθ＝255，故sinθ－csθ＝－55.
方法技巧
同角三角函数基本关系的应用技巧
（1）利用sin2α＋cs2α＝1和tan α＝sinαcsα，可以解决sinα，csα，tan α的知一求二的问题，注意判断角的终边所在的象限.
（2）利用（sinα±csα）2＝1±2sinαcsα，可以解决sinα＋csα，sinαcsα，sinα－
cs α知一求二的问题，注意方程思想的应用.
（3）利用sin2α＋cs2α＝1可以实现角α的正、余弦互化；利用tan α＝sinαcsα可以实现角α的弦、切互化，主要考查齐次式的使用技巧以及“1”的变形.
训练1 [多选/2023江西省上饶市第一中学模拟]已知θ∈（－π，0），sinθ＋csθ＝713，则下列结论正确的是（ BD ）
A.θ∈（－π，－π2）B.csθ＝1213
C.tanθ＝512D.sinθ－csθ＝－1713
解析 由sinθ＋csθ＝713可得，csθ＝713－sinθ，
则（713－sinθ）2＋sin2θ＝1，
解得sinθ＝1213或sinθ＝－513.
由θ∈（－π，0），可得sinθ＝－513，csθ＝1213，故B正确；
由sinθ＝－513＜0，csθ＝1213＞0可得θ为第四象限角，又θ∈（－π，0），所以θ∈
（－π2，0），故A错误；
tan θ＝sinθcsθ＝－512，故C错误；
sin θ－cs θ＝－513－1213＝－1713，故D正确.故选BD.
命题点2 诱导公式的应用
例2 （1）[全国卷Ⅲ]函数f（x）＝15sin（x＋π3）＋cs（x－π6）的最大值为（ A ）
A.65B.1C.35D.15
解析 因为cs（x－π6）＝cs[（x＋π3）－π2]＝sin（x＋π3），所以f（x）＝65sin（x＋π3），所以f（x）的最大值为65，故选A.
（2）[北京高考]若函数f（x）＝sin（x＋φ）＋csx的最大值为2，则常数φ的一个取值为 π2（答案不唯一） .
解析 易知当y＝sin（x＋φ），y＝csx同时取得最大值1时，函数f（x）＝sin（x＋φ）＋csx取得最大值2，故sin（x＋φ）＝csx，则φ＝π2＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为π2.
方法技巧
应用诱导公式的一般思路
（1）化负角为正角，化大角为小角，直到化到锐角；
（2）统一角，统一名；
（3）角中含有π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍.
训练2 （1）[2023山东省济宁市模拟]已知cs（π6－θ）＝13，则cs（5π6＋θ）＋
2sin（5π3－θ）的值为 －1 .
解析 原式＝cs[π－（π6－θ）]＋2sin[3π2＋（π6－θ）]＝－cs（π6－θ）－2cs（π6－θ）＝
－3cs（π6－θ）＝－1.
（2）已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则sin（－α－3π2）cs（3π2－α）cs（π2－α）sin（π2＋α）·
tan2（π－α）的值为 －916 .
解析 原式＝－sin（3π2＋α）cs（3π2－α）sinαcsα·tan2α＝－csαsinαsinαcsα·tan2α＝－tan2α.解方程5x2－7x－6＝0，得x1＝－35，x2＝2.又α是第三象限角，∴sinα＝－35，∴csα＝－45，∴tan α＝34.故原式＝－tan2α＝－916.
命题点3 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
例3 （1）[2023陕西模拟]已知0＜α＜π2，cs（α＋π3）＝－23，则tan （2π3－α）＝（ A ）
A.52B.－52C.53D.－53
解析 由0＜α＜π2，得π3＜α＋π3＜5π6，则sin（α＋π3）＝1－cs2（α＋π3）＝1－（－23）2＝53，所以tan（α＋π3）＝sin（α＋π3）cs（α＋π3）＝－52，所以tan（2π3－α）＝tan[π－（α＋π3）]＝－tan（α＋π3）＝52.故选A.
（2）[全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，则tan（θ－π4）＝ －43 .
解析 解法一 因为sin（θ＋π4）＝35，所以cs（θ－π4）＝sin[π2＋（θ－π4）]＝sin（θ＋π4）＝35.因为θ为第四象限角，所以－π2＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－3π4＋2kπ＜θ－π4＜2kπ－π4，k∈Z，所以sin（θ－π4）＝－1－（35）2＝－45，所以tan（θ－π4）＝sin（θ－π4）cs（θ－π4）＝－43.
解法二 因为θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以
cs（θ＋π4）＝45，所以tan（θ－π4）＝sin（θ－π4）cs（θ－π4）＝－cs[π2＋（θ－π4)]sin[π2＋（θ－π4)]＝－cs（θ＋π4）sin（θ＋π4）＝－43.
方法技巧
利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路
（1）分析结构特点，寻求条件及所求间的关系，尤其是角之间的关系；
（2）选择恰当公式，利用公式灵活变形；
（3）化简求值.
注意 （1）角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号.
（2）化简过程是恒等变换.
训练3 [2024安徽省皖江名校联考]已知在平面直角坐标系中，点M（2，4）在角α终边上，则sin3（π－α）＋cs3（－α）sin3α－2cs3α＝（ B ）
A.23B.32C.－35D.－53
解析 由题意可得tan α＝2，所以原式＝sin3α＋cs3αsin3α－2cs3α＝tan3α+1tan3α－2＝8+18－2＝32.故选B.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cs2x＝1，sinxcsx＝tan x.
2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±π2，α±π的正弦、余弦、正切）
同角三角函数关系的应用
2023全国卷乙T14；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9
本讲主要考查利用同角三角函数的基本关系与诱导公式化简与求值，常与三角恒等变换结合命题，考查基本运算能力.题型以选择题、填空题为主，难度中等偏下.在2025年高考复习备考时，要掌握公式并会灵活运用.
诱导公式的应用
2020北京T9；2019全国卷ⅠT7
同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α（k∈Z）
π＋α
－α
π－α
π2－α
π2＋α
正弦
sin α
② －sinα
－sinα
③ sinα
cs α
④ csα
余弦
cs α
⑤ －csα
cs α
⑥ －csα
sin α
⑦ －sinα
正切
tan α
⑧ tanα
－tan α
⑨ －tanα
口诀
奇变偶不变，符号看象限.
1.同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
（2）商的关系：tan α＝sinαcsα（α≠π2＋kπ，k∈Z）.
（3）公式常见变形：sin2α＝1－cs2α；sinα＝±1－cs2α；sin2α＝sin2αsin2α＋cs2α＝tan2αtan2α+1，cs2α＝cs2αsin2α＋cs2α＝① 1tan2α+1 ；（sinα±csα）2＝1±2sinαcsα.
注意 利用平方关系时，若要开方，要注意判断符号.
2.诱导公式
1.[易错题]已知α是第二象限角，sinα＝513，则csα＝（ A ）
A.－1213B.－513C.513D.213
解析 因为α是第二象限角，所以csα＜0，又sin2α＋cs2α＝1，所以csα＝
－1－sin2α＝－1213.
2.[2023贵州联考]已知tan θ＝－2，则sinθ＋csθsinθ＝（ D ）
A.－1B.－3C.－12D.12
解析 因为tan θ＝－2，则sinθ＋csθsinθ＝1＋1tanθ＝1－12＝12.
3.[2023上饶重点中学模拟]下面诱导公式使用正确的是（ C ）
A.sin（θ－π2）＝csθB.cs（3π2＋θ）＝－sinθ
C.sin（3π2－θ）＝－csθD.cs（θ－π2）＝－sinθ
解析 ∵sin（θ－π2）＝－sin（π2－θ）＝－csθ，∴A错误；∵cs（3π2＋θ）＝sinθ，∴B错误；∵sin（3π2－θ）＝－csθ，∴C正确；∵cs（θ－π2）＝cs（π2－θ）＝sinθ，∴D错误.
4.sin 1 050°＝ －12 .
解析 sin 1 050°＝sin（－30°）＝－12.
5.[2023成都八中模拟]已知tan（π＋α）＝2，则sin（π2＋α）＋sin（π－α）cs（3π2＋α）－2cs（π＋α）＝ 34 .
解析 因为tan（π＋α）＝tan α＝2，所以sin（π2＋α）＋sin（π－α）cs（3π2＋α）－2cs（π＋α）＝csα＋sinαsinα+2csα＝1+tanαtanα+2＝1+22+2＝34.
研透高考 明确方向
命题点1 同角三角函数关系的应用
例1 （1）[2024山东模拟]若tan θ＝2，则1＋sinθcsθ＝（ B ）
A.73B.75
C.54D.53
解析 易知csθ≠0，则1＋sinθcsθ＝1+sinθcsθ1＝sin2θ＋cs2θ＋sinθcsθsin2θ＋cs2θ＝tan2θ＋tanθ+1tan2θ+1＝22+2+122+1＝75.
（2）[2023全国卷乙]若θ∈（0，π2），tan θ＝12，则sinθ－csθ＝ －55 .
解析 由tanθ＝sinθcsθ＝12，sin2θ＋cs2θ=1，且θ∈（0，π2），解得sinθ＝55，csθ＝255，故sinθ－csθ＝－55.
方法技巧
同角三角函数基本关系的应用技巧
（1）利用sin2α＋cs2α＝1和tan α＝sinαcsα，可以解决sinα，csα，tan α的知一求二的问题，注意判断角的终边所在的象限.
（2）利用（sinα±csα）2＝1±2sinαcsα，可以解决sinα＋csα，sinαcsα，sinα－
cs α知一求二的问题，注意方程思想的应用.
（3）利用sin2α＋cs2α＝1可以实现角α的正、余弦互化；利用tan α＝sinαcsα可以实现角α的弦、切互化，主要考查齐次式的使用技巧以及“1”的变形.
训练1 [多选/2023江西省上饶市第一中学模拟]已知θ∈（－π，0），sinθ＋csθ＝713，则下列结论正确的是（ BD ）
A.θ∈（－π，－π2）B.csθ＝1213
C.tanθ＝512D.sinθ－csθ＝－1713
解析 由sinθ＋csθ＝713可得，csθ＝713－sinθ，
则（713－sinθ）2＋sin2θ＝1，
解得sinθ＝1213或sinθ＝－513.
由θ∈（－π，0），可得sinθ＝－513，csθ＝1213，故B正确；
由sinθ＝－513＜0，csθ＝1213＞0可得θ为第四象限角，又θ∈（－π，0），所以θ∈
（－π2，0），故A错误；
tan θ＝sinθcsθ＝－512，故C错误；
sin θ－cs θ＝－513－1213＝－1713，故D正确.故选BD.
命题点2 诱导公式的应用
例2 （1）[全国卷Ⅲ]函数f（x）＝15sin（x＋π3）＋cs（x－π6）的最大值为（ A ）
A.65B.1C.35D.15
解析 因为cs（x－π6）＝cs[（x＋π3）－π2]＝sin（x＋π3），所以f（x）＝65sin（x＋π3），所以f（x）的最大值为65，故选A.
（2）[北京高考]若函数f（x）＝sin（x＋φ）＋csx的最大值为2，则常数φ的一个取值为 π2（答案不唯一） .
解析 易知当y＝sin（x＋φ），y＝csx同时取得最大值1时，函数f（x）＝sin（x＋φ）＋csx取得最大值2，故sin（x＋φ）＝csx，则φ＝π2＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为π2.
方法技巧
应用诱导公式的一般思路
（1）化负角为正角，化大角为小角，直到化到锐角；
（2）统一角，统一名；
（3）角中含有π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍.
训练2 （1）[2023山东省济宁市模拟]已知cs（π6－θ）＝13，则cs（5π6＋θ）＋
2sin（5π3－θ）的值为 －1 .
解析 原式＝cs[π－（π6－θ）]＋2sin[3π2＋（π6－θ）]＝－cs（π6－θ）－2cs（π6－θ）＝
－3cs（π6－θ）＝－1.
（2）已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则sin（－α－3π2）cs（3π2－α）cs（π2－α）sin（π2＋α）·
tan2（π－α）的值为 －916 .
解析 原式＝－sin（3π2＋α）cs（3π2－α）sinαcsα·tan2α＝－csαsinαsinαcsα·tan2α＝－tan2α.解方程5x2－7x－6＝0，得x1＝－35，x2＝2.又α是第三象限角，∴sinα＝－35，∴csα＝－45，∴tan α＝34.故原式＝－tan2α＝－916.
命题点3 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
例3 （1）[2023陕西模拟]已知0＜α＜π2，cs（α＋π3）＝－23，则tan （2π3－α）＝（ A ）
A.52B.－52C.53D.－53
解析 由0＜α＜π2，得π3＜α＋π3＜5π6，则sin（α＋π3）＝1－cs2（α＋π3）＝1－（－23）2＝53，所以tan（α＋π3）＝sin（α＋π3）cs（α＋π3）＝－52，所以tan（2π3－α）＝tan[π－（α＋π3）]＝－tan（α＋π3）＝52.故选A.
（2）[全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，则tan（θ－π4）＝ －43 .
解析 解法一 因为sin（θ＋π4）＝35，所以cs（θ－π4）＝sin[π2＋（θ－π4）]＝sin（θ＋π4）＝35.因为θ为第四象限角，所以－π2＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－3π4＋2kπ＜θ－π4＜2kπ－π4，k∈Z，所以sin（θ－π4）＝－1－（35）2＝－45，所以tan（θ－π4）＝sin（θ－π4）cs（θ－π4）＝－43.
解法二 因为θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以
cs（θ＋π4）＝45，所以tan（θ－π4）＝sin（θ－π4）cs（θ－π4）＝－cs[π2＋（θ－π4)]sin[π2＋（θ－π4)]＝－cs（θ＋π4）sin（θ＋π4）＝－43.
方法技巧
利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路
（1）分析结构特点，寻求条件及所求间的关系，尤其是角之间的关系；
（2）选择恰当公式，利用公式灵活变形；
（3）化简求值.
注意 （1）角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号.
（2）化简过程是恒等变换.
训练3 [2024安徽省皖江名校联考]已知在平面直角坐标系中，点M（2，4）在角α终边上，则sin3（π－α）＋cs3（－α）sin3α－2cs3α＝（ B ）
A.23B.32C.－35D.－53
解析 由题意可得tan α＝2，所以原式＝sin3α＋cs3αsin3α－2cs3α＝tan3α+1tan3α－2＝8+18－2＝32.故选B.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cs2x＝1，sinxcsx＝tan x.
2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±π2，α±π的正弦、余弦、正切）
同角三角函数关系的应用
2023全国卷乙T14；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9
本讲主要考查利用同角三角函数的基本关系与诱导公式化简与求值，常与三角恒等变换结合命题，考查基本运算能力.题型以选择题、填空题为主，难度中等偏下.在2025年高考复习备考时，要掌握公式并会灵活运用.
诱导公式的应用
2020北京T9；2019全国卷ⅠT7
同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α（k∈Z）
π＋α
－α
π－α
π2－α
π2＋α
正弦
sin α
② －sinα
－sinα
③ sinα
cs α
④ csα
余弦
cs α
⑤ －csα
cs α
⑥ －csα
sin α
⑦ －sinα
正切
tan α
⑧ tanα
－tan α
⑨ －tanα
口诀
奇变偶不变，符号看象限.
相关学案
2024届高考数学一轮复习第4章第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案： 这是一份2024届高考数学一轮复习第4章第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案，共18页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
高考数学一轮复习第4章第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案： 这是一份高考数学一轮复习第4章第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案，共12页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
高考数学统考一轮复习第4章4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案： 这是一份高考数学统考一轮复习第4章4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案，共9页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。
