2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第20讲：数列的求和(7个常考题型)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第20讲：数列的求和(7个常考题型)(学生版+解析)，共22页。学案主要包含了经典例题，方法点评，小试牛刀1，小试牛刀2，小试牛刀3等内容，欢迎下载使用。

题型分类
知识讲解与常考题型
【题型01 分组/并项法求和】
【经典例题】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）等差数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式：
(2)求数列的前项和.
【方法点评】
的前项和
核心方法：分类讨论+分组求和，分为奇数、偶数：
1.当为偶数时，相邻两项分组（），每组和为公差，总组数为，和为；
2.当为奇数时，先求前项（偶数项）的和，再加上第项（符号为负）.
【小试牛刀1】（25-26高三上·福建漳州·月考）已知等比数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求的前项和.
【小试牛刀2】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列的前项和为，，则 .
【小试牛刀3】（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【题型02 错位相减法求和】
【小试牛刀1】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知等比数列中，，，为数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【方法点评】
针对“（等比公比为）”的求和问题，模板如下：
步骤1：写出的展开式
（其中是等差数列，是等比数列，）
步骤2：两边乘以公比，对齐同次项
步骤3：两式相减（通常用）
步骤4：计算等比数列和（若有）
利用等差数列公差，将式子简化为：
代入等比数列求和公式，计算求和部分.
步骤5：化简得到
将上述结果整理，两边除以，得到的最终表达式.
【小试牛刀1】（25-26高三上·福建福州·月考）已知数列的前项和为，.
(1)若为等比数列，求的通项公式；
(2)若，，为数列的前项和，证明.
【小试牛刀2】（25-26高三上·内蒙古乌兰察布·期中）数列中，．
(1)证明：是等差数列；
(2)设，求．
【小试牛刀3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足，且．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【题型03 裂项相消法求和】
【经典例题】（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足.
(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；
(2)记，证明：.
【方法点评】
（1）分式型裂项（核心：拆分分母的因式差）
一次分式（两项）：
例：，.
一次分式（三项）：
分式含常数项：
（2）指数型裂项（核心：利用指数的倍数关系）
指数差型：
指数与常数结合：
（常用于错位相减的辅助裂项）.
【小试牛刀1】（25-26高二上·福建莆田·期中）在数列，中，，且，．
(1)求，的值；
(2)求的通项公式；
(3)设，记的前项和为，证明：.
【小试牛刀2】（25-26高三上·河北承德·期中）已知数列 的前n项和为 ，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知函数 ，求.
【小试牛刀3】（2025·河南·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)记，数列的前项和为，证明：.
【题型04 奇偶数列求和】
【经典例题】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和，
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：
【方法点评】当数列通项为“分奇、偶的分段函数”时，核心思路是分组处理：
1.拆分奇偶项通项：分别写出为奇数、偶数时的通项公式（本题中奇：；偶：）.
2.分组求和：
若求和项数为偶数（如），则分为“个奇数项+个偶数项”；
若项数为奇数（如），则分为“个奇数项+个偶数项”.
3.利用原数列性质：若原数列（如本题）是等差数列/等比数列，其“奇数项子数列”“偶数项子数列”也保持对应性质，可直接用等差/等比求和公式计算子数列的和，再代入分段通项求每组和，最终合并.
【小试牛刀2】（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列满足，，则 ；设数列的前n项和为，则 .（第二个空结果用指数幂表示）
【小试牛刀2】（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列满足，，前项和为．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求；
【小试牛刀3】（25-26高三上·浙江·开学考试）记为正项数列的前项和，已知
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列，求数列的前项和.
【题型05 先放缩再求和】
【经典例题】（25-26高三上·广东湛江·月考）记为递增数列的前n项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)证明：．
【方法点评】数列不等式证明中，放缩的核心是将“复杂项”转化为“可求和项”，常见类型：
1.分式裂项放缩：
分母放大：（）；
平方项放缩：（），或.
2.等比放缩：
指数项放缩：，或（用于将和放缩为等比数列）.
3.线性项放缩：
分母缩小：（），或（有理化放缩）.
【小试牛刀1】（25-26高三上·浙江温州·月考）已知正项数列满足．
(1)求证：是等比数列
(2)设，记数列的前项和为，求证：．
【小试牛刀2】（25-26高三上·四川绵阳·开学考试），都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”．已知．
(1)证明：存在源数列；
(2)①若恒成立，求的取值范围；
②记的源数列为，前项和为．证明：．
【小试牛刀3】（2025高三·全国·专题练习）已知在正项数列中，，其前项和满足．
(1)求与；
(2)令，数列的前项和为，求证：对于任意的，都有．
【题型06 数列求和与不等式恒成立问题】
【经典例题】（25-26高三上·重庆·期中）记为数列的前项和，且，，其中.
(1)证明：为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【方法点评】数列不等式恒成立（如“”或“对成立”）的核心思路是转化为求数列的最值，步骤如下：
1.分离参数：将不等式变形为“参数数列项”的形式（如本题将转化为）；
2.构造新数列：令为分离参数后的数列项（如本题）；
3.研究单调性：通过作差（）或作商（）判断的增减性；
4.求最值：结合的特点，确定的最小值（对应“”）或最大值（对应“”）；
5.确定参数范围：参数需满足“小于的最小值”或“大于的最大值”.
【小试牛刀1】（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知正项数列的的前n项为，且满足，等比数列是递增数列，，为其前n项和，且满足．
(1)分别求，的通项公式；
(2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值．
【小试牛刀2】（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式.
(2)设，记数列的前n项和为.
①求；
②若，，求m的取值范围.
【小试牛刀3】（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)对于任意，求实数的取值范围.
【题型07 数列“插项”求和】
【经典例题】（25-26高三上·山东青岛·期中）在正项等比数列中已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，若，若在数列任意相邻两项与之间插入一个实数（），从而形成一个新的数列，求数列的前项和.
【方法点评】
当新数列由“原数列+插入项”构成时，核心思路是分组拆分，分别求和，具体步骤：
1.明确构成关系：确定新数列前项中“原数列项”与“插入项”的数量、位置（如本题前项是个原数列项+个插入项）；
2.拆分分组：将新数列拆分为“原数列子数列”和“插入项子数列”；
3.分别求和：对每个子数列，根据其类型（等差、等比、等差×等比）选择对应方法（公式法、错位相减等）；
4.合并结果：将各子数列的和相加，得到新数列的前项和.
【小试牛刀1】（25-26高三上·天津·期中）已知数列满足，，数列满足.
(1)求和的通项公式；
(2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）.
【小试牛刀2】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知等差数列的前n项和为，且，；数列满足（）
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和；
(3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2025项和．
【小试牛刀3】（25-26高三上·辽宁大连·月考）设数列满足（），，.在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求 .
课后针对训练
一、填空题
1．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，，且满足，则 ；若存在实数，使不等式对任意恒成立，则的取值范围为 .
二、解答题
2．（25-26高三上·天津滨海新·期中）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求；
(3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求
3．（25-26高二上·甘肃·期末）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求的前项和.
4．（25-26高三上·天津滨海新·期中）已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)若，求数列的前项和．
5．（25-26高三上·云南红河·月考）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：
6．（24-25高二下·广东湛江·期末）已知为各项均为正数的数列，其前项和为，.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和记为，证明：.
7．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知等差数列与等比数列满足，，.
(1)求，的通项公式；
(2)记，为数列的前项和.求
8．（25-26高二上·江苏南通·期中）设等差数列的公差为，且，令，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围．